1、数学物理方程讲义 第二版 高等教育出版社 姜礼尚 陈亚浙 刘西垣 易法槐编著参考文献：1偏微分方程第二版 中国科大出版社 陈祖犀编著2偏微分方程概论 高等教育出版社 陈恕行编著3数学物理方程第二版 高等教育出版社 谷超豪陈恕行等编第一章 绪论 本章主要介绍两个内容。第一个内容是介绍一些常见常用的公式和不等式，为以后的学习作必要准备；第二个内容是介绍本课程所必须的基本概念和基本记号。第一章 绪论 第一节 常用的重要公式与不等式 一常用的重要公式一常用的重要公式 1牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式 2分部积分公式分部积分公式 或 bafx dxF bF abbbaaaudvuvvdubbbaaau
2、vdxuvvudx 3格林公式格林定理格林公式格林定理 设 既是 型又是 型的平面区域，如果 与 都在 及其边界 上有连续的一阶偏导数，则其中 的方向是逆时针的。CGQPPdx QdydxdyxyGX Y,p x y,Q x yCCG或者其中 是曲线 的单位法向量或者：coscosCGPQPQdsdxdyxycos,cosnCGPQPdyQdxdxdyxyC4二重积分的分部积分公式二重积分的分部积分公式 设 是 型又为 型的平面区域如果 是在 及其边界上有连续的一阶偏导数的函数，则有：,GHCDGHdxdyGdyHdxxyDGHdxdyxyDDX Y 证明：因为 又由格林公式有：DGHdxdy
3、xyDDGHGHdxdydxdyxyxyCDGHdxdyG dy H dxxy 5奥高公式奥高公式 设三维区域 是由按块光滑的闭曲面 所围成的 是由有限片组成的，每一片可表成 ，而 以及它的一阶微商在平面 的对应区域上直到界限是连续的）另有 及 和 是在 上连续的，在 内有连续偏导数的任意函数 则有如下的奥-高公式,zx y,x yxy,P x y z,Q x y z,R x y z _,P Q RCC（即（）G其中 是 在 点 处的外法向量PQRdPdydz Qdxdz Rdxdyxyzcos,cos,cos,Pn xQn yRn z dscos,cos,cos,nn xn yn z,x y
4、 z 6格林第一公式三重积分的分部积分公式格林第一公式三重积分的分部积分公式在上述的奥-高公式中令 ，其中 和 以及它们的所有一阶偏导数在闭区域 上是连续的，它们所有的二阶偏导数在 内是连续的。即 只要注意到显然的恒等式：vPuxvQuyvRuz,u u x y z,vv x y z21,u vCC22vuvvuuxxxxx 我们就有如下的格林第一公式 或者：vu vu vu vu vdudsdnx xy yz z u vdxdydzcoscoscosvvvudsxyzgradu gradvdxdydz 其中用到方向导数的公式即：cos,cos,cosecoscoscosxyzDeffffco
5、scoscosvvvvnxyz,uuugraduxyz 7格林第二公式格林第二公式 在上述格林第一公式中，交换 的位置，然后两式消减，我们就得到格林第二公式：它在位势方程和调和函数的研究中非常重要 uvu vv u d vuuvds 二常用的重要不等式二常用的重要不等式 1 不等式不等式 设 是 上连续且严格递增的实值函数，若 则：其中 是 的反函数，等式当且仅当 成立 0,0CC f 00,0,0,faCbf C 100abf x dxx dxabff1f bf aYoung在上述不等式中取得到：若取 ，则有：，其中特例：取 ，则有：对 ，有：11pf xpx111p q 11,0,1,1a
6、 bppq2pq0 222abab2212abababaqapqp111ppqabbppapppp111 2 不等式不等式 若 ，且 则：.H older0,0,1,2,3,kkabkn111,1ppq11111nnnpqpqkkkkkkkaba b 3 不等式及其推广不等式及其推广 若 是正整数，则：这个不等式称为 不等式 推广：若 并且 ，则：等式当且仅当 时成立。Bernoulli1,xn 11nxnx Bernoulli2,3,n 111xn 1111nnxxn x 0 x 4 不等式及其有关不等式不等式及其有关不等式 设 是两个实数序列，则：设 和 是在 上的可积实函数，则 有：等式
