1、 2020 届江苏高三高考数学全真模拟试卷届江苏高三高考数学全真模拟试卷 06 数学试题 I 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1. 设集合 M1，0，1，Nx|x2x0，则 MN_ 答案：1，0 解析：由 Nx|1x0，M1，0，1，得 MN1，0 2. 命题“x1，使得 x22”的否定是“_” 答案：x1，使得 x22 解析：本题主要考查特称命题的否定是全称命题 3. 已知 i 是虚数单位，复数 z 的共轭复数为 z.若 2zz23i，则 z_ 答案：2i 解析：设 zabi，由已知条件，得 2a2bia2(b3)i，则 2aa2，2b(b3)，则 a2，b
2、 1，则 z2i. 4. 现有 4 名学生 A， B， C， D 平均分乘两辆车， 则“A， B 两人恰好乘坐在同一辆车”的概率为_ 答案：1 3 解析：4 名学生 A，B，C，D 平均分乘两辆车，有(AB，CD)，(AC，BD)，(AD，BC)， (CD，AB)，(BD，AC)，(BC，AD)共 6 个基本事件，A，B 两人恰好乘坐在同一辆车 共有(AB，CD)，(CD，AB)2 个基本事件，则所求事件的概率为1 3. 5. 曲线 yex在 x0 处的切线方程是_ 答案：yx1 解析：kye01，切点坐标为(0，1)，则切线方程为 yx1. 6. 如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的
3、第三项是_ 答案：30 解析：这列数的第一项是 3，第二项是 6，第三项是 30. 7. 定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x0 时，f(x)2xx2，则 f(0)f(1)_ 答案：1 解析：f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(0)0，f(1)f(1) 1，f(0)f(1)011. 8. 已知等差数列an的公差为 d，若 a1，a2，a3，a4，a5的方差为 8，则 d 的值为_ 答案: 2 解析：a1，a2，a3，a4，a5的平均数为 a3，而 a1，a2，a3，a4，a5的方差为 8，由方差公式，得 4d2d2d24d240，d24，则 d 2. 9. 如图，在长方体 ABCDA
4、1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则三棱锥 AB1D1D 的体积为 _ cm3. (第 9 题) 答案：3 解析：三棱锥 AB1D1D 的体积1 3 3 2 2 1 2 2 3 23(cm 3) 10. 已知 0， 2 ， 2， ，cos 1 3，sin() 3 5，则 cos _ 答案：46 2 15 解析：由 0， 2 ，cos 1 3，得 sin 2 2 3 .又 2， ， 0， 2 ，sin()3 5，得 cos() 4 5，则 cos cos() cos()cos sin()sin 46 2 15 . 11. 已知函数 f(x) 1 x，x1， x3，1x1. 若关
5、于 x 的方程 f(x)k(x1)有两个不同的实数根，则实数 k 的取值 范围是_ 答案： 0，1 2 解析：方程 f(x)k(x1)有两个不同的实数根，说明 yk(x1) 与 yf(x)的图象有两个交点，画出函 数 f(x)的图象，yk(x1)是过(1，0)的动直线，可得 k 的取值范围是 0，1 2 . 12. 圆心在抛物线 y1 2x 2上，并且和该抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程为_ 答案：(x 1)2 y1 2 2 1 解析：抛物线 2yx2，则该抛物线的准线方程为 y1 2.设圆心坐标为(a，b)，由题意知 |a|b1 2， a22b， 解 得 a 1， b1 2， 则圆
6、的半径 r1，圆的标准方程为(x 1)2 y1 2 2 1. 13. 已知点 P 是ABC 内一点(不包括边界)，且AP mAB nAC ，m，nR，则(m2)2(n2)2的取 值范围是_ 答案： 9 2，8 解析：点 P 是ABC 内一点(不包括边界)，且AP mAB nAC ，可得 m0， n0， mn1， 作出可行域，可知点 E(2，2)到可行域的最小距离为 3 2，最大距离为 2 2，则(m2) 2(n2)2的取值范围是 9 2，8 . 14. 已知 ab2，b0，当 1 2|a| |a| b 取最小值时，实数的 a 值是_ 答案：2 解析： 1 2|a| |a| b ab 4|a|
7、|a| b a 4|a| b 4|a| |a| b 1 42 1 4 3 4，当且仅当 a2，b4 时等号成立 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15. (本小题满分 14 分) 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bcos Cccos B2acos A. (1) 求 A 的大小； (2) 若AB AC 3，求ABC 的面积 解：(1) (解法 1)在ABC 中，由正弦定理及 bcos Cccos B2acos A， 得 sin Bcos Csin Ccos B2sin Acos A，(3 分) 即 si
