1、 第九章第九章 组合变形组合变形 101 概述概述 102 斜弯曲斜弯曲 103 弯曲与扭转弯曲与扭转 1010- -4 4 拉拉( (压压) )弯组合弯组合 偏心拉（压）偏心拉（压） 截面核心截面核心 一、组合变形一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简 单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略 之，这类构件的变形称为组合变形。 101 概概 述述 M P R z x y P P P hg g 水坝水坝 q P hg g 二、组合变形的研究方法二、组合变形的研究方法 叠加原理叠加原理 外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解 内力分析：求每个外力分量对应
2、的内力方程和内力图，确 定危险面。 应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。 x y z P 102 斜弯曲斜弯曲 一、斜弯曲一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横 向力）不共面。 二、斜弯曲的研究方法二、斜弯曲的研究方法 ： 1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交 的平面弯曲。 Py Pz Pz Py y z P j j 2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。 x y z Py Pz P Pz Py y z P j j jsinPPyjcosPP z 解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解 2.研究两个平面弯曲 j
3、 j sin sin)( )( M xLP xLPM yz jcosMM y 内 力 x y z Py Pz P Pz Py y z P j j L m m x L jcos yy y I M I zM z 应 力 jsin zz z I M I yMy )sincos(jj zy I y I z M My引起的应力： M z引起的应力： 合应力： Pz Py y z P j j x y z Py Pz P L m m x 最大正应力 变形计算 0)sincos( 00 jj zy I y I z M 中性轴方程 jctgtg 0 0 y z I I z y 可见：只有当Iy = Iz时，中性
4、轴与外力才垂直。 在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。 1maxDL 2maxDy 22 zy fff z y f f tg 当当j j = 时，即为平面弯曲。时，即为平面弯曲。 Pz Py y z P j j D1 D2 中性轴中性轴 f fz fy 例例1 1结构如图，P过形心且与z轴成j角，求此梁的最大应力与挠度。 最大正应力最大正应力 变形计算变形计算 21maxD y y z z DL W M W M 2 3 2 3 22 ) 3 () 3 ( y z z y zy EI LP EI LP fff jtgtg z y z y I I f f 当Iy = Iz时，即发生平
5、面弯曲。 解：危险点分析如图 f fz fy y z L x Py Pz P h b Pz Py y z P j j D2 D1 中性轴中性轴 例例2 矩形截面木檩条如图，跨长L=3m,受集度为q=800N/m的 均布力作用， =12MPa，容许挠度为：L/200 ，E=9GPa，试 选择截面尺寸并校核刚度。 N/m358447. 0800sinqqy 解：外力分析分解q y y z z W M W M max N/m715894. 0800cosqqz Nm403 8 3358 8 2 2 max Lq M y z Nm804 8 3715 8 22 max Lq M z z 2634 y
6、z q q L A B 103 弯曲与扭转弯曲与扭转 80 P2 z y x P1 150 200 100 A B C D 解：外力向形心 简化并分解 建立图示杆件的强度条件 弯扭组合变形 80 P2 z y x P1 150 200 100 A B C D 150 200 100 A B C D P1 Mx z x y P2y P2z Mx 每个外力分量对应 的内力方程和内力图 叠加弯矩，并画图 )()()( 22 xMxMxM zy 确定危险面 )( ; )( ; )(xMxMxM nzy M Z (N m) X (Nm) My x My (N m) X Mz (Nm) x （Nm） x
7、Mn MnMn (Nm) x M (N m) X Mmax M (Nm) Mmax x 画危险面应力分布图，找危险点 W M xB max 1 P n B W M 1 22 3 1 ) 2 ( 2 建立强度条件 22 313 4 2 2 2 2 max 4 P n W M W M 1 xB 1 B x 1 xB 2 xB M 1 B 1 xB 1 B x B1 B2 My Mz Mn M 2 13 2 32 2 214 2 1 22 3 W MM n 22 75. 0 W MMM nzy 222 75. 0 W MMM nzy 222 * 4 75. 0 1 xB 1 B W MMM nzy
