1、 盐城市盐城市 2020 届高三年级第三次模拟考试届高三年级第三次模拟考试 数学数学 参考公式： 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分请把答案填写在请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1已知集合11,02 2 xxNxxxM, 则M与N的并集 NM = . 2设复数0aiaz，若2zz,则正实数a的值为 . 3某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利 用分层抽样的方法抽取60人，则抽取
2、不喜爱的人数为 . 4某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则 女生入选的概率是 . 5一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 . 6 若双曲线0, 01 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐 角为 . 7设三棱锥ABCP的体积为 1 V，点NM,分别满足MBPM2，NCPN ，记三棱锥 BMNA的体积为 2 V，则 1 2 V V = . 8在ABC中，角CBA,所对的边分别为,cba若ca ca b B A 2, sin sin 则Acos= . 9已知数列 nn ba 、满足,log2 nn ab 且数列 n
3、b是等差数列.若9, 2 103 bb,则数列 n a的前n项和 n S= . 10若函数 xxf2sin关于直线 4 x对称，则的最小正值 为 . 11若存在 实数4 , 0x，使不等式0162 3 axx成立，则实数a的取值范围是 . 12在锐角ABC中，已知AH是BC边上的高，且满足ACABAH 3 2 3 1 ,则 AB AC 的取 值范围是 . 13设函数 x baxxxf22 2 ，若函数 xfy 与函数 xffy 都有零点，且它 们的零点完全相同，则实数a的取值范围是 . 14若圆16: 2 2 1 ymxC与圆16: 2 2 2 ynxC相交，点P为其在x轴下方的交点， 且8m
4、n，则点P到直线01 yx距离的最大值为 . 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6小题，共计小题，共计90分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 若sincos 22 xx m ，cos3cos 22 xx n ，设 3 ( ) 2 f xm n （1）求函数( )f x在，0上的单调减区间； （2）在ABC，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若)()(BfAf，ba2，求Bsin的 值 16 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 111 CB
5、AABC中，ACAA 1 ， 11 ACBA， 设O为 AC1与 A1C 的交点，点 P 为 BC 的中点 求证： （1）OP平面 ABB1A1； （2）平面 1 ACC平面OCP 17 （本小题满分 14 分） 如图 1 是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边 相切的圆的 4 1 圆弧（如图 2） ，现已知正方形的边长是 1 米，设该底座的面积为 S 平方米， 周长为 l 米（周长是指图 2 的实线部分 ） ，圆的半径为 r 米.设计的理想要求是面积 S 尽可能 大， 周长 l 尽可能小.但显然 S、 l 都是关于 r 的减函数， 于是设 l S rf)(
6、， 当)(rf的值越大， 满意度就越高.试问 r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时 以 3 代入运算 ） 18 （本小题满分 16 分） 如图，A、B 为椭圆 C：1 2 2 2 y a x 短轴的上、下顶点，P 为直线 l：2y上一动点，连接 PA 并延长交椭圆于点 M，连接 PB 交椭圆于点 N.已知直线 MA， MB 的斜率之积恒为 2 1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求直线 MN 与 x 轴平行，求直线 MN 的方程； （3）求四边形 AMBN 面积的最大值，并求对应的点 P 的坐标 19 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a满足12 1 naa nn （1
