1、第 1 页 共 4 页 专题专题 14: 不等式与三角、向量综合专项研究不等式与三角、向量综合专项研究 类型类型一一:不等式与三角不等式与三角 一一 高考回顾高考回顾 1(16 年江苏) 在锐角三角形ABC，若 sinA2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是_ 分析与解：由 sinA2sinBsinC，可得 sin(BC)2sinBsinC， 即 sinBcosCcosBsinC2sinBsinC， 两边同时除以 cosBcosC 可得 tanBtanC2tanBtanC， 考虑消元，根据条件得到了 B，C 所满足的关系，因此可将 tanAtanBtanC 中的 A 消去
2、， 因此有 tanAtanBtanCtanBtanCtan(BC)(tanBtanC)tanBtanC tanBtanC1 ， 再由 tanBtanC2tanBtanC 可得：tanAtanBtanC2(tanBtanC) 2 tanBtanC1， 至此，消去了 A，继续利用 B，C 满足的关系 tanBtanC2tanBtanC，可以消去 B 或者 C 转化为一元函数， 再求解，注意观察，可以将 tanBtanC 看作一整体，这样求解就变得简单了， 设 tanBtanCt(t1)， 则 tanAtanBtanC 2t2 t12(t1 1 t12)8 于是 tanAtanBtanC 最小值为
3、8，当然得到关于 t 的函数后，也可以利用导数求最小值 如果能注意到在锐角三角形ABC中有如下恒等式 tanAtanBtanCtanAtanBtanC， tanAtanBtanCtanAtanBtanCtanA2tanBtanC， 考虑整体有： tanAtanBtanCtanA2tanBtanC2 2tanAtanBtanC， 解得 tanAtanBtanC8， 可以检验等号能取到，故 tanAtanBtanC 的最小值是 8 二二 方法联想方法联想 三角与基本不等式综合求最值，需要注意三角的恒等变换以及变换后能够运用基本不等式的恰当变 形 “代入消元”是常见的处理方法， “整体处理”较为灵活
4、，往往能简化解题过程 三三 归类研究归类研究 1若ABC 的内角满足 sinA 2sinB2sinC，则 cosC 的最小值是_ 答案： 6 2 4 2 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 a2， b2c21， 则 cosA 的最小值是_ 3已知，均为锐角，且 cos() sin sin，则 tan的最大值是_ 答案： 2 4 4 在锐角ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 b2a2ac， 则 3 tanA 4 tanB的最小值_ 答案：2 2 5在ABC 中，3sin2B7sin2C2sinAsinBsinC2sin2A
5、，则 sin(A 4)的值是 答案： 10 10 第 2 页 共 4 页 F E D C B A y x F E D C B A 类型二类型二:不等式与向量不等式与向量 一一 高考回顾高考回顾 1(15 年天津)在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABCD，AB2，BC1，ABC60点 E 和点 F 分别 在线段 BC 和 DC 上，且BE BC，DF1 9DC ，则AE AF的最小值为_ 分析与解：解决向量问题有两种选择，第一是：选择恰当的基底，进行向量运算第二是：建立恰当 的坐标系，进行坐标运算 方法 1：选择AB ，AD作为一组基底，易知AB24，AD21，AB AD1， AE ABBEAB
6、BCAB(ABAD1 2 AB ) (11 2)AB AD， AF ADDFAD1 9DC 1 18 AB AD， 于是AE AF(11 2)AB AD (1 18 AB AD)1 18(1 1 2)AB 2(19 18 1 2)AB ADAD2 1 2 2 9 17 18 29 18(当 2 3时取等号)， 所以AE AF的最小值为29 18 方法 2：建立如图所示的直角坐标系，则 A(0，0)，B(2，0)，C(3 2， 3 2 )，D(1 2， 3 2 )， 根据BE BC，DF1 9DC ，可以求得 E(2 2， 3 2 )，F( 1 9 1 2， 3 2 )， 于是AE AF(2 2
7、)( 1 9 1 2) 3 2 3 2 1 2 2 9 17 18 29 18 二二 方法联想方法联想 向量与基本不等式综合求最值，两类问题：一类是建立关于数量积的函数后直接运用基本不等式求最 值，另一类是：将关于向量的已知条件转化为代数恒等式，再利用该恒等式求某一代数式或某数量积的最 值解决这两类问题的关键是能够熟练的在两个体系下解决向量的相关运算 三三 归类研究归类研究 1已知AB AC，|AB|1 t，|AC |t，若 P 点ABC 所在平面内一点， 且AP AB |AB | 4AC |AC |，则PB PC的最大值是_ 答案：13 2 在ABC 中， D 为边 BC 的中点， 记|AD
8、 |m， |BC|n， 若AB AC1， 则1 m2 1 n2的最大值是_ 答案：1 4 第 3 页 共 4 页 N M y x O 3以 C 为钝角的ABC 中，BC3，BA BC12，当角 A 最大时，ABC 面积为_ 答案：3 4已知平面向量 a，b 不共线，且满足条件|a|1，|a2b|1，则|b|ab|的取值范围是_ 答案： (1， 2 5在直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB90 ，AB2CD，M 为 CD 的中点，N 为线段 BC 上一点（不 包括端点） ，若AC AMAN，则1 3 的最小值为 b a y x， 答案：27 4 类型三类型三:含多个变量的含多个变量的不等式问
9、题不等式问题 一一 高考回顾高考回顾 1(12 江苏)已知正数 a，b，c 满足：5c3ab4ca，clnbaclnc，则b a的取值范围是 分析与解：由 5c3ab4ca，clnbaclnc 可得：53a c b c4 a c，ln b c a c， 设a cx， b cy，则有 53xy4x，ye x，作出该不等式组构成的平面区域(如图所示)， 当直线 ykx 与 yex相切于点 M 时，b a y x最小，容易求得 M(1，e)， 因此b a的最小值是 e，,当 ykx 过点 N( 1 2， 7 2)时， b a最大，最大值为 7， 所以b a的取值范围是1，e 二二 方法联想方法联想
10、含有多个变量的不等式问题，两种处理方法：一是消元（包括等量替换、不等替换） 二是减元，例 如高考回顾中问题用的就是减元的方法，这种减元的方法也是常用的，务必掌握 三三 归类研究归类研究 1已知 x，y 为正实数，则 4x 4xy y xy的最大值是_ 答案：4 3提示：减元， 4x 4xy y xy 4 4y x y x 1y x 4 4t t 1t，其中 t y x 2设 a，b，c 是正实数，满足 bca，则b c c ab的最小值为_ 答案： 21 2提示：消元(不等替换)、减元， b c c ab b c c (bc)b b c c 2bc b c 1 2b c1 t 1 2t1，其中 t b c 第 4 页 共 4 页 3若不等式 x2xya(x2y2)对任意的正实数 x，y 恒成立，则实数 a 的最小值是_ 答案： 21 2 4已知实数 a、b、c 满足条件 0ac2b1，且 2a2b21 c，则2 a2b 2c 的取值范围是_ 答案：1 4， 5 17 2 5已知 a，b，c 为正数，且 a2b5c， 3 a 4 b 5 c，则 a3b c 的取值范围是_ 答案：27 5 ，7
