1、4.5 向量的内积向量的内积 一、内积的定义与性质一、内积的定义与性质 二、向量的长度与性质二、向量的长度与性质 及求法及求法三、正交向量组的概念三、正交向量组的概念 换换四、正交矩阵与正交变四、正交矩阵与正交变 五、小节、思考题五、小节、思考题 定义定义1 1 维向量维向量设有设有n , 2 1 2 1 nn y y y y x x x x nn yxyxyxyx 2211 ,定义定义 一、内积的定义及性质 的内积。的内积。与与为向量为向量称称yxyx , 说明说明 1 、 维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积 的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直
2、观的几何意义 4 nn y x yx yx T , :, , 2 为为内积可用矩阵记号表示内积可用矩阵记号表示向量向量 都是列都是列如果如果内积是向量的一种运算内积是向量的一种运算、 内积的运算性质内积的运算性质 :,为实数为实数维向量维向量为为其中其中 nzyx ;,)1(xyxyyx T ;,)2( yxyx ;,)3( zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx时有时有当且仅当当且仅当 非负性非负性. 1 齐次性齐次性. 2 三角不等式三角不等式. 3 定义定义2 2 , 22 2 2 1n xxxxxx 令令 . 或或的的维向量维向量为为称称xnx长度长度 范数范数 向量的长
3、度具有下述性质：向量的长度具有下述性质： ; 0,0; 0,0 xxxx时时当当时时当当 ;xx .yxyx 二、向量的长度及性质 维向量间的夹角维向量间的夹角单位向量及单位向量及n .1 , 5 , 1 , 33 , 2 , 2 , 1的夹角的夹角与与求向量求向量 TT 例例 解解 , cos 2 2 623 18 . 4 .,11 为为称称时时当当xx 单位向量单位向量 yx yx yx , arccos,0, 02 称称时时当当 . 的的与与维向量维向量为为yxn夹角夹角 例例 ).()(ArAAr T 证明证明 证：证： .,维列向量维列向量为为矩阵矩阵为为设设nxnmA ; 0)(
4、, 0)(, 0 xA A Ax A Axx T T 即即则有则有满足满足若若 . ,|,)( ,)(,)( )( 0Ax 0Ax0Ax 0xA0xAx Ax AxA T TTT 性可推知 由向量长度的非负即 即则满足若 ,0)(0同解同解与与综上可知方程组综上可知方程组 xA A Ax T ).()( ArAAr T 因此因此 证毕证毕 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念 ,0,yxyx与与称向量称向量时时当当 正交正交（或（或垂直垂直）. ., 0,与任何向量都正交与任何向量都正交则则若若由定义知由定义知 xx 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的
5、向量两两正交，则称该向 量组为量组为正交向量组正交向量组 三、正交向量组的概念及求法 则必有则必有是正交向量组，是正交向量组，即若向量组即若向量组 m 21 )(0ji j T i , 00 2 1111 T 由由.0 1 从而有从而有 . 0 2 r 同理可得同理可得., 21 线性无关线性无关故故 r 使使设有设有 r , 21 证明证明 0 2211 r 得得左乘上式两端左乘上式两端以以, 1a T 00 1111 TT 正交向量组的性质正交向量组的性质 线性无关.线性无关., , , ,则则非零向量,非零向量, 是一组两两正交的是一组两两正交的, , , ,维向量维向量若若 r r n
6、 21 21 定理定理1 1 例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量 1 2 1 , 1 1 1 21 正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交 基基. 3 321 , 向量空间的向量空间的正交基正交基 . , , 21 2121 的正交基的正交基向量空间向量空间 是是则称则称组组是两两正交的非零向量是两两正交的非零向量 且且的一个基的一个基是向量空间是向量空间若若 V V rr r 即即 02, 0, 3213232 3213131 xxx xxx T T 解之得解之得 . 0, 231 xxx 则有则有若令若令, 1 3 x 1 0
7、 1 3 2 1 3 x x x 由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基. 321 , 则有则有 0, 3231 解解 ., 0, 213213 正交正交且分别与且分别与设设 T xxx 解毕解毕 规范正交基规范正交基 . , ,) ( , 3 21 21 21 的一个规范正交基的一个规范正交基是是则称则称向量向量 两两正交且都是单位两两正交且都是单位如果如果的一个基的一个基 是向量空间是向量空间维向量维向量设设定义定义 Veee eeeR VVeeen r r n r 例如，例如，4 维向量组维向量组 . 21 21 0 0 , 21 21 0 0 , 0 0 2
