1、第 1 页 共 14 页 专题专题 11：直线与圆、圆与圆直线与圆、圆与圆 问题归类问题归类篇篇 类型一：类型一：圆的圆的方程方程 一、前测回顾一、前测回顾 1.经过三点 A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)的圆的方程为 2.一个圆经过椭圆x 2 16 y2 41 的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为 3.已知圆 C 的圆心位于第二象限且在直线 y2x1 上，若圆 C 与两个坐标轴都相切，则圆 C 的标准方程 是 _. 答案：1. x2y26x2y50 2. (x3 2) 2y225 4 ; 3. x1 3 2 y1 3 21 9 二、方法联想二、方法联想 求求圆的方程圆的方
2、程 方法 1：三点代入圆的一般方程 x2y2DxEyF0，求解 D、E、F 方法 2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心 方法 3：直角三角形外接圆的直径为斜边 优先判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，用方法 3；若只涉及圆心，可用方法 2；方法 1 可直接求出圆心和半径 三、归类巩固三、归类巩固 *1在平面直角坐标系xOy中，已知点 C(t，2 t)(tR，t0)为圆心的圆过原点 O,直线 2xy40 与圆 C 交于 M,N 两点，若 OMON,则圆 C 的标准方程为 . 利用直线利用直线OC与已知直线垂直求出圆心，利用线圆位置关系与已知直线垂直求出圆心，利用线圆位置关系舍一舍一解 答
3、案：(x2)2(y1)25. *2在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x)x22xb 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个 交点的圆记为 C，则 C 的方程是_ (三点代入圆的一般方程三点代入圆的一般方程 x2y2DxEyF0，求解求解 D、E、F；设而不求法求外接圆方程设而不求法求外接圆方程) 答案： x2y22x( b1) yb0 *3已知圆 O：x2y24，点 M(4,0)，过原点的直线(不与 x 轴重合)与圆 O 交于 A，B 两点，则ABM 的外接圆的面积的最小值为_ (求外接圆半径求外接圆半径的的最值最值) 答案：25 4 类型类型二二：直线与圆相切问题直线与圆相切问题
4、 一、一、 前测回顾前测回顾 1.过点 P(1，0)作圆 C： (x4)2(y2)29 的两条切线，切点分别为 A、B，则切线方程为 ； 切线长 PA 为 ；直线 AB 的方程为 2.经过点 A(4，1)，且与圆：x2y22x6y50 相切于点 B(1，2)的圆的方程为 3.圆 C1:x2y216 与 C2:(x4)2+(y3)2r2(r0)在交点处的切线互相垂直,则 r 答案：(1) x1 或 5x12y50；2；3x2y70 (2)(x3)2(y1)25(3)3 二、方法联想二、方法联想 相切相切问题问题 (1) 位置判断：方法 1：利用 dr；方法 2：在已知切点坐标的 情况下，利用圆心
5、和切点的连线与切线垂直 PA B C 第 2 页 共 14 页 (2)如图，在 RtPAC 中，切线长 PA PC2R2； 当圆外一点引两条切线时， (1)P、A、B、C 四点共圆(或 A、B、C 三点共圆)，其中 PC 为直径； (2)两圆的方程相减可得切点弦的直线方程 (3)PC 为APB 的平分线，且垂直平分线段 AB 三、归类巩固三、归类巩固 *1在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中， 半径最大的圆的标准方程为_ (已知直线与圆相切，圆心到直线的距离即为半径，求半径的最值；或者紧扣直线过定点解题已知直线与圆相切，圆心到直线的距
6、离即为半径，求半径的最值；或者紧扣直线过定点解题) 答案：(x1)2y22 *2.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2(y3)22，点 A 是 x 轴上的一个动点，AP，AQ 分别 切圆 C 于 P，Q 两点，则线段 PQ 的长的取值范围是_ (直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化) 答案：2 3 14,2 2) *3 .已知圆 M：(x1)2(y1)24，直线 l：xy60，A 为直线 l 上一点若圆 M 上存在两点 B， C，使得BAC60，则点 A 横坐标的取值范围是_ (BAC 最大最