7、）若数列 n a的首项为 1 a，其中30 1 a，且 1 a， 2 a， 3 a构成公比小于 0 的等比数 列，求 1 a的值； （2）若 n a是公差为 d（d0）的等差数列 n b的前 n 项和，求 1 a的值； （3）若 1 a=1，2 2 a，且数列 1 -2n a单调递增，数列 n a2单调递减，求数列 n a的通 项公式 20 （本小满分 16 分） 设函数 x e x xf )( )( ， )( ln )( x x xg ，其中)(x恒不为 0. （1）设 2 )(xx ，求函数)(xf在1x处的切线方程； （2）若 0 x是函数)(xf与)(xg的公共极值点，求证： 0 x存
8、在且唯一； （3）设baxx)(，是否存在实数 a，b，使得0)()(xgxf在，0上恒成立？ 若存在，请求出实数 a，b 满足的条件；若不存在，请说明理由 数学数学(附加题附加题) 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若若 多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 直线l经矩阵M= sin cos cos sin （其中，0
9、）作用变换后得到直线xyl2:，若 直线l与直线 l 垂直，求的值. B.选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程 3 1 2 1 2 xt yt ， （t 为参数）以坐标原点为极 点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2，设 P 为上动点， 求直线l被曲线 C 截得的弦长 C选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分） 若实数a b c，满足243abc，求 111 123abc 的最小值 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在分请在答题卡指定区域答题卡
10、指定区域 内作答，解答时应内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤写出文字说明、证明过程或演算步骤 22.（本小题满分10分） 已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面 试； 若材料初审合格， 则进入第二步面试.只有面试合格者， 才能获得该高校综合评价的录取资格. 现有A，B，C三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A，B，C三位学生材料初审合格的概率 分别是 3 1 ， 2 1 ， 4 1 ；面试合格的概率分别是 2 1 ， 3 1 ， 3 2 . （1）求A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率； （2）记随机变量X为A，B，C三位
11、同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X的概率 分布与数学期望. 23.（本小题满分10分） 设集合nTn, 3 , 2 , 1 （其中 Nnn, 3） ，将 n T的所有3元子集（含有3个元素的子集） 中的最小元素的和记为 n S. （1）求 3 S ， 4 S ， 5 S的值； （2）试求 n S的表达式. 盐城市 2020 届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案 一、填空题一、填空题：本大题共本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，计分，计 7070 分分. . 1. 1,2 2. 1 3. 5 4. 2 3 5. 13 6. 3 7. 1 6 8. 6 4 9.21
12、 n 10. 2 11. 6, 12. 2 ,1 2 13. 2,0 14. 5 2 2 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请 把答案写在答题纸的指定区域内把答案写在答题纸的指定区域内. 15. 解：（1） 2 3313 ( )=sincos3cos=sincos =sin+ 22222223 xxx f xm nxxx ， .4 分 当 3 2+2 232 kxkkZ ，时函数( )f x单调递减，即 7 22, 66 kxkkZ , 又因为0,x，所以函数
13、( )f x在0, 上的减区间为 , 6 .6 分 （ 2 ） 由()()fAfB得 sin+sin+ 33 AB ，又2ab,所以AB，所以+ += 33 AB ， 得 + = 3 A B ， . 8 分 由2ab及正弦定理得sin2sinAB,所以sin2sin 3 BB ,即 sincoscossin2sin 33 BBB ， 解得 5 3 cos=sin 3 BB， . 12 分 又 22 sin+cos=1BB，得 2 3 sin= 28 B,又因为,所以 21 sin= 14 B .14 分 sin0B 16证明： （1）因为在平行四边形 11 ACC A中，O为 1 AC与 1
