1、2.4压轴大题1导数在函数中的应用23451.导数的几何意义(1)函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,即k=f(x0).(2)函数切线问题的求解策略:用好切点“三重性”:切点在函数图象上,满足函数解析式;切点在切线上,满足切线方程;切点处的导数等于切线的斜率.2.函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在(a,b)内可导,(1)若f(x)0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递增;(2)若f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x
2、)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.(3)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.5.常见恒成立不等式(1)ln xx-1;(2)exx+1.76.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:证明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最大值.9(5)x1a,b,当x2c,d时,f(x1)=g(x2)f(
3、x)在a,b上的值域与g(x)在c,d上的值域交集非空.(6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.(7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.9.求解导数应用题宏观上的解题思想是借助导函数(正负)研究原函数(单调性);重点是把导函数先“弄熟悉”;为了把导函数先“弄熟悉”采取的措施:(1)通分;(2)二次求导或三次求导;(3)能画出导函数草图是最好的!2.4.1函数的单调性、极值点、极值、最值11考向一考向二考向三考向四求单调区间或讨论单调性(多维探究)例1(2019山东菏泽一模
4、,文21)已知函数h(x)=ln x-ax(aR).(1)设f(x)=h(x)+(a+1)x,求函数f(x)的单调区间;(2)略.12考向一考向二考向三考向四13考向一考向二考向三考向四解题心得解题心得求f(x)的单调区间,需知f(x)的正负,若f(x)不含参数,但又不好判断正负,将f(x)中正负不定的部分设为g(x),对g(x)再进行一次或二次求导,由g(x)的正负及g(x)的零点判断出g(x)的正负,进而得出f(x)的正负.14考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练1设f(x)=ln x,g(x)=x|x|.(1)令F(x)=xf(x)-g(x),求F(x)的单调区间;(2)略.15考向
5、一考向二考向三考向四16考向一考向二考向三考向四例2(2019山东潍坊三模,文21)已知函数f(x)=x2+aln x-2x(aR).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)略.17考向一考向二考向三考向四18考向一考向二考向三考向四解题心得解题心得在求函数f(x)的单调区间时,若f(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,本例分类的标准(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中再按导函数零点的大小比较分小类;(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类.19考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练2(2019全国卷3,文20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x
6、)的单调性;(2)当0a3时,记f(x)在区间0,1的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.20考向一考向二考向三考向四21考向一考向二考向三考向四22考向一考向二考向三考向四讨论函数极值点的个数例3设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中aR.(1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(2)略.23考向一考向二考向三考向四24考向一考向二考向三考向四25考向一考向二考向三考向四26考向一考向二考向三考向四解题心得解题心得利用导数求含参数的原函数的单调区间极值最值恒成立问题的步骤:1.求函数定义域;2.求导通分或因式分解或二次求导(目的:把导函数“弄熟悉”);3.对参数
7、分类,分类的层次:(1)按导函数的类型分大类;(2)按导函数是否有零点分小类;(3)在小类中再按导函数零点的大小分小类;(4)在小类的小类中再按零点是否在定义域中分小类.27考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练3(2019四川宜宾二模,理21)已知函数f(x)=.(1)当a=1时,判断f(x)有没有极值点?若有,求出它的极值点;若没有,请说明理由;(2)略.28考向一考向二考向三考向四当x(0,1)时,g(x)g(1)=0,f(x)0,f(x)在区间(0,1)单调递增,无极值点;当x(1,+)时,g(x)0,g(x)为增函数,g(x)g(1)=0,f(x)0,f(x)在区间(1,+)单调递
8、增,无极值点.综上,当a=1时,f(x)没有极值点.(2)略.29考向一考向二考向三考向四函数的极值、最值例4(2019四川成都七中一模,文21)已知函数f(x)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在x0,上的最小值.30考向一考向二考向三考向四解(1)略.(2)对x0,f(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g(x)=-xsin x0,f(x)在0,区间内单调递减.当a0时,f(x)f(0)=a0,f(x)在区间0,上单调递减,故f(x)min=f()=a.当a时,f(x)f()=a-0,f(x)在区间
9、0,上单调递增,故f(x)min=f(0)=4.当0a0,f()=a-0,且f(x)在区间0,上单调递增,结合零点存在定理可知,存在唯一x0(0,),使得f(x0)=0,且f(x)在0,x0上单调递增,在x0,上单调递减,故f(x)的最小值等于f(0)=4和f()=a中较小的一个值.31考向一考向二考向三考向四解题心得解题心得求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最值.32考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练4(2019安徽合肥一模,文21)已知函数f(x)=ex-1-a(x-1)+ln x(aR,e是自然对数的底数).(1)设g(x)=f(x)
10、(其中f(x)是f(x)的导数),求g(x)的极小值;(2)略.33考向一考向二考向三考向四g(x)在(0,+)上为增函数,g(1)=0.当x(0,1)时,g(x)0,g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+),g(x)极小值=g(1)=2-a.34考向一考向二考向三考向四在恒成立中求参数的极值、最值例5设函数f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x0时,(x-k)f(x)+x+10,求k的最大值.解(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=ex-a.若a0,则f(x)0,所以f(x)在(-,+)单调递增.若a0,则当x(-,
11、ln a)时,f(x)0,所以,f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.35考向一考向二考向三考向四(2)由于a=1,所以(x-k)f(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.由(1)知,函数h(x)=ex-x-2在(0,+)单调递增.而h(1)0,所以h(x)在(0,+)存在唯一的零点.故g(x)在(0,+)存在唯一的零点.36考向一考向二考向三考向四设此零点为,则(1,2).当x(0,)时,g(x)0.所以g(x)在(0,+)的最小值为g().又由g()=0,可得e=+2,所以g()=+1(2,3).由于式等价于k0,都有f(x)0,求m+n的最小值.解(1)
12、当n=1时,f(x)=ln x-mx-1.函数f(x)有极大值为-2,m=1.39考向一考向二考向三考向四(2)函数f(x)的定义域为(0,+),当m0,f(x)在(0,+)上单调递增,令x=en,则f(en)=ln en-men-n=-men0,舍去;当m=0时,当x(0,+)时f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增,令x=en+1,则f(en+1)=ln en+1-n=10,舍去;40考向一考向二考向三考向四即n-ln m-1,m+nm-ln m-1.设h(m)=m-ln m-1,当m(0,1)时,h(m)0,h(m)在(1,+)上单调递增.h(m)的最小值为h(1)=0,综上所述,当m=1,n=-1时m+n的最小值为0.