7、大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题) 答案：1，5 *4.平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在 x 轴上，从点 P 向圆 C1：x2(y3)25 引切线，切线长为 d1， 从点 P 向圆 C2：(x5)2(y4)27 引切线，切线长为 d2，则 d1d2的最小值为_ (求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题) 答案：5 2 解：设点 P(x，0)，则 d1 x2(3)25，d2 (x5)2427，d1d2 x24 (x5)29， 几何意义：点 P(x，0)到点 M(0，2)，N(5，3)的距离和
8、 当 M，P，N 三点共线时，d1d2有最小值 5 2，此时 P(2，0) 类型类型三三：直线与圆的相交问题直线与圆的相交问题 一、一、 前测回顾前测回顾 1.已知过定点 P(1， 2)的直线 l 交圆 O： x2y29 于 A， B 两点， 若 AB4 2， 则直线 l 的方程为 ； 当 P 为线段 AB 的中点时，则直线 l 的方程为 2.已知圆的方程为 x2y26x8y0.设该圆过点(1， 4)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD， 则四边 形 ABCD 的面积为 答案：1.x1 或 3x4y50；x2y502.30; 二、方法联想二、方法联想 相交弦问题相交弦问题 直线与圆的位置关系
9、判断方法： 代数法和几何法. (1) 圆心角、弦长 L、半径 R 和弦心距 d 中三个量可以建立关系式 如：(L 2) 2d2R2，dRcos 2 ，L 2Rsin 2 (2)相交弦的垂直平分线过圆心 (3)过圆内一定点，最长的弦为直径，最短的弦与过定点的直径垂直 三、归类巩固三、归类巩固 *1.直线 l1：ykx3 与圆 C：(x2)2(y3)24 相交于 M，N 两点，若 MN2 3，则 k 的的取值范 围是_ 第 3 页 共 14 页 (已知弦长范围，求参数取值范围已知弦长范围，求参数取值范围) 答案： 3 3 , 3 3 *2.过点 P(4,0)的直线 l 与圆 C：(x1)2y25
10、相交于 A,B 两点,若点 A 恰好是线段 PB 的中点，则直 线 l 的方程为_ (已知弦的性质，求直线方已知弦的性质，求直线方程程) 答案：x 3y40 *3.已知直线 l：mxy3m 30 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线交 x 轴于 C，D 两点，若 AB2 3，则 CD (已知弦长，求直线方程及有关量的取值已知弦长，求直线方程及有关量的取值) 答案：4 *4.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1：(x1)2(y6)225，圆 C2：(x17)2(y30)2r2.若圆 C2上 存在一点 P，使得过点 P 可作一条射线与圆 C1依次交于点 A，B，
11、满足 PA2AB，则半径 r 的取值范围是 _ ( (已知两弦长关系求参数范围问题已知两弦长关系求参数范围问题) ) 答案：5，55 类型类型四：四：圆上点到直线或点的距离问题圆上点到直线或点的距离问题 一、一、 前测回顾前测回顾 1.已知实数 x,y 满足 x2y24， 则(x3)2(y4)2的范围是 . 2.圆 C：x2(y2)2R2(R0)上恰好存在 2 个点，它到直线 y 3x2 上的距离为 1，则 R 的取值范围 为 答案：1. 9，49; 2.1R3 二、方法联想二、方法联想 圆上的点到直圆上的点到直线的距离线的距离 (1)当直线与圆相离时， 圆上点到直线距离，在点 A 处取到最大
12、值 dR，在点 B 取到最小值 dR (2)当直线与圆；在圆外时，圆上的点到点的最大距离是 dR，最小距离是 dR (1) 当点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是 dR，最小距离是 Rd. 圆上的点到点的距离圆上的点到点的距离 (1)当已知点在圆外时， 圆上点到已知点距离最大值 dR，最小值 dR (2) 当已知点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是 dR，最小距离是 Rd. 三、三、 归类巩固归类巩固 *1.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是 . 答案： （13，13） (已知圆上点到直线距