7、当且仅当 和 是线性相关时成立Cauchy1212,nnaa aabb bb222111nnniiiiiiiabab 222bbbaaafx g x dxfx dxgx dxffgg,ab设 ，若 和 是定义在 上的实函数，并且 及 在 可 积，则：5平均值不等式平均值不等式 其中111,1ppqfg,a bpfqg,a b 11bbbpqpqaaaf x g x dxf xdxg xdx121212111nnnnxxxnx xxnxxx01,2,ixin 6 不等式与有关不等式不等式与有关不等式 设 并且 则：其中等式成立当且仅当 和 成比例。Minkowski0,0,1,2,kkabkn1
8、p 111111nnnppppppkkkkkkkabab12,naa aa12,nbb bb 积分形式 设 和 是 上的实函数，并使函数 和 对 在 上可积分，则有：其中等式成立，当且仅当 几乎处处为零，或 对某个常数 几乎处处成立fg,a b pxf x pxg x1p,a b 111bbbppppppaaaf xg xdxf xdxg xdx f x g xaf x0a 7 不等式不等式 若非负函数 在 上连续函数，且对 ，有：其中 为常数，在 上不减，且非负可积，则有：Gronwall G t0,T 00G0,tT dG tcG tF tdt0c F t0,T ctdG te F tdt
9、 11ctG tceF t 8贝塞尔贝塞尔 不等式不等式 若函数 在 上可积，则：其中 为 的傅里叶级数。Besself,22220112nnnaabfx dx,nna bf第二节 基本概念与记号一、基本记号与符号。一、基本记号与符号。1 2 称为 算子12,nnxRxx xx 1212,nxxxnuuuuDu uu uu 22212nxxxLaplace 称为哈密顿算符（算符）读作12,nuuuugraduxxx HamiltomNabla222212nuuuuxxx 3 ，表示 的边界 4设 则：表示在 内关于 连续的函数的集合 表示在 内关于 连续可微的函数的集合 表示在 上连同边界关于
10、 连续的函数的集合 类似nR uu xnxR C xx 1CCx 122,CCC 又设 ，则：表示在 内对 次连续可微，而对 次连续可微的函数的集合。例：其中 表示关于 连续可微，关于 连续的函数的集合。,uu x t,m nCxtmn2,1C 2,1C 1,0C1,0Cxt 5 6 7 8重指标 ，则可记:1100CuCu 1,Cv v Cv 在 上具有分块连续偏微商 210,CLH12,n 1nii121212nnnuuxxx 二基本概念二基本概念 1偏微分方程：偏微分方程：含有未知函数的偏导数（偏微分）的关系式（或方程）。一般形式：例：,0F x u Duu ,0 xya x y ub
11、x y uc x y u 22xyuuu222222120nuuuuxxx 2tuau2ttuau221210yxxxyxyxyyuuu u uuu 00txtxuvvu u121121212,0nnnnxxnF x xx u uuuxxx 2偏微分方程的阶偏微分方程的阶最高阶微商的阶数 3偏微分方程的解偏微分方程的解 一个函数（在方程组是一组函数）在其自变量 的某变化范围内连续，且具有方程（方程组）中出现的一切连续偏微商，将它代入方程（方程组）后使其成为恒等式，则称该函数（函数组）是方程（方程组）的解或古典解。广义解弱解的概念12,nxx xx 4线性与非线性线性与非线性 在偏微分方程中，如
12、果它关于未知函数及其所有微商是线性的，则称此偏微分方程是线性方程，否则称为非线性的。在非线性方程（组）中，如果它关于未知函数的最高阶微商（例如是 阶）是线性的，其系数仅依赖于自变量 及未知函数的阶数低于 阶的微商，则称12,nx xxmm 它是 阶拟线性方程（组）。进而，若 阶微商的系数仅依赖于自变量，则称这种拟线性方程是 阶半线性方程（组）。不是拟线性的非线性方程（组），叫做完全非线性方程（组）。在线性方程（组）中，像常微分方程一样，又分为常系数变系数齐次和非齐次方程（组）等。mmm 5举例举例 例1：维波动方程：其中 是常数，为 算子，可以说，它是偏微分方程中的重要算子，这个算子在刚性运动
