1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，集合 Bx|x10，则R（AB）（ ） A （，1）3，+） B （，13，+） C （，1）（3，+） D （1，3） 2 （5 分）设 aR，若复数1; :在复平面内对应的点位于实轴上，则 a（ ） A2 B1 C1 D2 3 （5 分） “0x4”是“log2x1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也
2、不必要条件 4 （5 分）我国古代数学专著四元玉鉴卷中“如像招数一五间” ，有如下问题： “今有官 司差夫一千八百六十四人筑堤， 只云初日差六十四人， 次日转多七人， 每人日支米三升， 共支米四百三石九斗二升， 问筑堤几日？“”其大意为： “官府陆续派遣 1864 人前往修 筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多 7 人，修筑堤坝 的每人每天发大米 3 升，共发出大米 40392 升，问修筑堤坝多少天？“在这个问题中， 修筑堤坝的天数为（ ） A14 B15 C16 D17 5 （5 分）已知 5 件产品中有 2 件次品，其余 3 件为合格品现从这 5 件产品中任
3、取 2 件， 至少有一件次品的概率为（ ） A0.4 B0.6 C0.7 D0.8 6 （5 分） “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统 计指标 “搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信 息关注度也越高如图是 2017 年 9 月到 2018 年 2 月这半年中，某个关键词的搜索指数 变化的走势图 第 2 页（共 19 页） 根据该走势图，下列结论正确的是（ ） A这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱 C从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 10 月份的方差小于
4、11 月份的方差 D从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值 7 （5 分）已知 x1ln1 2，x2e ;1 2，x3满足 e ;3 =lnx3，则下列各选项正确的是（ ） Ax1x3x2 Bx1x2x3 Cx2x1x3 Dx3x1x2 8 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 9 （5 分）某程序框图如图所示，若 a4，则该程序运行后输出的结果是（ ） 第 3 页（共 19 页） A7 4 B9 5 C11 6 D13 7 10 （5 分）抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，其准线与双曲线 2 4 2 2
5、 = 1的渐近线相 交于 A、B 两点，若ABF 的周长为42，则 p（ ） A2 B22 C8 D4 11（5 分） 若关于 x 的不等式 x2mlnx10 在2， 3上有解， 则实数 m 的取值范围为 （ ） A(， 3 2- B(， 8 3- C （，e21 D, 3 2 ， 8 3- 12 （5 分）如图，在 RtABC 中，B90，C30，AB1，D、E 分别是边 BC 和 AC 上一点， DEAC， 将CDE 沿 DE 折起使点 C 到点 P 的位置， 则该四棱锥 PABDE 体积的最大值为（ ） A 3 9 B 3 6 C 3 3 D 3 2 二填空题（共二填空题（共 4 小题，
6、满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知平面向量 与 的夹角为 45， =（1，1） ，| |1，则| + | 14（5分） 已知数列n的前n项和2Sn3an1 （nN*） ， bn1+log3an， 则数列* 1 +1+的前n 项和 Tn 15 （5 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 sinC2sinA，且（ba） （sinB+sinA）= 1 2asinC，则 cosB 第 4 页（共 19 页） 16 （5 分）已知 P（2，5）在圆 C：x2+y22x2y+m0 上，直线 l：3x+4y+80 与圆 C 相交于 A，
7、B，则实数 m ， = 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 asinBbsin2A （1）求角 A； （2）若 a5，ABC 的面积为23，求ABC 的周长 18 （12 分）已知三棱锥 PABC，PA底面 ABC，ACBC，且 PAAC2，BC1，E， F 分别为 PC，PB 中点 （）求证：EF平面 ABC； （）求三棱锥 PABC 的体积； （）求证：PC平面 AEF 19 （12 分）为了了解 A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下