13、离求参数范围已知圆上点到直线距离求参数范围) *2.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的方程为(x2)2(y1)25，圆 C 与 y 轴交于点 O,B，其中 O 为原点设 P 为直线 l:xy20 上的动点，Q 为圆 C 上的动点，求 PB+PQ 的最小值及此时点 P 的坐标 答案：PB+PQ 的最小值为 2 5,此时 P 点坐标为(4 3， 2 3) 考查点圆距离与点线距离的综合问题考查点圆距离与点线距离的综合问题 类型类型五五：两圆的位置关系问题两圆的位置关系问题 一、一、 前测回顾前测回顾 1.已知圆 C1：x2y22mx4ym250 和圆 C2：x2y22x2mym230，若两
14、圆相交，实数 C B A 第 4 页 共 14 页 m 的取值范围为 2.已知圆 O1：x2y24x2y40，圆 O2：x2y26x2y60，则两圆的公共弦长度 为 答案：1.5m2 或1m2;2.4 二、方法联想二、方法联想 两圆位置关系两圆位置关系问题问题 位置关系 d 与 r1，r2的关系 公切线条数 外离 dr1r2 4 外切 dr1r2 3 相交 |r1r2|dr1r2 2 内切 d|r1r2| 1 内含 0d|r1r2| 0 两圆相交两圆相交问题问题 (1)两圆的方程相减可得相交弦的直线方程 (2)两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦 两圆相切两圆相切问题问题 两圆相切时，两圆
15、圆心的连线过两圆的切点 三、归类巩固三、归类巩固 *1. 若两点 A(1，0)，B(3，2 3)到直线 l 的距离均等于 1，则直线 l 的方程为 (转化为两圆位置关系看公切线条数或者研究直线与线段转化为两圆位置关系看公切线条数或者研究直线与线段 A B 平行和过线段平行和过线段 A B 中点两种情况中点两种情况) 答案： 3xy 230 或 3xy 230 或 x3y10 或 x20. *2.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x1)2(y1)29，直线 l：ykx3 与圆 C 相交于 A， B 两点，M 为弦 AB 上一动点，以 M 为圆心，2 为半径的圆与圆 C 总有公共点，
16、则实数 k 的取值范围 为_ (已知两圆位置关系，求参数取值范围已知两圆位置关系，求参数取值范围) 答案：3 4,) *3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O：x2y21，O1：(x4)2y24，动点 P 在直线 x 3yb 0 上，过 P 分别作圆 O，O1的切线，切点分别为 A，B，若满足 PB2PA 的点 P 有且只有两个，则实 数 b 的取值范围是_ (已知两圆切线长的关系，求参数取值范围已知两圆切线长的关系，求参数取值范围) 答案： (20 3 ,4) 综合综合应用应用篇篇 一、例题分析一、例题分析 例例 1在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 上一点 P（0， 2）到椭圆
17、C 的右焦点的距离为 6 *（1）求椭圆 C 的方程； *（2）过点 P 作互相垂直的两条直线 l1，l2，且 l1交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 l2交圆 Q 于 C，D 两点， 且 M 为 CD 的中点，求 MAB 的面积的取值范围 解：(1)x 2 8 y2 41 第 5 页 共 14 页 (2) 记记 MAB 的面积为 S， 当直线 l1的斜率不存在时，可求得 S4. 当直线 l1的斜率存在时， 设为 k(k0),则 l1:ykx 2， l2:y1 kx 2 设 A(x1， y1)， B(x2， y2) 由 x2 8 y 2 41 ykx 2 得(12k2)x24 2kx40 ，则
18、 x1x2 4 2k 12k2，x1x2 4 12k2 ， AB 1k2|x1x2|4 (1k 2)(4k21) 2k21 又圆心 Q(2， 2)到 l2的距离 d1 2 1k2 2 ，得 k 21 又 MPAB，QMCD，所以 M 点到 AB 的距离等于 Q 点到 AB 的距离，设为 d2，即 d2|2k 2 2| 1k2 2|k| 1k2 所以MAB 面积 S1 2|AB|d2 4|k| 4k21 2k21 4 k2(4k21) (2k21)2 令 t2k21(3，)， ，则1 t(0， 1 3)，S4 2t23t1 2t2 4 1 2( 1 t 3 2) 21 8( 4 5 3 ，4)，