14、AC的交点，所以O为 1 AC 的中点， 又因为点P为BC的中点，所以OP 1 A B， .4 分 又OP平面 11 ABB A， 1 AB 平面 11 ABB A，所以OP平面 11 ABB A. .6 分 （2）由（1）知OP 1 A B，又 11 ABAC，所以 1 ACOP, .8 分 在 平 行 四 边 形 11 ACC A中 1 AAAC， 所 以 四 边 形 11 ACC A为 菱 形 ， 所 以 11 ACAC, 10 分 又 1 ,OP AC 平面OCP，且 1 OPACO,所以 1 AC 平面 OCP, 12 分 又 1 AC 平面 1 ACC，所以平面 1 ACC平面 O
15、CP 14 分 17解：周长 11 22(1)24 42 lrrr， 面积 222 11 1 ()1 44 Srrr ， 4 分 所以 2 2 1 1 4 4 ( ) 1 2(8) 4 2 r r f r r r ， (0,1)r， 6 分 令8 rx ，则 22 4(8)4(8)3030 ( )16()162 2222 xxxx f r xxxx ， 10 分 当且仅当 60 x x 时， 即2 15x ，( )f r最大， 此时82 15r ， 13 分 答：当8215r 时，该淋浴房的满意度最 高. 14 分 18解： （1）由椭圆 2 2 2 :1 x Cy a ，所以(0,1)A，(
16、0, 1)B，设 00 (,)M xy， 则 00 00 111 2 yy xx ， 2 分 所以 22 00 1 1 2 yx ，又 2 2 0 0 2 1 x y a ，解得 2 2a ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 2 x y. 4 分 （2）设( ,2)P t，当0t 时，0 MN xx，不符题意，所以0t ， 所以 1 PA k t ， 直线PA的方程为： 1 1yx t ， 即x t y t， 6 分 代入椭圆方程得到 2 2 () 1 2 tyt y ，即 222 (1)2(1)0tyy， 解得1 A y ， 2 2 2 2 M t y t ，同理 2 2 18 18 N t
17、y t ， 8 分 因直线MN与x轴平行，所以 22 22 218 218 tt tt ，解得 2 6t ， 1 2 M y， 所以直线MN的方程为 1 2 y . 10 分 （3） 由 （2） 2 2 21 1 2 M t x tt ， 解得 2 4 2 M t x t ， 同理 2 12 18 N t x t ， 12 分 所以四边形AMBN的面积 22 4121 2() 2218 MN tt Sxx tt ， 根据对称性， 不妨设0t ， 则 3 2242 41 21 6 (6) 21 82 03 6 tttt S tttt ， 14 分 所以 22 2 66 1616 366 20()
18、8 tt tt S tt tt ，设 6 2 6mtm t ， 则 2 111 161616=16= 6. 88 88 6 2 6 2 6 3 m S m m m 当 且 仅 当 6 t t 即6t ， 所 以 四 边 形AMBN面 积 的 最 大 值 为6， 此 时 点 (6,2)P . 16 分 19 （1）因 1 21 nn aan ，所以 21 3aa ，即 21 3aa， 又 1 03a， 且前三项是公比小于0的等比数列， 所以 21 30aa ， 2 分 32 5aa ，即 32 50aa，所以 31 2aa 所以 2 111 (3)(2)aaa，解得 1 9 8 a . 4 分
19、（2）因 n a是等差数列 n b的前n项和，所以 11 21 nnn aabn ， 6 分 又 111n bbdndna ，所以 1 21dnan， 8 分 当 1 21dnan 时， 1 (2)10dna ，所以2d ，不符题意； 当 1 21dnan时， 1 (2)10dna，所以2d ， 1 1a . 10 分 （3）因为数列 21n a 单调递增，所以. 531 aaa； 因为数列 2n a单调递增，所以. 642 aaa； 又因为 21 aa ， 所以 531246 aaaaaa 因 1 21 nn aan ,所以 212 41 nn aan ； 同理 221 41 nn aan
20、，所以 2121 2 nn aa ， 又 1 1a ，所以 21 1 2(1)21 n ann ， 14 分 所以 2 (21)(41) n ann ， 2 2 n an ， 所以数列 n a的通项公式为 ,21 ,2 n n nk a n nk （*kN）. 16 分 20 解： （1） 因 2 ( ) xx， 所以 2 ( ) x x f x e ， 22 2 22 ( ) xx xx xex exx fx ee ， 2 分 所以 1 (1)f e ，又 1 (1)f e 所以函数( )f x在1x 处的切线方程为 11 (1)yx ee ，即 1 yx e . 4 分 （2）因 ( )