8、统计数据： 年份 x 2014 2015 2016 2017 2018 足球特色学校 y （百个） 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70 （） 根据上表数据， 计算 y 与 x 的相关系数 r， 并说明 y 与 x 的线性相关性强弱 （已知： 0.75|r|1，则认为 y 与 x 线性相关性很强；0.3|r|0.75，则认为 y 与 x 线性相关性一 般；|r|0.25，则认为 y 与 x 线性相关性较弱） ； （）求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 A 地区 2019 年足球特色学校的个数（精确到 个） 参考公式：r= =1 ()() =1 ()2 =1 ()2 ， 1 （
9、xi）210， 1 （yi）21.3， 13 3.6056， = =1 ()() =1 ()2 ， = 第 5 页（共 19 页） 20 （12 分）已知 kR，函数 f（x）exkx（其中 e 是自然对数的底数，e2.718） （）当 k1 时，求曲线 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）若当 x0 时都有 f（x）x2+3x+2（k+1）成立，求整数 k 的最大值 21（12 分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为1 2且过 点(0，3) （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知BMN 是椭圆 C 的内接三角形， 若点 B
10、为椭圆 C 的上顶点，原点 O 为BMN 的垂心，求线段 MN 的长； 若原点 O 为BMN 的重心，求原点 O 到直线 MN 距离的最小值 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知点 A 为圆 C： （x1）2+y21 上的动点，O 为坐标原点，过 P（0，4）作 直线 OA 的垂线（当 A、O 重合时，直线 OA 约定为 y 轴） ，垂足为 M，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求点 M 的轨迹的极坐标方程； （2） 直线 l 的极坐标方程为( + 3) = 4， 连接 OA 并延长交 l
11、于 B， 求 | |的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|2|x| （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若 f（x）的最大值为 m，a，b，c 为正数且 a+b+cm，求证：a2+b2+c23 第 6 页（共 19 页） 2020 年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，集合 Bx|x10，则R（AB）（ ） A （，1）3，+）
12、B （，13，+） C （，1）（3，+） D （1，3） 【解答】解：A（1，3） ，B1，+） ， AB1，3） ， R（AB）（，1）3，+） ， 故选：A 2 （5 分）设 aR，若复数1; :在复平面内对应的点位于实轴上，则 a（ ） A2 B1 C1 D2 【解答】解：复数1; : = (1;)(;) (:)(;) = ;1 2:1 :1 2:1 在复平面内对应的点位于实轴 上， :1 2:1 = 0，即 a1 故选：C 3 （5 分） “0x4”是“log2x1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由 log2x1 得
13、 0x2， 故“0x4”是“log2x1”的必要不充分条件 故选：B 4 （5 分）我国古代数学专著四元玉鉴卷中“如像招数一五间” ，有如下问题： “今有官 司差夫一千八百六十四人筑堤， 只云初日差六十四人， 次日转多七人， 每人日支米三升， 共支米四百三石九斗二升， 问筑堤几日？“”其大意为： “官府陆续派遣 1864 人前往修 筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多 7 人，修筑堤坝 的每人每天发大米 3 升，共发出大米 40392 升，问修筑堤坝多少天？“在这个问题中， 修筑堤坝的天数为（ ） 第 7 页（共 19 页） A14 B15 C16 D17 【解