19、 综上，MAB面积的取值范围为(4 5 3 ，4. 教学建议教学建议 （1）问题归类与方法）问题归类与方法： 1.相交弦问题 直线与圆的位置关系判断方法： 代数法和几何法. 1圆心角、弦长 L、半径 R 和弦心距 d 中三个量可以建立关系式 如：(L 2) 2d2R 2，dRcos 2 ，L 2Rsin 2 2相交弦的垂直平分线过圆心 2.直线与椭圆的位置关系 3.换元法求函数的最值 （2）方法选择与优化）方法选择与优化：本题计算面积时求高的方法不同，导致解题的繁简程度不同，答案中巧妙的运 用圆的几何性质避开求 M 点坐标， 也可以利用勾股定理求高 22 ,MQPMPQMQ即是点 Q 到 PD
20、 的 距离，此题也可以设直线 PD 的斜率为 k，简化 PM 的形式. 例例 2 2在平面直角坐标系xOy中，如图，已知 A1、A2、B1、B2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的四个顶点， A1B1B2是一个边长为 2 的等边三角形，其外接圆为圆 M. * (1) 求椭圆 C 及圆 M 的方程； (2) 若点 D 是圆 M 劣弧A1B2 上一动点(点 D 异于端点 A1、B2)，直线 B1D 分别交线段 A1B2、椭圆 C 于 点 E、G，直线 B2G 与 A1B1交于点 F. * * * () 求GB1 EB1的最大值； * * () 试问：E、F 两点的横坐标之和是否为定值
21、？若是，求出该定值；若不是，说明理由 第 6 页 共 14 页 解：解：(1) 由题意知，B2(0，1)，A1( 3，0)， 所以 b1，a 3， 所以椭圆 C 的方程为x 2 3 y21. 易得圆心 M 3 3 ，0 ，A1M2 3 3 ， 所以圆 M 的方程为 x 3 3 2 y24 3. (2) 设直线 B1D 的方程为 ykx1 k 3 3 ， 与直线 A1B2的方程 y 3 3 x1 联立，解得点 E( 2 3 3k1， 3k1 3k1)， 联立 ykx1， x2 3 y21，消去 y 并整理，得 (13k2)x26kx0， 解得点 G 6k 3k21， 3k21 3k21 ， ()
22、 GB1 EB1 |xG| |xE| | 6k 3k21| | 2 3 3k1| 3k 2 3k 3k21 1 3k1 3k21 1 1 （ 3k1） 2 （ 3k1）2 1 1 2 22 21 2 ， 当且仅当 k 6 3 3 时，取“”， 所以GB1 EB1的最大值为 21 2 . () 直线 B2G 的方程为 y 3k21 3k211 6k 3k21 x1 1 3kx1， 与直线 A1B1的方程 y 3 3 x1 联立，解得点 F( 6k 3k1， 3k1 3k1)， 所以 E、F 两点的横坐标之和为 2 3 3k1 6k 3k12 3. 故 E、F 两点的横坐标之和为定值，该定值为2
23、3. 教学建议教学建议 （1） 问题归类与方法问题归类与方法： 1.求圆的方程 方法 1：三点代入圆的一般方程 x2y2DxEyF0，求解 D、E、F 第 7 页 共 14 页 方法 2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心 方法 3：直角三角形外接圆的直径为斜边 2.联立两直线方程求交点坐标 3.共线或平行的弦长比转化为坐标之比 4.利用基本不等式求函数最值 （2）方法选择与优化）方法选择与优化： （1）问中求圆的方程方法 1 与 2 都可以，考虑到正三角形直接求重心即圆心， 得圆标准方程比较快些，本问椭圆易错成“a2” ； （2）问中斜率 k 的范围易错，以斜率 k 为自变量时，利用基本不等式
24、求函数最值，或者导数法.也可以 借助椭圆参数方程设 G( 3cos，sin)( 2 ) , 上面的方法中的 kkGB 1 sin1 3cos ，最后 GB1 EB1 sincos1 2 2sin( 4 )1 2 形式比较简洁,此法也可以参考. 例例 3.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 E:x 2 2y 21 ，如图，动直线l ： 1 3 2 yk x交椭圆E于, A B两 点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为 2 k，且 12 2 4 k k ，M是线段OC延长线上一点，且 :2:3MCAB ，M的半径为MC，,OS OT是M的两条切线，切点分别为,S T.求SOT的最大值， 并求取得最
25、大值时直线l的斜率. 解：设 A(x1，y1)， B(x2，y2) ，联立方程 x2 2 y21 yk1x 3 2 得(4k212)x24 3k1x10， 由题意知0， 且x1x22 3k1 2k211， x1x2 1 2(2k211)， 所以|AB|1k21|x1x2| 2 1k2118k21 2k211 . 由题意可知圆 M 的半径 r 为 r2 2 3 1k1218k12 2k121 由题设知 k1k2 2 4 ，所以 k2 2 4k1因此直线 OC 的方程为 y 2 4k1x. 联立方程 x2 2y 21 y 2 4k1x 得 x2 8k21 14k21，y 2 1 14k21，因此|