21、( ) x x f x e ，所以 2 ( )( )( )( ) ( ) xx xx x ex exx fx ee ， 又 ln ( ) ( ) x g x x ，所以 2 1 ()()ln ( ) ( ) xxx x g x x ， 6 分 因 0 x是函数( )f x与( )g x的公共极值点，所以 0 ()0fx， 0 ()0g x， 即 00 ()()xx， 000 0 1 ()()lnxxx x 因( )0x，所以 0 0 1 ln x x ， 8 分 令 1 ( )lnh xx x ，则 0 x是( )h x的零点， 因( )h x在(0,)上单调递增，所以( )h x至多有一个零
22、点， 又 1 (1)ln10 1 h， 1 ( )ln0h ee e ，且函数( )h x在0,上连续不间断，由零点存在性 定理可知， ( )h x的零点 0 x唯一存在，得 证. 10 分 （3）（3）因为( )xaxb，由（2）得( ) x axab fx e ， 2 ln ( ) ( ) b aax x g x x ， 记( )m xaxab ，( )ln b n xaax x 当0a时，( )m xb ，( ) b n x x ，若0b，则( )( )0m xn x，此时( )= ( )=0fxg x， 不符题意； 若0b，( )m x与( )n x符号相反， 此时( )( )0fxg
23、 x， 满足题意. 12 分 当0a时，若 ab x a ，则( )0m x ， 若0b，当1x 时，则( )lnln b n xaaxabax x 由ln0a b ax ，得ln ab x a ，所以 a b a xe ， 所以 0 max,1, a b a ab xxe a 时，( )0m x ，( )0n x ， 此时函数( )0fx 与( )0g x ，( )( )0fxg x，不符题意（舍） ； 若0b，则( )lnln b n xaaxaax x 由ln0aax，得ln1x，所以xe 所以 0 max, ab xxe a 时，( )0m x ，( )0n x ， 此时函数( )0f
24、x 与( )0g x ，( )( )0fxg x， 不符题意 （舍） ； 14 分 当0a时，若 ab x a ，则( )0m x ， 若0b，则( )lnln b n xaaxaax x 由ln0aax，得ln1x，所以xe， 所以 0 max, ab xxe a 时，( )0m x ，( )0n x ， 此时函数( )0fx 与( )0g x ，( )( )0fxg x，不符题意（舍） ； 若0b，当1x 时，则( )ln+ln b n xaaxa bax x ， 由+ln0a b ax，得 a b a xe ， 所以 0 max,1, a b a ab xxe a 时，( )0m x ，
25、( )0n x ， 此时函数( )0fx 与( )0g x ，( )( )0fxg x，不符题意（舍） ； 综上所述，当0a且0b时，函数( )f x与( )g x满足( )( )0fxgx在(0,)上恒成 立. 16 分 附加题答案 21(A) 解 ： 法1 ： 平 面 列 向 量 关 于 原 点 逆 时 针 旋 转所 对 应 的 变 换 矩 阵 为 cos sin sin cos )(M 4 分 直线l经矩阵 cos sin sin cos M作用， 即顺时针旋转以后得到直线 l， 且), 0( ，ll， 所以 2 .10 分 法 2：在直线l上任取一点),(yxP，经过矩阵M作用后得到点
26、) , ( yxP，则 cossin sincos cos sin sin cos y x yx yx y x . 6 分 又点) , ( yxP在直线xyl2: 上， 所以)sin(cos2cossinyxyx 即 xy)sincos2()sin2(cos 8 分 因为， ll 所以 2 1 sin2cos sincos2 ，所以cossin2sin2cos4， 所以, 0cos因为), 0(，所以 2 . 10 分 21(B) 解： 直线l的直角坐标方程为：013yx， 2 分 曲 线C的 直 角 坐 标 方 程 为 ：2 22 yx. 圆 心 为)0 , 0(C， 半 径 2r， 6 分
27、 圆心C到直线l的距离 2 1 )3(1 1 22 d， 所以直线l被曲线C截得的弦长为 6) 2 1 ()2(2 22 . 10 分 21(C) 解：因为正数cba,满足, 342cba所以16)3()2(4) 1(2cba. 所以) 3 1 2 1 1 1 ()3()2(4) 1(2 16 1 3 1 2 1 1 1 cba cba cba ， 16 2611 ) 122( 16 1 2 . 8 分 当且仅当 7 21627 , 7 2810 , 7 23224 cba时，取最小值 16 2611 .10 分 22. 解：(1) 记“A,B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件 M