14、答】解：设第 n 天派出的人数为 an，则an是以 64 为首项、7 为公差的等差数列， 则第 n 天修筑堤坝的人数为 Sna1+a2+a3+an64n+ 1 2n（n1） 7= 7 2n 2+121 2 n， 所以前 n 天共分发的大米数为： 3（S1+S2+Sn）37 2（1 2+22+n2）+121 4 n（n+1） 3 7 12n（n+1） （2n+1）+ 121 4 n（n+1）40392， 即有(:1) 6 （7n+185）13464， 将 n14，15，16，17，分别代入上式，只有 n16 成立， 故修筑堤坝的天数为 16 故选：C 5 （5 分）已知 5 件产品中有 2 件次
15、品，其余 3 件为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件， 至少有一件次品的概率为（ ） A0.4 B0.6 C0.7 D0.8 【解答】解：记 5 件产品的编号分别为 1，2，3，a，b，其中 1，2，3 为合格品， 从 5 件产品中选 2 件的事件的结果有 12，13，1a，1b，23，2a，2b，3a，3b，ab 共 10 种， 满足条件的基本事件有 1a，1b，2a，2b，3a，3b，ab 共 7 种， 故所求的概率为 = 7 10 = 0.7 故选：C 6 （5 分） “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统 计指标 “搜索指数”越大，表示网民对该关键词
16、的搜索次数越多，对该关键词相关的信 息关注度也越高如图是 2017 年 9 月到 2018 年 2 月这半年中，某个关键词的搜索指数 变化的走势图 第 8 页（共 19 页） 根据该走势图，下列结论正确的是（ ） A这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱 C从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 10 月份的方差小于 11 月份的方差 D从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值 【解答】解：在 A 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故 A 错 误； 在 B 中， 这半年
17、中， 网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性， 没有减弱， 故 B 错误； 在 C 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 10 月份的方差大于 11 月份的方差， 故 C 错误； 在 D 中， 从网民对该关键词的搜索指数来看， 去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平 均值，故 D 正确 故选：D 7 （5 分）已知 x1ln1 2，x2e ;1 2，x3满足 e ;3 =lnx3，则下列各选项正确的是（ ） Ax1x3x2 Bx1x2x3 Cx2x1x3 Dx3x1x2 【解答】解：依题意，因为 ylnx 为（0，+）上的增函数，所以 x1ln1 2 ln10； 因为 y
18、ex为 R 上的增函数，且 ex0，所以 0x2e ;1 2e01； x3满足 e ;3 =lnx3， 所以 x30，所以;30， 所以 lnx30ln1， 第 9 页（共 19 页） 又因为 ylnx 为（0，+）的增函数， 所以 x31， 综上：x1x2x3 故选：B 8 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：当 x时， 0:， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）0+，排除 C， D； 因为 x+时， +， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）+，因此排除 B， 故选：A 9 （5 分）某程序框图如图所示，若 a
19、4，则该程序运行后输出的结果是（ ） A7 4 B9 5 C11 6 D13 7 【解答】解：由题意知，该程序计算的是数列 1 (:1)前四项的和再加上 1 1 (:1) = 1 1 :1， 第 10 页（共 19 页） S1+（1 1 2）+( 1 2 1 3) + ( 1 3 1 4) + ( 1 4 1 5) = 9 5 故选：B 10 （5 分）抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，其准线与双曲线 2 4 2 2 = 1的渐近线相 交于 A、B 两点，若ABF 的周长为42，则 p（ ） A2 B22 C8 D4 【解答】解：双曲线 2 4 2 2 = 1渐近线方程为 = 2 2 ，
