1、1、平面向量的坐标表示与平面向量分、平面向量的坐标表示与平面向量分解定理的关系。解定理的关系。2、平面向量的坐标是如何定义的？、平面向量的坐标是如何定义的？3、平面向量的运算有何特点？、平面向量的运算有何特点？类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的任意向量任意向量 ，均可以分解为不共线的两个向量，均可以分解为不共线的两个向量 和和 使得使得a a1 11 1a a2 22 2 a a=a a1 11 1a a+2 22 2 a a 在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，
2、情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量叫做把向量正交分解正交分解。我们知道，在平面直角坐标系，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。基底时，会为我们研究问题带来方便。我们把（我们把（x,y)x,y)叫做向量叫做向量a a 的的（直角）坐标，记作（直角）坐标，记作 a=(xa=(x，y),y),其中其中x x叫做叫做a
3、 a 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做a a在在y y轴上的坐标，（轴上的坐标，（x,yx,y）叫做叫做向量的坐标表示。向量的坐标表示。ayjiO图 1xxiyj a=xi+yj（1，0）（0，1）（0，0）i=i=j=j=0=0=其中其中i，j为向量为向量 i，j ayjiO图 1xxiyj其中其中xi为为x i，yj为为y jyxOyxjA（x,y）a如图，在直角坐标平面内，以原如图，在直角坐标平面内，以原点点O为起点作为起点作OA=a，则点，则点A的位的位置由置由a唯一确定。唯一确定。设设OA=xi+yj，则向量，则向量OA的坐标的坐标（x,y)就是点就是点A的坐标；反过
4、来，的坐标；反过来，点点A的坐标（的坐标（x,y)也就是向量也就是向量OA的坐标。因此，在平面直角坐标的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。一对实数唯一表示。i例例1 如图，用基底如图，用基底i，j分别表示向量分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标。并求出它们的坐标。jyxOiaA1AA2bcd解：由图解：由图3可知可知a=AA1+AA2=2i+3j,a=(2,3)同理，同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)已知已知 ，你能得出你能得出 ，的坐标吗？的坐标吗？1 11
5、 1a=(x,y)a=(x,y)2 22 2b=(x,y)b=(x,y)a+ba+b-a ba b a a已知，已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j即即 a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)这就是说，两个向量和与差的坐标分别等这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。于这两个向量相应坐标的和与差。结论：结论：一个向量的坐标等于表示此向量一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的的有向线段的终点的坐标减去始
6、点的坐标。坐标。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如图，已知如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2),则则 AB=OB-OA =(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)yxOB(x2,y2)A(x1,y1)你能在图中标出坐标为你能在图中标出坐标为 的的P点吗？点吗？21212121(x-x,y-y)(x-x,y-y)P已知a=(x,y)和实数这就是说，实数与向量的积的坐 标等用这个实数乘以原来向量的 相应坐标。例例2 已知已知a（2，1），），b（3，4），求），求a+b，ab，3a+4b例例3 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三个定点的三个定点A、B、C的坐标
7、分别为（的坐标分别为（2，1）、）、（1，3）、（）、（3，4），求顶点），求顶点D的坐标的坐标例例4 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三个定点的三个定点A、B、C的坐标分别为（的坐标分别为（2，1）、（）、（1，3）、（）、（3，4），求顶点），求顶点D的坐标的坐标 平行四边形平行四边形ABCD的对角线交于点的对角线交于点O,且且知道知道AD=（3，7），），AB=（-2，1），求），求OB坐标。坐标。问题：问题：共线向量如何用坐标来共线向量如何用坐标来表示呢？表示呢？消去消去后得后得 也就是说，也就是说，a/b(b0)的等价表示是的等价表示是 x1y2-x2y1=0 x1y2-x2y1=0练习：下列向量组中，能作为表示它练习：下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确们所在平面内所有向量的基底，正确的有（的有（）（1）e1=(-1,2),e2=(5,7)（2）e1=(3,5),e2=(6,10)（3）e1=(2,-3),e2=(1/2,-3/4)例例5、已知、已知 a=（4，2），），b=（6，y），），且且 a/b，求，求 y 的值。的值。例例6、已知、已知A（-1，-1），），B（1，3），），C（2，5），判断），判断A、B、C三点的位置关系。三点的位置关系。ABC