26、OC| x 2y2 18k21 14k21 . 第 8 页 共 14 页 由题 sinSOM r rOC 1 1OC r OC r OC 2 3AB 18k21 14k21 3 2 1 2 1k2118k21 2k211 3 2 2k211 4k2112k212 3 2 2k211 (4k211)(2k212) 2 3 2 2 31 当且仅当 4k2112k212 即 k1 2 2 取等 当OC r 1 时，(sinSOM)max1 2 ，ysinx 在(0， 2 ) 上单调增，(SOT)max 6 (SOT)max 3 综上SOT 最大值为 3 ，取得最大值时直线l 的斜率为 2 2 . 教
27、学建议教学建议 （1）问题归类与方法）问题归类与方法： 1.相切问题 如图，当圆外一点引两条切线时，在 RtPAC 中. PC 为APB 的平分线，且垂直平分线段 AB 2. 直线与二次曲线的弦长公式. 3.利用换元法或基本不等式法等求函数最值. （2）方法选择与优化）方法选择与优化：求函数最值时可以通过换元法令 t12k 2 1(t1) 最终化为 OC r 3 2 1 (1 t 1 2) 29 4 此方法比较基本.当然也可以分子分母展开后利用分离常数法求最值。 例例 4在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆方程为 x2 4y 21，圆 C： （x1）2y2r2 *（1）求椭圆上动点 P 与圆
28、心 C 距离的最小值； *（2）如图，直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，且与圆 C 相切于点 M，若满足 M 为线段 AB 中点的 直线 l 有 4 条，求半径 r 的取值范围 解： （1）PCmin 6 3 （2） 当 AB 的斜率不存在与圆 C 相切时，M 在 x 轴上，故满足条 PA B C 第 9 页 共 14 页 件的直线有两条； 当 AB 的斜率存在时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0) 由 x12 4 y121 x22 4 y221 两式相减得y1y2 x1x2 y1y2 x1x2 1 4 即 kAB y0 x0 1 4,由题可知直线 MC 的斜率肯定存
29、在，且 kMC y0 x01， 又 MCAB ,则 kABx01 y0 ，所以x01 y0 y0 x0 1 4，x0 4 3 ，因为 M 在椭圆内部，则 x02 4 y021 ，0y205 9 ，所以 r 2(x 01) 2y 0 21 9y0 2(1 9， 2 3) ，故半径 r( 1 3， 6 3 ) . 教学建议教学建议 （1）问题归类与方法）问题归类与方法： 1.直线与圆相切问题问题 方法 1：利用 dr；方法 2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直 2.直线与椭圆有两交点位置关系判断 方法 1：联立方程组利用0 ；方法 2：弦中点在椭圆内部. （2）方法选择与优化
30、）方法选择与优化：中点弦问题转化为点差法解决，也可以用设直线 AB 为 ykxm 联立椭圆得(1 4k2)x28kmx4m240(*) ，利用韦达定理得 M( 4km 4k21， m 4k21) ，由 MCAB 得 m 4k21 3k 由 (*)0 得 m24k21 ，将 m4k 21 3k 代入解得 k21 5 ，所以 r |km| k21 1 3 11 k2( 1 3， 6 3 ) . 二、反馈巩固二、反馈巩固 *1在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的圆心在第一象限，圆 C 与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，且 与直线 xy10 相切，则圆 C 的半径为_ 答案： 2
31、 (考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系) *2设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)， 则 PAPB 的最大值是_ 答案：5 (考查直线过定点问题，基本不等式求最值) *3在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为 圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是 答案：4 3 (考查圆与圆的位置关系，点到直线的距离) *4过点 P(1，3)向圆 x2y22 的作两条切线 PA，PB，A，B 为切点，则APB 的正切值等于_ 答案：4 3 (考查直线与圆相切的性质，切线