20、 抛物线 y22px（p0）的准线方程为 = 2， 由题意得：( 2 ， 2 4 )，( 2 ， 2 4 )， | = 2 2 ，| = | =2+ ( 2 4 )2= 32 4 又ABF 的周长为42， | + | + | = 32 4 + 32 4 + 2 2 = 42 解得：p2 故选：A 11（5 分） 若关于 x 的不等式 x2mlnx10 在2， 3上有解， 则实数 m 的取值范围为 （ ） A(， 3 2- B(， 8 3- C （，e21 D, 3 2 ， 8 3- 【解答】解：依题意， 2;1 ， 令() = 21 ， ,2，3-，则() = 2+1 ()2 ， 令() =
21、2 + 1 ，则() = 2 + 1 1 2，易知 m（x）单调递增，m（x） m（2）0， 所以 m（x）单调递增，故 m（x）m（2）0，故 g（x）0， 则 g（x）在2，3上单调递增，故 g（3）m， 所以 m 8 3， 即实数 m 的取值范围为(， 8 3-， 故选：B 第 11 页（共 19 页） 12 （5 分）如图，在 RtABC 中，B90，C30，AB1，D、E 分别是边 BC 和 AC 上一点， DEAC， 将CDE 沿 DE 折起使点 C 到点 P 的位置， 则该四棱锥 PABDE 体积的最大值为（ ） A 3 9 B 3 6 C 3 3 D 3 2 【解答】解：依题意
22、，B90，C30，AB1， 所以 AC= 1 30 =2，BC= 22 12= 3， 三角形 ABC 的面积 SABC= 1 2 1 3 = 3 2 设 CEh， 当点 E 的位置确定时，点 C 到平面 ABDE 的距离越大， 则该四棱锥 PABDE 体积就越大， 而点 C 到平面 ABDE 的最大距离为 CE， 则 DECEtan30= 3 3 ， 所以三角形 CDE 的面积 S1= 1 2 3 3 = 3 6 2， 所以四边形 ABDE 的面积 SSABCS1= 3 2 3 6 2， 所以该四棱锥 PABDE 体积 V= 1 3 = 1 3（ 3 2 3 6 2） h= 3 6 ( 1 3
23、 3)， V= 3 6 （1h2） ，令 V0 得，h1，因为 03， 所以当 0h1 时，V0，当 1h3时，V0， 所以 V（h）在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减， 故当 h1 时，V 有最大值 Vmax= 3 6 (1 1 3) = 3 9 故选：A 第 12 页（共 19 页） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知平面向量 与 的夹角为 45， =（1，1） ，| |1，则| + | 5 【解答】解：根据题意， =（1，1） ，则| |= 2， 又由 与 的夹角为 45，| |1，则| + |2
24、= 2+2 + 2 2+2+15， 则| + |= 5； 故答案为：5 14（5分） 已知数列n的前n项和2Sn3an1 （nN*） ， bn1+log3an， 则数列* 1 +1+的前n 项和 Tn :1 【解答】解：2Sn3an1（nN*） ， n2 时，2an2Sn2Sn13an1（3an11） ，化为：an3an1， 又 n1 时，2a13a11，解得 a11 数列n是等比数列，公比为 3，首项为 1 an3n 1 bn1+log3an1+n1n 1 +1 = 1 (:1) = 1 1 :1 则数列* 1 +1+的前 n 项和 Tn1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 +1
25、=1 1 +1 = +1 故答案为： :1 15 （5 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 sinC2sinA，且（ba） （sinB+sinA）= 1 2asinC，则 cosB 3 4 【解答】解：sinC2sinA，c2a， 第 13 页（共 19 页） （ba） （sinB+sinA）= 1 2asinC，（ba） （b+a）= 1 2 ，即2 2= 1 2 ， 2 2= 1 2 2 = 2，b22a2， cosB= 2+22 2 = 2+4222 22 = 3 4， 故答案为：3 4 16 （5 分）已知 P（2，5）在圆 C：x2+y22x2y+m0
26、上，直线 l：3x+4y+80 与圆 C 相交于 A，B，则实数 m 23 ， = 32 【解答】解：把 P（2，5）代入圆 C：x2+y22x2y+m0， 解得 m23 即圆 C 的方程为（x1）2+（y1）225， 所以 r|AC|BC|5， 又圆 C 到直线 AB 的距离 d= |3+4+8| 5 = 3， 所以|AB|8， 则 = 64+2525 285 = 4 5， 所以 = |( ) =5 8 ( 4 5) = 32 故答案为：23；32 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C