8、n A2sin Acos A， 因为 A(0，)，所以 sin A0，所以 cos A1 2，(6 分) 所以 A 3.(8 分) (解法 2)在ABC 中，由余弦定理及 bcos Cccos B2acos A， 得 b a2b2c2 2ab c a2c2b2 2ac 2a b2c2a2 2bc ，(3 分) 所以 a2b2c2bc， 所以 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2.(6 分) 因为 A(0，)，所以 A 3.(8 分) (2) 由AB AC cbcos A 3，得 bc2 3，(11 分) 所以ABC 的面积为 S1 2bcsin A 1 2 2 3sin 60 3 2.(1
9、4 分) 16.(本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD底面 ABCD，且 PAPD 2 2 AD.若 E，F 分别为 PC，BD 的中点求证： (1) EF平面 PAD； (2) EF平面 PDC. 证明：(1) 连结 AC，因为正方形 ABCD 中，F 是 BD 的中点，则 F 是 AC 的中点 又 E 是 PC 的中点，所以在CPA 中，EFPA.(3 分) 因为 PA平面 PAD，EF平面 PAD， 所以 EF平面 PAD.(6 分) (2) 因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，CD平面 ABCD， 又
10、 CDAD，所以 CD平面 PAD.(8 分) 又 PA平面 PAD，所以 CDPA. 因为 EFPA，所以 EFCD.(10 分) 又 PAPD 2 2 AD，所以PAD 是等腰直角三角形，且APD 2，即 PAPD. 又 EFPA，所以 EFPD.(13 分) 而 CDPDD，所以 EF平面 PDC.(14 分) 17. (本小题满分 14 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P(3， 1)在椭圆上，PF1F2的面积为 2 2，点 Q 是 PF2的延长线与椭圆的交点 (1) 求椭圆 C 的标准方程； 若
11、PQF1 3，求 QF1 QF2 的值； (2) 直线 yxk 与椭圆 C 相交于 A，B 两点若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数 k 的值 解：(1) 由条件，点 P(3，1)在椭圆x 2 a2 y2 b21 上，PF1F2 的面积为 2 2，得 9 a2 1 b21，c2 2.(2 分) 又 a2b2c2，所以 a212，b24， 所以椭圆的标准方程为x 2 12 y2 4 1.(4 分) 当PQF1 3时， 有 QF1QF22a4 3， QF21QF22QF1 QF2（2c）232，(6 分) 所以 QF1 QF216 3 .(8 分) (2) 设 A(x1，y1)，B(x2，y
12、2)， 由 x 2 12 y2 4 1， yxk， 得 4x26kx3k2120.(10 分) x1x23k 2 ，x1x23k 212 4 ，y1y2k 212 4 .(12 分) 因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点，则OA OB x1x2y1y2k260，解得 k 6，此时 120 0，满足条件因此 k 6.(14 分) 18. (本小题满分 16 分) 如图， 某城市小区有一个矩形休闲广场， AB20 m， 广场的一角是半径为 16 m 的扇形 BCE 绿化区域 为 了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人 靠背直排椅 MN(宽度不计
13、)，点 M 在线段 AD 上(不与端点重合)，并且与曲线 CE 相切；另一排为单人弧形 椅沿曲线 CN(宽度不计)摆放已知双人靠背直排椅的造价每米为 2a 元，单人弧形椅的造价每米为 a 元，记 锐角NBE，总造价为 W 元 (1) 试将 W 表示为 的函数 W()，并写出 cos 的取值范围； (2) 如何选取点 M 的位置，能使总造价 W 最小 解：(1) 过 N 作 AB 的垂线，垂足为 F；过 M 作 NF 的垂线，垂足为 G. 在 RtBNF 中，BF16cos ，则 MG2016cos . 在 RtMNG 中，MN2016cos sin .(4 分) 由题意得CN 16 2 ，(6
14、 分) 因此，W()2a 2016cos sin 16a 2 ，(7 分) cos 0，4 5 .(9 分) (2) W()16a8a 45cos sin2 8a （2cos 1）（cos 2） sin2 . 令 W()0，得 cos 1 2，设锐角 1 满足 cos 14 5，1 0， 3 ， 因为 1， 2 ，所以 3，(12 分) 当 1， 3 时，W()0，W()单调递减； 当 3， 2 时，W()0，W()单调递增(14 分) 所以当 3时，总造价 W 最小，最小值为 16 38 3 a，此时 MN8 3，NG4 3，NF8 3， 因此当 AM4 3 m 时，能使总造价最小(16 分