8、222 * 3 22 313 4 2 2 2 2 max 4 P n W M W M W MMM nzy 222 外力分析：外力向形心简化并分解。 内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危 险面。 应力分析：建立强度条件。 W MMM nzy 222 * 3 W MMM nzy 222 * 4 75. 0 弯扭组合问题的求解步骤：弯扭组合问题的求解步骤： 例例3 图示空心圆杆， 内径d=24mm，外 径D=30mm， P1=600N， =100MPa，试用 第三强度理论校核 此杆的强度。 外力分析： 弯扭组合变形 80 P2 z y x P1 150 200 100 A B C D
9、 150 200 100 A B C D P1 Mx z x y P2y P2z Mx 解： 内力分析：危 险面内力为： 应力分析： W MM n 22 max* 3 Nm3 .71 max M Nm120 n M )8 . 01 (03. 014. 3 1203 .7132 43 22 MPa5 .97 安全 M Z (N m) X (Nm) My x My (N m) X Mz (Nm) x （Nm） x Mn MnMn (Nm) x M (N m) X Mmax M (Nm) 71.3 x 71.25 40 7.05 120 5.5 40.6 104 拉拉( (压压) )弯组合弯组合 偏
10、心拉（压）偏心拉（压） 截面核心截面核心 一、拉一、拉( (压压) )弯组合变形：弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产 生的变形。 P R P x y z P My x y z P My Mz P MZ My A P xP z z xM I yM z y y xM I zM y y y z z x I zM I yM A P 二、应力分析二、应力分析： x y z P My Mz 0 0 0 y y z z x I zM I yM A P 四、危险点四、危险点 （距中性轴最远的点） 三、中性轴方程三、中性轴方程 对于偏心拉压问题 0)1 ( 2 0 2 0 2 0 2 0 y P z
11、 P y P z P i zz i yy A P Ai zPz Ai yPy A P y y z z W M W M A P max y y z z W M W M A P max 01 2 0 2 0 y P z P i zz i yy 中性轴中性轴 y z ),( PP yzP y z 五、（偏心拉、压问题的）截面核心：五、（偏心拉、压问题的）截面核心： ay az 01 2 z yP i ay 01 2 y zP i az 已知 ay， az 后 ， 压力作用区域。 当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力。 可求 P 力的一个作用点 ),( PP yz 01 2 0 2 0 y P z
12、 P i zz i yy 中性轴中性轴 ),( PP yzP 截面核心 MPa75. 8 2 . 02 . 0 350000 max2 A P 11 max1 z W M A P MPa7.11 3.02.0 650350 3.02.0 350000 2 解：两柱均为压应力 例例4 4 图示不等截面与等截面杆，受力P=350kN，试分别求出两柱 内的绝对值最大正应力。 图（1） 图（2） P 300 200 P 200 M P P d P P mm5 102010100 201020 C z 2 3 510010 12 10010 C y I 45 2 3 mm1027. 7 252010 1
13、2 2010 例例5 图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力；若将缺口移至板 宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？ 解：内力分析如图 坐标如图，挖孔处的形心 Nm500105 3 PM P P M N 20 100 20 y z yC P P M N yc I zM A N max max MPa8.1628.37125 应力分析如图 7 3 6 3 1027. 7 1055500 10800 10100 孔移至板中间时 )100(10mm9 .631 108 .162 10100 2 6 3 max x N A mm8 .36 x 20 100 20 y z yC MPa7 .35 1 . 0 700016 3 n W T MPa37. 610 1 . 0 504 3 2 A P 解：拉扭组合,危险点应力状态如图 例例6 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, =100MPa,试按第三强度理论校核此杆的强度。 故，安全。 22 3 4 MPa7 .71 7 .35437. 6 22 A A P P T T