32、长的计算，二倍角的正切公式) *5已知直线 x3y70，kxy20 和 x 轴、y 轴围成四边形有外接圆，则实数 k_ 答案：3 (考查两直线位置关系，圆的几何性质) *6设 P，Q 分别为圆 x2(y6)22 和圆(x6)2y28 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是 第 10 页 共 14 页 答案：9 2 (考查圆的几何性质，解析几何中的最值问题) *7过圆 x2y24 内一点 P(1,1)作两条相互垂直的弦 AC，BD，当 ACBD 时，四边形 ABCD 的面积为 _ 答案：6 (考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离) *8.在平面直角坐标系xOy中，已知点 P 是直线 l：yx2
33、 上的动点，点 A,B 分别是圆 C1：(x3)2(y 1)24 和圆 C2：x2(y3)21 上的两个动点，则 PA+PB 的最小值为 . 答案： 733. (考查点与圆的距离问题，点关于直线的对称问题) *9. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 yx1 与 x 轴，y 轴分别交于 M,N 两点，点 P 在圆(xa)2y2 2 上运动，若MPN 恒为锐角，则实数 a 的取值范围是 . 答案：(，1 7)( 71，) (考查两圆的位置关系) *10. 已知点 A(0，2)为圆 M：x2y22ax2ay0(a0)外一点，圆 M 上存在点 T 使得MAT45， 则实数 a 的取值范围是_
34、答案：答案： 31a1 解析：点 A(0，2)在圆 M：x2y22ax2ay0(a0)外，得 44a0，则 a 1.圆 M 上存在点 T 使得MAT45， 则AM 2 r 2a， 即 AM2a， (a2)2a24a2(a0)， 解得 31a. 综上，实数 a 的取值范围是 31a1. （考查了点与圆的位置关系，两点之间的距离，一元二次不等式解法等内容） *11已知圆 C：(x2)2y24，线段 EF 在直线 l：yx1 上运动，点 P 为线段 EF 上任意一点，若圆 C 上存在两点 A，B，使得PA PB0，则线段 EF 长度的最大值是_ 答案： 14 (考查直线与圆的位置关系，解三角形，向量
35、的数量积，两点间距离) *12 在平面直角坐标系 xOy 中， A， B 为 x 轴正半轴上的两个动点， P(异于原点 O)为 y 轴上的一个定点 若 以 AB 为直径的圆与圆 x2(y2)21 相外切，且APB 的大小恒为定值，则线段 OP 的长为_ 答案： 3 (考查两圆的位置关系，定值问题处理方法) *13 设集合 A(x， y)|m 2(x2) 2y2m2， x， yR， B(x， y)|2mxy2m1， x， yR， 若 AB， 则实数 m 的取值范围是_ 答案：1 2，2 2 (考查集合的含义，直线与圆的位置关系，不等式表示的平面区域及综合分析问题的 能力) *14如图，在直角梯形
36、 ABCD 中，ABAD，AD=DC=1，AB=3，动点 P 在以点 C 为圆心，且与直线 BD 相切的圆内运动，设AP ADAB（，R） ，则 + 的取值范围是 第 11 页 共 14 页 D C B A O y x 答案：(1，5 3) （考查建系法解决向量问题，圆的标准方程，线性规划解决线性问题等等，本题也可以用向量的等和线 解决范围 + 问题） *15.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C:x2y2r2，点 A(3，0)，B(0，4)，若点 P 为线段 AB 上的任意点， 在圆 C 上均存在两点 M、N，使得PM MN，则半径 r 的取值范围 答案：4 3， 12 5 ) （考查圆的定
37、比分点问题，垂径定理，勾股定理，方程组有解，不等式恒成立问题） 16如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0，3)，直线 l：y2x4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上 * (1)若圆心 C 也在直线 yx1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； * (2)若圆 C 上存在点 M，使 MA2MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 答案：(1)y3 或 3x4y120； (2)a 的取值范围为0，12 5 (考查直线与圆相切问题，求轨迹方程问题，两曲线交点问题及圆与圆位置关系问题) 17.如图，在平面直角坐标系 XOY 中，已知点 A(3，4)，B(9，0)，C，D 分