15、) 19. (本小题满分 16 分) 在数列an中，已知 a12，an13an2n1. (1) 求证：数列ann为等比数列； (2) 记 bnan(1)n，且数列bn的前 n 项和为 Tn.若 T3为数列Tn中的最小项，求 的取值范围 (1) 证明： an13an2n1， an1n13(ann) 又 a12， an0，ann0，故an 1n1 ann 3， ann是以 3 为首项，公比为 3 的等比数列(4 分) (2) 解：由(1)知 ann3n， bn3nn.(6 分) Tn31323n(123n) 3 2(3 n1)n（n1） 2 .(8 分) 若 T3为数列Tn中的最小项，则对nN*有
16、3 2(3 n1)n（n1） 2 396 恒成立， 即 3n 181(n2n12) 对nN*恒成立(10 分) 1 当 n1 时，有 T1T336 5 ； 2 当 n2 时，有 T2T39；(12 分) 3 当 n4 时，n2n12(n4)(n3)0 恒成立， 3n 181 n2n12对n4 恒成立 令 f(n) 3n 181 n2n12， 则 f(n1)f(n)3 n1（2n226）162（n1） （n23n10）（n2n12） 0 对n4 恒成立， f(n) 3n 181 n2n12在 n4 时为单调递增数列 f(4)，即 81 4 .(15 分) 综上，981 4 ，即 的取值范围为 9
17、，81 4 .(16 分) 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)xln x，g(x)x2ax. (1) 求函数 f(x)在区间t，t1(t0)上的最小值 m(t)； (2) 令 h(x)g(x)f(x)，A(x1，h(x1)，B(x2，h(x2)(x1x2)是函数 h(x)图象上任意两点，且满足 h（x1）h（x2） x1x2 1，求实数 a 的取值范围； (3) 若存在 x(0，1，使 f(x)ag（x） x 成立，求实数 a 的最大值. 解：(1) f(x)11 x，令 f(x)0，得 x1. 当 t1 时，f(x)在t，t1上单调递增， f(x)的最小值为 f(t)tln
18、 t；(1 分) 当 0t1 时，f(x)在区间(t，1)上为减函数，在区间(1，t1)上为增函数， f(x)的最小值为 f(1)1. 综上，当 0t1 时，m(t)1；当 t1 时，m(t)tln t(3 分) (2) h(x)x2(a1)xln x，对于任意的 x1，x2(0，)，不妨取 x1x2，则 x1x20，则由 h（x1）h（x2） x1x2 1，可得 h(x1)h(x2)x1x2， 变形得 h(x1)x1h(x2)x2恒成立(5 分) 令 F(x)h(x)xx2(a2)xln x， 则 F(x)x2(a2)xln x 在(0，)上单调递增， 故 F(x)2x(a2)1 x0 在(
19、0，)上恒成立，(7 分) 2x1 xa2 在(0，)上恒成立 2x1 x2 2，当且仅当 x 2 2 时取“”， a2 22，即 a 的取值范围为(，2 22(10 分) (3) f(x)ag（x） x ， a(x1)2x2xln x. x(0，1， x1(1，2， 存在 x(0，1，使得 a2x 2xln x x1 成立 令 t(x)2x 2xln x x1 ，则 t(x)2x 23xln x1 （x1）2 .(12 分) 令 y2x23xln x1，则由 y（x1）（4x1） x 0 可得 x1 4或 x1(舍) 当 x 0，1 4 时 y0，则 y2x23xln x1 在 0，1 4
20、上单调递减； 当 x 1 4， 时 y0，则 y2x 23xln x1 在 1 4， 上单调递增 yln 41 80， t(x)0 在 x(0，1上恒成立 t(x)在(0，1上单调递增 at(1)，即 a1.(15 分) 实数 a 的最大值为 1.(16 分) 数学数学(附加题附加题) 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三三小题小题，请选定其中两小题请选定其中两小题 ，并在相并在相 应的答题区域内作答应的答题区域内作答 ，若多做若多做， 则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 A选修：矩
21、阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 A 2 2 1 3 ，B 1 0 0 1 ，设 MAB. (1) 求矩阵 M； (2) 求矩阵 M 的特征值 解：(1) MAB 2 2 1 3 1 0 0 1 2 2 1 3 .(5 分) (2) 矩阵 M 的特征多项式为 f() 22 13 (2)(3)2. 令 f()0，解得 11，24， 所以矩阵 M 的特征值为 1 或 4.(10 分) B选修：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos ，直线 l 的极坐标方程为 sin 6 m.若直线 l 与曲线 C 有 且只有一个公共点，求实数 m 的值 解：曲线