28、. A 考生获得录取资格的概率为 6 1 2 1 3 1 ；B 考生获得录取资格的概率为 6 1 3 1 2 1 ； 所以 18 5 6 1 6 5 6 5 6 1 )(MP. 答 ： A,B两 位 考 生 有 且 只 有 一 位 考 生 获 得 录 取 资 格 的 概 率 为 18 5 .4 分 (2) 随机变量X可能的取值为：0，1，2，3 C 考生获得录取资格的概率为 6 1 3 2 4 1 ,由(1)得 A,B 两位考生获得录取资格的概率均为 6 1 . 所以 A,B,C三位考生获得高校综合评价录取资格的人数) 6 1 , 3( BX. 则, 216 125 ) 6 5 ()0( 30
29、 3 CXP, 216 75 ) 6 1 () 6 5 () 1( 121 3 CXP , 216 15 ) 6 1 () 6 5 ()2( 212 3 CXP, 216 1 ) 6 1 ()3( 33 3 CXP 随机变量X的概率分布表如下： X 0 1 2 3 )(XP 216 125 216 75 216 15 216 1 数学期望为： 2 1 216 108 216 1 3 216 15 2 216 75 1 216 125 0)(XE (人). 8 分 答：X的数学期望为 2 1 人. 10 分 注：(1) 如果随机变量X的概率分布列写成： )3 , 2 , 1 , 0() 6 1
30、() 6 5 ()( 3 3 kCkXP kkk ，可酌情给分。 （如果由二项分布的期望公式直接得出结果，可酌情给分。 ） 23. 解： (1) 当3n时，3 , 2 , 1 3 T， 3 元子集有：3 , 2 , 1，1 3 S; 1 分 当4n时，4 , 3 , 2 , 1 4 T， 3元子集有：43 , 2,4 , 3 , 1,4 , 2 , 1,3 , 2 , 1， 521 2 2 2 34 CCS; 2 分 当5n时，5 , 4 , 3 , 2 , 1 5 T， 3 元子集有：5 , 43,54 , 2,53 , 2,43 , 2,5 , 4 , 1,5 , 3 , 1,4 , 3
31、, 1,5 , 2 , 1,4 , 2 , 1,3 , 2 , 1， 15321 2 2 2 3 2 45 CCCS . 4 分 (2) 法 1：,.,3 , 2 , 1nTn以 1 为最小值的 3 元子集个数为 2 1n C；以 2 为最小值的 3 元子集个数 为 2 2n C； 以2n为最小值的 3 元子集个数为 2 2 C. . . , )() 1(.32). ( )1()2(.)3( )2( )3( )2()3(.21 32 1 2 4 3 4 2 1 2 3 3 3 2 1 2 3 2 2 1 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 2
32、 2 3 2 2 2 1 nnnn k n k n k n nn nn nnn CCCCCCCCCC CCC CnCCCCCn CnnCnnCnCn nCnCnCCS 6 分 下求 2 1 2 3 2 2 ) 1(.32 n CnCC 记)0()1 (.)1 ()1 ()( 132 xxxxxf n 则)0()1)(1(.)1 (3)1 (2)( 221 xxnxxxf n ， 记)0()1)(1(.)1 ( 3)1 (2)( ) 1()( 132 xxnxxxfxxg n ， 则)(xg的展开式中 2 x项前的系数为 2 1 2 3 2 2 ) 1(.32 n CnCC， 又)0( 1)1(
33、)1 ( )( 22 x x xx xf n ， )0( )1 ()1()1 (2)1 ( )( 2 21 x x xxxxxn xf nn )0( )1 ()1()1 (2)1 ( )( 2 312 x x xxxxxn xg nn 则)(xg的展开式中 2 x项前的系数又可以写作 4 1 3 nn CnC 4 1 32 1 2 3 2 2 ) 1(.32 nnn CnCCnCC )3()()( 4 1 4 1 33 nCCnCnC nnnn 式 . 10 分 法 2： 由.351551 6543 SSSS，归纳猜想出)3( 4 1 nCS nn , 下用数学归纳法给出证明. 当3n时， 4
34、 43 1CS， 结论成立； 2 分 假设)3( Nkkkn，时， 结论成立， 即 4 1 kk CS， 4 分 则当1kn时，1,.,3 , 2 , 1 1 kkTk， 4 1)1( 3 1 4 1 3 1 224 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 2 1 2 1 1 4 1 1 1 1 2 1 3 1 2 1 11 )( ) 1(.32).( )1()2(.)2() 1( ) 1()2(.32( kkk kkkk kkk kkk kkkkk CCC CkCkCC CkCCCCCCkC CkkCkkCkCkC CkCkCCCSS 所以当1kn时，结论成立. 综上：由可得 )3( 4 1 nCS nn 10 分