27、 所对的边分别为 a，b，c，已知 asinBbsin2A （1）求角 A； （2）若 a5，ABC 的面积为23，求ABC 的周长 【解答】解： （1）asinBbsin2A sinAsinBsinB2sinAcosA， A、B（0，） ，sinA0，sinB0， 2cosA1， = 1 2，又A（0，） ， = 3； （2）A= 3，S = 1 2 = 23， 第 14 页（共 19 页） bc8， cosA= 2+22 2 = 1 2，（b+c） 22bca2bc b+c7， ABC 的周长为：5+712 18 （12 分）已知三棱锥 PABC，PA底面 ABC，ACBC，且 PAAC2
28、，BC1，E， F 分别为 PC，PB 中点 （）求证：EF平面 ABC； （）求三棱锥 PABC 的体积； （）求证：PC平面 AEF 【解答】解： （）证明：E，F 分别为 PC，PB 中点，EFBC， EF平面 ABC，BC平面 ABC， EF平面 ABC； （）PA底面 ABC，ACBC，且 PAAC2，BC1， SABC= 1 2 = 1 2 2 1 =1， 三棱锥 PABC 的体积：VPABC= 1 3 = 1 3 2 1 = 2 3 （）证明：BCAC，EFBC，EFAC， PA底面 ABC，PABC，EFPA， PAACA，EF平面 PAC，PCEF， PAAC2，E 是 PC
29、 中点PCAE， AEEFE，PC平面 AEF 第 15 页（共 19 页） 19 （12 分）为了了解 A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据： 年份 x 2014 2015 2016 2017 2018 足球特色学校 y （百个） 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70 （） 根据上表数据， 计算 y 与 x 的相关系数 r， 并说明 y 与 x 的线性相关性强弱 （已知： 0.75|r|1，则认为 y 与 x 线性相关性很强；0.3|r|0.75，则认为 y 与 x 线性相关性一 般；|r|0.25，则认为 y 与 x 线性相关性较弱） ； （）求 y 关于
30、 x 的线性回归方程，并预测 A 地区 2019 年足球特色学校的个数（精确到 个） 参考公式：r= =1 ()() =1 ()2 =1 ()2 ， 1 （xi）210， 1 （yi）21.3， 13 3.6056， = =1 ()() =1 ()2 ， = 【解答】解： （） = 2016， = 1， = =1 ()() =1 ()2 =1 ()2 = 3.6 101.3 = 3.6 3.6056 0.75， y 与 x 线性相关性很强（5 分） （ ） = 5 =1 ()() 5 =1 ()2 = (2)(0.7)+(1)(0.4)+10.4+20.7 4+1+0+1+4 = 0.36 ，
31、 = = 1 2016 0.36 = 724.76， y 关于 x 的线性回归方程是 = 0.36 724.76 当 x2019 时， = 0.36 724.76 = 2.08， 即 A 地区 2019 年足球特色学校有 208 个（12 分） 20 （12 分）已知 kR，函数 f（x）exkx（其中 e 是自然对数的底数，e2.718） 第 16 页（共 19 页） （）当 k1 时，求曲线 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）若当 x0 时都有 f（x）x2+3x+2（k+1）成立，求整数 k 的最大值 【解答】解： （I）k1 时，f（x）exx，f（x）ex1， 根据题
32、意可得，f（0）1，f（1）0， 故曲线 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程 y1； （II）由 x0 时都有 f（x）x2+3x+2（k+1）成立可得，exkx（x2+3x+2（k+1） ， 即 k 232 +2 在 x0 时恒成立， 令 g（x）= 232 +2 ，x0， 则 g（x）= (+1)(+2)2 (+2)2 ， 令 h（x）（x+1）ex（x+2）2，x0， 则 h（x）（x+2） （ex2） ， 易得，当 x（0，ln2）时，h（x）0，h（x）单调递减，当 x（ln2，+）时，h （x）0，h（x）单调递增， 又 h（1）2e90，h（2）3e2160， 故存在 x
33、0（1，2） ，使得 h（x0）0 即（x0+1）e 0 =（x0+2）2， 故当 x（0，x0）时，h（x）0 即 g（x）0，g（x）单调递减，当 x（x0，+）时， h（x）0 即 g（x）0，g（x）单调递增， 故 g（x）ming（x0）= 0(0+1)(0+2) 0+2 = (0+2)2 0+1 (0+1)(0+2) 0+2 ， = 0+2 0+1 (0+ 1) = 1 + 1 0+1 (0+ 1)， 故 g（x）ming（x0）= 0(0+1)(0+2) 0+2 = (0+2)2 0+1 (0+1)(0+2) 0+2 ， = 0+2 0+1 (0+ 1) = 1 + 1 0+1