22、 C 的极坐标方程为 2cos ， 化为直角坐标方程为 x2y22x. 即(x1)2y21，表示以(1，0)为圆心，1 为半径的圆(3 分) 直线 l 的极坐标方程是 sin 6 m，即1 2cos 3 2 sin m， 化为直角坐标方程为 x 3y2m0.(6 分) 因为直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点， 所以|12m| 2 1，解得 m1 2或 m 3 2. 所以，所求实数 m 的值为1 2或 3 2.(10 分) C选修：不等式选讲（本小题满分 10 分） 解不等式：|x1|2|x|4x. 解：原不等式等价于 x0， 1x2x4x或 0x1， 1x2x4x或 x1， x12x4x
23、.(6 分) 解 x0， 1x2x4x，得 x； 解 0x1， 1x2x4x，得 1 3x1； 解 x1， x12x4x，得 x1. 所以原不等式的解集为 1 3， .(10 分) 【必做题】第【必做题】第22题题、第第23题，每题题，每题10分，共计分，共计20分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图， 在底面为正方形的四棱锥 PABCD 中， 侧棱 PD底面 ABCD， PDDC， 点 E 是线段 PC 的中点 (1) 求异面直线 AP 与 BE 所成角
24、的大小； (2) 若点 F 在线段 PB 上，使得二面角 FDEB 的正弦值为 3 3 ，求PF PB的值 解：(1) 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形， 侧棱 PD底面 ABCD， 所以 DA，DC，DP 两两垂直，故以DA ，DC ，DP 为正交基底， 建立空间直角坐标系 Dxyz. 因为 PDDC，所以 DADCDP， 不妨设 DADCDP2， 则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0) 因为 E 是 PC 的中点，所以 E(0，1，1) 所以AP (2，0，2)，BE(2，1，1)， 所以 cosAP ，BE AP B
25、E | AP | | BE | 3 2 ， 从而AP ，BE 6. 因为异面直线 AP 与 BE 所成角的大小为 6.(4 分) (2) 由(1)可知，DE (0，1，1)，DB (2，2，0)，PB (2，2，2) 设PF PB，则PF(2，2，2)，从而DFDPPF(2，2，22) 设 m(x1，y1，z1)为平面 DEF 的一个法向量， 则 m DF 0， m DE 0， 即 x1y1（1）z10， y1z10， 取 z1，则 y1，x121. 所以 m(21，)为平面 DEF 的一个法向量(6 分) 设 n(x2，y2，z2)为平面 DEB 的一个法向量， 则 n DB 0， n DE
26、 0， 即 2x22y20， y2z20， 取 x21，则 y21，z21. 所以 n(1，1，1)为平面 BDE 的一个法向量(8 分) 因为二面角 FDEB 的正弦值为 3 3 ， 所以二面角 FDEB 的余弦值为 6 3 ， 即|cosm，n| 6 3 ， 所以 |m n| |m| |n| 6 3 ， |41| 3 （21）222 6 3 ， 化简得 421. 因为点 F 在线段 PB 上，所以 01， 所以 1 2，即 PF PB 1 2.(10 分) 23 （本小题满分 10 分） 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜投篮进行到有人获胜或每人都已投球 3 次 时结束设甲
27、每次投篮命中的概率为2 5，乙每次投篮命中的概率为 2 3，且各次投篮互不影响现由甲先投 (1) 求甲获胜的概率； (2) 求投篮结束时甲的投篮次数 X 的分布列与期望 解：(1) 设甲第 i 次投中获胜的事件为 Ai(i1，2，3)，则 A1，A2，A3彼此互斥 甲获胜的事件为 A1A2A3. P(A1)2 5； P(A2)3 5 1 3 2 5 2 25； P(A3) 3 5 2 1 3 2 2 5 2 125. 所以 P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)2 5 2 25 2 125 62 125. 答：甲获胜的概率为 62 125.(4 分) (2) X 所有可能取的值为 1，2，3. 则 P(X1)2 5 3 5 2 3 4 5； P(X2) 2 25 3 5 1 3 3 5 2 3 4 25； P(X3) 3 5 2 1 3 2 1 1 25. 即 X 的概率分布列为 X 1 2 3 P 4 5 4 25 1 25 (8 分) 所以 X 的数学期望 E(X)1 4 52 4 253 1 25 31 25.(10 分)