38、别为线段 OA，OB 上的动点， 且满足 ACBD *（1）若 AC4，求直线 CD 的方程； *（2）证明：OCD 的外接圆恒过定点（异于原点 O） 解(1)：因为 A(3，4)，所以 OA （3）2425. 因为 AC4，所以 OC1，所以 C 3 5， 4 5 . 由 BD4，得 D(5，0)， 所以直线 CD 的斜率为 04 5 5 3 5 1 7， 所以直线 CD 的方程为 y1 7(x5)，即 x7y50. (2) 证明：设 C(3m，4m)(0m1)，则 OC5m. 则 ACOAOC55m， 因为 ACBD，所以 ODOBBD5m4， 所以 D 点的坐标为(5m4，0) 又设OC
39、D 的外接圆的方程为 x2y2DxEyF0， x y A l O B 第 12 页 共 14 页 则有 F0， 9m216m23mD4mEF0， （5m4）2（5m4）DF0， 解得 D(5m4)，F0，E10m3, 所以OCD 的外接圆的方程为 x2y2(5m4)x(10m3)y0， 整理得 x2y24x3y5m(x2y)0. 令 x2y24x3y0， x2y0， 得 x0， y0 (舍)或 x2， y1. 所以OCD 的外接圆恒过定点为(2，1) （考查直线的方程，圆的方程，圆过定点问题） 18.如图，某工业园区是半径为 10 km 的圆形区域，离园区中心 O 点 5 km 处有一中转站
40、P，现准备在园区 内修建一条笔直公路 AB 经过中转站，公路 AB 把园区分成两个区域 * (1) 设中心 O 对公路 AB 的视角为 ，求 的最小值，并求较小区域面积的最小值； * (2) 为方便交通， 准备过中转站 P 在园区内再修建一条与 AB 垂直的笔直公路 CD， 求两条公路长度 和的最小值 解：(1) 如图 1，作 OHAB，设垂足为 H，记 OHd，2AOH， 因为 cosAOH d 10，要使 有最小值，只需要 d 有最大值，结合图象可得 dOP5 km， 当且仅当 ABOP 时，dmax5 km. 此时 min2AOH2 3 2 3 . 设 AB 把园区分成两个区域，其中较小
41、区域面积记为 S， 根据题意可得 Sf()S扇形SAOB50(sin)， f()50(1cos)0 恒成立，f()为增函数， 所以 Sminf 2 3 50 2 3 3 2 km2.(8 分) 答：视角的最小值是2 3 ，较小区域面积的最小值是 50 2 3 3 2 km2. (2) 如图 2，过 O 分别作 OHAB，OH1CD，垂足分别是 H，H1， 记 OHd1，OH1d2，由(1)可知 d10，5， 所以 d21d22OP225，且 d2225d21.(10 分) 因为 AB2 100d21，CD2 100d22， 所以 ABCD2( 100d21 100d22) 2( 100d21
42、75d21)，(11 分) 记 L(d1)ABCD2( 100d21 75d21)， 可得 L2(d1)41752 （100d21）（75d21）， 由 d210，25，可得 d210，或 d2125 时，L2(d1)的最小值是 100(74 3)， 从而 ABCD 的最小值是 2010 3 km. 第 13 页 共 14 页 答：两条公路长度和的最小值是 2010 3 km. （考查圆的垂径定理，圆的几何性质，弓形面积求法，函数的最值的求法等等） 19.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，焦距为 2， 一条准线方程为
43、 x2.P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1交椭圆 C 于另一点 Q. *(1) 求椭圆 C 的方程； *(2) 若点 P 的坐标为(0，b)，求过 P、Q、F2三点的圆的方程； * (3) 若F1P QF1 ，且 1 2，2 ，求OP OQ 的最大值 解：(1) 由题意得 2c2， a2 c 2， 解得 c1，a22， 所以 b2a2c21. 所以椭圆的方程为x 2 2 y21. (2) 因为 P(0，1)，F1(1，0)，所以 PF1的方程为 xy10. 由 xy10， x2 2 y21， 解得 x0， y1，或 x 4 3， y1 3， 所以点 Q 的坐标为 4 3， 1 3 . (解法 1)因为 kPF1kPF21，所以PQF2为直角三角形 因为 QF2的中点为 1 6， 1 6 ，QF25 2 3 ， 所以圆的方程为 x1 6 2 y1 6 2 25 18. (解法 2)设过 P、Q、F2三点的圆为 x2y2DxEyF0， 则 1EF0， 1DF0， 17 9 4 3D 1 3EF0， 解得 D 1 3， E1 3， F4 3. 所以圆的方程为 x2y