34、(0+ 1)， 令 tx0+1，则 t（2，3） ， g（t）1+ 1 在（2，3）上单调递减， 所以 g（t） ( 5 3 ， 1 2)，即 5 3g（x）min 1 2， 又 x0 时，kg（x）恒成立， 第 17 页（共 19 页） 从而 kg（x）min， 故 k 5 3，故满足条件的 k2 21（12 分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为1 2且过 点(0，3) （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知BMN 是椭圆 C 的内接三角形， 若点 B 为椭圆 C 的上顶点，原点 O 为BMN 的垂心，求线段 MN 的长； 若原点 O
35、为BMN 的重心，求原点 O 到直线 MN 距离的最小值 【解答】解： （1）由题意可知： = 3 = 1 2 2= 2+ 2 ，解得 = 2 = 3 = 1 ， 椭圆 C 的方程为： 2 4 + 2 3 = 1； （2） 由题意知： BOMN， 故 MNx 轴， 设 M （x， y） ， 则 N （x， y） ， 2= 4 4 3 2， =（x，y3） （x，y）= 2+ 2 3 = 7 3 2 3 4 =0， 解得：y= 3或 43 7 ， 又点 B 与点 M 不重合，y 3， y= 43 7 ，2= 132 49 ， |MN|2|x|= 433 7 ； 设 MN 的中点为 D，直线 OD
36、 与椭圆交于 A，B 两点， 原点 O 为BMN 的重心，|BO|2|OD|OA|， （i）当直线 MN 的斜率不存在时，则 O 到直线 MN 的距离为 1， （ii） 当直线 MN 的斜率存在时， 设直线 MN 的方程为： ykx+m， 设 M （x1， y1） ， N （x2， y2） ， 第 18 页（共 19 页） 原点 O 为BMN 的重心，xB（x1+x2） ，yB（y1+y2） ， 又点 A 与点 B 关于原点对称，A（x1+x2，y1+y2） ， 1 2 4 + 12 3 = 22 4 + 22 3 = (1:2)2 4 + (1:2)2 3 = 1， 3x1x2+4y1y26
37、， 3x1x2+4（kx1+m） （kx2+m）6， (42+ 3)12+ 4(1+ 2) + 42+ 6 = 0（*） ， 联立方程 = + 2 4 + 2 3 = 1，消去 y 得： （4k 2+3）x2+8mkx+4m2120， 64m2k24（4k2+3） （4m212）48（4k2+3m2）0，即 m24k2+3， 且1+ 2= 8 42+3，12 = 4212 42+3 ，代入（*）式得：82 6 3222 42+3 = 0， 4m24k2+3， 设原点 O 到直线 MN 距离为 d，则 d= | 1+2 =4 2+3 42+4 = 1 1 42+4， 当 k0 时，d 取得最小值
38、，最小值为 3 2 ， 综上所求，原点 O 到直线 MN 距离的最小值为 3 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知点 A 为圆 C： （x1）2+y21 上的动点，O 为坐标原点，过 P（0，4）作 直线 OA 的垂线（当 A、O 重合时，直线 OA 约定为 y 轴） ，垂足为 M，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求点 M 的轨迹的极坐标方程； （2） 直线 l 的极坐标方程为( + 3) = 4， 连接 OA 并延长交 l 于 B， 求 | |的最大值 【解答】 解： （1） 设点
39、M 的极坐标为 （， ） ， 所以根据题意， 在OPM 中， 有 4sin， 所以点 M 的极坐标方程为：4sin （2）设射线 OA：， （ 2 ， 2） ） ，圆 C 的极坐标方程为 2cos 由 = 2 = 得到|OA|12cos 由( + 3) = 4 = 得：| = 2= 4 (+ 3) ， 第 19 页（共 19 页） 所 以 | | = 2 4 (+ 3) = 1 2 ( + 3) = 1 4 + 3 4 2 = 1 4 (2 + 3) + 3 8 由于 （ 2 ， 2） ， 所以 2 3 2 + 3 3 4 ， 当2 + 3 = 2，即 = 12， 故(| |) = 2+3 8
40、 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|2|x| （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若 f（x）的最大值为 m，a，b，c 为正数且 a+b+cm，求证：a2+b2+c23 【解答】解： （1）当 x0 时，f（x）3x+2xx+3，由 f（x）2 得 x1，故1 x0； 当 0x3 时，f（x）3x2x33x，由 f（x）2 得 1 3，故0 1 3； 当 x3 时，f（x）x32xx3，由 f（x）2 得 x5，故此时无解； 综上，1 1 3，即不等式 f（x）2 的解集为,1， 1 3-； （2）由绝对值三角不等式及绝对值的非负性可得： f（x）|x3|2|x|x3|x|x|3|x|