13、下保持不变，即在坐标的平移和旋转变换下保持不变。例2：维热传导方程：其中 是常数。在研究粒子的扩散过程时，例如气体的扩散液体的渗透以及半导体材料中杂质的扩散等，也会遇到类似的方程。2ttuau0a 22212nxxx Laplacenntuk u 0k 例3：维 方程：它的解 称为调和函数调和函数或势函数势函数。这也许是理论上最重要，同时在应用中最为广泛的方程。当方程是非齐次时，叫做 方程。它们通称为位势方程位势方程。在研究静电场的电位函数平稳状态下的波动现象和扩散过程时都会遇到这类方程。0u LaplaceuPoissonn例4：二阶线性方程（一般形式）其中，且至少有一个 ，此方程是我们学习
14、的重点对象例5：我们称通过给定周线而具有最小面积的曲面为极小曲面。设此曲面方程为 则它满足以下二阶拟线性方程：,11ijinnijix xxi jiLuax ubx uc x uf x,1,2,ijjiaai jn0ija 221210yxxxyxyxyyuuu u uuu,zu x y 例6：方程：这是一个三阶拟线性方程，它是在水波的研究中被首先遇到的，其中 是二元光滑函数。例7：方程：其中 是 元空间自变量，是其自变量 的非线性函数。此方程是一个一阶完全非线性方程。KdV0txxxxucuuu,uu x tHamiltionJacobi,0tuH Du xxn12,nxxxDuuuu,Hx
15、 例8：一个复解析函数的实部 和虚 部 满足 一阶线性方程组：我们可以把 视为无旋不可压缩流的速度场。,u x y,v x yCauchyRiemannxyyxuvuv,u x yv x y 例9：向量方程形式的非线性方程组 设 是自变量 的向量函数 ，则有 二阶半线性反应扩散方程组 和一阶拟线性能量守恒律方程组：其中 ，u12,nt x xx1212,mmuu uuuuuu tuuf u 0tudivF u:mmfRR:mmnF RR 6定解条件和定解问题定解条件和定解问题 定解条件：定解条件：我们把方程的解必须要满足的事先 给定的条件叫做定解条件。常见的定解条件有初始条件（条件）和边界条件
16、两类。定解问题：定解问题：一个方程配上一个定解条件就构成一个定解问题。通常分为初值问题（问题）边值问题混合问题等几类。CauchyCauchy 初边值问题的解：初边值问题的解：在区域 的内部具有方程中出现的一切连续偏微商，而本身在区域的闭包上连续（有时根据具体问题的性质或边界条件的类型，也要求有关的偏微商连续到边界），且满足方程，同时当时间变量趋于初始时刻或空间变量趋于区域的边界时它（有时及其有关的偏微商）连续地取到给定的初始值或边界值。边界条件分为三类边界条件分为三类：第一边界条件：给出未知函数在边界上的值。相应的问题称为第一边值问题，或称 问题。第二边界条件：给出未知函数在边界上的法向微商
17、的值。相应的问题称为第二边值问题，或称为 问题。第三边界条件：给出未知函数在边界上的法向微商和本身的线性组合的值。相应的问题称为第三边值问题，或称为 问题。DirichletNeumannRobin 7定解问题的适定性定解问题的适定性 解的稳定性：解的稳定性：当初始数据或边界数据发生微小变化时，解的变化也微小。定解问题的适定性：定解问题的适定性：如果定解问题的解在给定的函数空间存在，唯一并且稳定，则称该定解问题是适定的，否则称不适定的。定解问题不适定的一个著名例子例子例：阿达玛考察 问题 不难验证函数 是问题的解，并且是唯一的。.J Hadamard0 0,01,00,sin0,0 xxyyykuuxyu xux onx nNnuyuy11,sinsnkux ynx hnyn 但此解不稳定，因为把此解与齐次初边值条件下的解 相比较可知，两者的初边值之差的绝对值当 时可以变得任意小，但相应的两个解的差的绝对值在任意固定的点 ，可以变得充分大，因而解在连续函数空间范数下是不稳定的，类似可以说明解在 范数下也是不稳定的，从而定解问题是不适定的。0u n ,0 x yy 2L 由于偏微分方程自身的不断发展，以及生产实际的推动，不适定问题的研究已成为近代偏微分方程研究的一个重要方向。
