1、 - 1 - 青岛市 2020 年高三统一质量检测 数学试题 2020.04 全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟 一单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,复数 1 2 , i z i 则 z 的共轭复数 z 的虚部为 A. i B.1 C. i D. -1 2.已知集合 2 |log2AxRx,集合 B=xR|x-1| c B. ba c C. bca D. cab 5.已知函数 39,0 ( )(2.718. ,0 x x x f xe xex 为自然对数的底数),若 f(x)的零点
2、为 ,极值点为 ,则 += A.-1 B.0 C.1 D.2 6.已知四棱锥 P-ABCD 的所有棱长均相等,点 E,F 分别在线段 PA, PC 上,且 EF/底面 ABCD,则异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为 A.30 B.45 C.60 D.90 7.在同一直角坐标系下,已知双曲线 C: 22 22 1(0,0) yx ab ab 的离心率为2,双曲线 C 的一个焦点到一 条渐近线的距离为 2,函数sin(2) 6 yx 的图象向右平移 3 单位后得到曲线 D,点 A,B 分别在双曲线 C 的下支 和曲线 D 上,则线段 AB 长度的最小值为 A.2 .3B .2C D.1 8.
3、某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” “升级题型” “创新题型”三类题型,每类题型 均指定一道题让参赛者回答已知某位参赛者答对每道题的概率均为 4 , 5 且各次答对与否相互独立,则该参赛者答 完三道题后至少答对两道题的概率 112 . 125 A 80 . 125 B 113 . 125 C 124 . 125 D 二多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选 - 2 - 对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分 9.已知向量(1,1),( 3,1),(1,1),ababc rr rrr 设,
4、 a b r r 的夹角为 ,则 . | |Aab r r .Bac rr ./Cbc r r D. =135 10.已知函数 22 ( )sin2 3sin coscos,f xxxxxxR,则 A. -2f(x)2 B. f(x) 在区间(0,)上只有 1 个零点 C. f(x) 的最小正周期为 . 3 Dx 为 f(x)图象的一条对称轴 11.已知数列 n a的前 n 项和为 S 11 ,1,21, nnn aSSa 数列 1 2 n nn aa 的前 n 项和为 * , n T nN则 下列选项正确的为 A.数列1 n a 是等差数列 B.数列1 n a 是等比数列 C.数列 n a的
5、通项公式为21 n n a .1 n DT 12.已知四棱台 1111 ABCDABC D的上下底面均为正方形,其中2 2,AB 11111 2,2,ABAABBCC 则下述正确的是 A.该四棱合的高为3 11 .BAACC C.该四棱台的表面积为 26 D.该四棱合外接球的表面积为 16 三填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 13.若 x 1 (0,),4xxa 恒成立,则实数 a 的取值范围为_ 14.已知函数 f(x)的定义域为 R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则 f(2)=_ 15. 已知 aN,二项式 6 1 () a x x 展开式中含有 2 x项
6、的系数不大于 240,记 a 的取值集合为 A,则由集合 A 中 元素构成的无重复数字的三位数共有_个 . 16.2020 年是中国传统的农历“鼠年”,有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆 Q 的圆心,圆 Q 过坐 标原点 O;点 LS 均在 x 轴上,圆 L 与圆 S 的半径都等于 2,圆 S圆 L 均与圆 Q 外切已知直线 l 过点 O . (1) 若直线 l 与圆 L圆 S 均相切,则 l 截圆 Q 所得弦长为_ ; (2)若直线 l 截圆 L圆 S圆 Q 所得弦长均等于 d,则 d=_. - 3 - (本题第一个空 2 分,第二个空 3 分) 四解答题:本题共
7、 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(10 分) 设 等 差 数 列 n a的 前n项 和 为, n S等 比 数 列 n b的 前n项 和 为. n T已 知 1 1 2,ab 23 6,12,SS 2 4 , 3 T nN*. (1)求, nn ab的通项公式; (2)是否存在正整数 k,使得6 k Sk且 13 9 k T ？若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由 18.(12 分) 在ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 2222 2()(1 tan)bbcaA. (1)求角 C ; (2)若2 10,c D 为 B
8、C 中点,在下列两个条件中任选一个,求 AD 的长度 条件:ABC 的面积 S=4 且 B A; 条件: 2 5 cos. 5 B 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分 19. (12 分) 在如图所示的四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BCE为边长为2的等边三角形,AB=AE,点F,O 分别为 AB, BE 的中点, OF 是异面直线 AB 和 OC 的公垂线 (1)证明:平面 ABE平面 BCE; (2)记 OCDE 的重心为 G,求直线 AG 与平面 ABCD 所成角的正弦值. - 4 - 20. (12 分) 某网络购物平台每年 11 月 11 日举行“双十一
9、”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱 (1)已知该网络购物平台近 5 年“双十”购物节当天成交额如下表: 年份 2015 2016 2017 2018 2019 成交额（百亿元） 9 12 17 21 27 求成交额 y (百亿元) 与时间变量 x (记 2015 年为 x=1, 2016 年为 x=2,依次类推)的线性回归方程,并预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ; (2)在 2020 年“双十一”购物节前,某同学的爸爸妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加 AB 两店各一个订单 的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸妈妈在 AB 两店订单“秒杀”成功的概率分
10、别为 pq,记该同学的爸爸和妈妈抢购到 的订单总数量为 X . ( i)求 X 的分布列及 E(X); (ii)已知每个订单由 k(k2,kN* )件商品 W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 W 总数量为 Y,假设 2 7sinsin , 44 kk pq kkk ,求 E(Y)取最大值时正整数 k 的值. 附:回归方程 y bxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 11 222 11 () ; () nn iiii ii nn ii ii x ynx yxx yy baybx xnxxx . 21. (12 分) 已知 O 为坐标原点,椭圆 C 22 22 :1(0) xy ab
11、 ab 的左,右焦点分别为点 12 ,F F 2 F又恰为抛物线 D 2 :4yx的焦点,以 12 FF为直径的圆与椭圆 C 仅有两个公共点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 若直线 l 与 D 相交于 A,B 两点,记点 A,B 到直线 x=-1 的距离分别为 1, d 212 ,|.dABdd直线 l 与 C 相 交于 E,F 两点,记OAB,OEF 的面积分别为 12 ,.S S (i)证明: 1 EFF的周长为定值; (ii)求 2 1 S S 的最大值. - 5 - 22. (12 分) 已知函数 2 ( )ln2f xaxxx的图象在点(1,1)处的切线方程为 y=1. (1)当 x(0,2)时,证明: 0 f(x)2; (2)设函数 g(x)=xf(x),当 x(0,1)时,证明: 0g(x)1 ; (3)若数列 n a满足: * 11 (),01, nn af aanN .证明: 1 ln0. n i i a - 6 - - 7 - - 8 - - 9 - - 10 - - 11 -