8、1 21 , 0 0 21 21 4321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1, . 4 , 3 , 2 , 1, 0, jijiee jijiee ji ji 且且 且且 由于由于 ., 4 4321 的一个规范正交基的一个规范正交基为为所以所以Reeee . 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 4321 同理可知同理可知 , 4 的一个规范正交基的一个规范正交基也为也为R我们称其为我们称其为自然基自然基. , 21 的一个基的一个基为向量空间为向量空间若若Vaaa r 求规范正交基的方法求规范正交基的方法 称为称为这样一个问题这样一个问题
9、价价 等等与与使使位向量位向量 的单的单就是要找一组两两正交就是要找一组两两正交的一个规范正交基的一个规范正交基 要求要求的一个基的一个基是向量空间是向量空间设设 , , , , 212121 21 rrr r eeeeee VV . , 21 范正交化范正交化 这个基规这个基规把把 r 我们来介绍其步骤：我们来介绍其步骤： （1）施密特正交化施密特正交化，取，取 ， 11 b , , , 1 11 21 22 b bb b b 1 11 1 2 22 2 1 11 1 , , , , , , r rr rrrr rr b bb b b bb b b bb b b ., 111 等价等价与与且
10、且两两正交两两正交那么那么 rrr aabbbb 2 22 32 1 11 31 33 , , , , b bb b b bb b b （2）规范化（即）规范化（即单位化）单位化），取，取 , 2 2 2 1 1 1 r r r b b e b b e b b e ., 21 的一个规范正交基的一个规范正交基为为那么那么Veee r ., , 1 1 称为称为的过程的过程向量组向量组 构造出正交构造出正交上述由线性无关向量组上述由线性无关向量组 r r bb aa 施密特正交化过程施密特正交化过程 例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组 TTT aaa)1, 1 , 5
11、 , 3(,)4 , 0 , 1, 1(,)1 , 1 , 1 , 1( 321 正交规范化正交规范化. 解解 先先正交化正交化， T ab1 , 1 , 1 , 1 11 1 11 21 22 , , b bb ab ab TT 1 , 1 , 1 , 1 1111 411 4 , 0 , 1, 1 T 3 , 1, 2, 0 取取 2 22 32 1 11 31 33 , , , , b bb ab b bb ab ab TTT 3 , 1, 2, 0 14 14 1 , 1 , 1 , 1 4 8 1, 1 , 5 , 3 T 0 , 2, 1 , 1 再再单位化单位化， T T b b
12、 e 14 3 , 14 1 , 14 2 , 03 , 1, 2, 0 14 1 2 2 2 T T b b e 0 , 6 2 , 6 1 , 6 1 0 , 2, 1 , 1 6 1 3 3 3 得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下 T T b b e 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 1 , 1 , 1 , 1 2 1 1 1 1 解毕解毕 . , 1 1 1 3 21321 两两正交两两正交 使使求一组非零向量求一组非零向量已知已知 a aaaaa 例例 3 解解 . 0 , 0, 321 132 xxx x aaa T 即即应满足方程应满足方程 . 1 1 0 , 1
13、 0 1 21 它的基础解系为它的基础解系为 把基础解系正交化，即为所求亦即取把基础解系正交化，即为所求亦即取 , 1 2 a . , , 1 11 21 2 3 a 于是得于是得其中其中, 2, 1, 1121 , 1 0 1 2 a . 1 2 1 2 1 1 0 1 2 1 1 1 0 3 a 解毕解毕 4例例组，组，是两两正交的单位向量是两两正交的单位向量已知已知zyx, ；求内积求内积 zyxzyx43,523)1( :解 zzyzxz zyyyxy zxyxxx zyxzyx zyxzyx TTT TTT TTT T 20515 826 1239 )43()523( 43,523
14、单位向量单位向量 正交向量正交向量 312029 .352)2(kkzyxzyx正交，求正交，求与与若向量若向量 解解依题意，应有依题意，应有 0)3()52( kzyxzyx T zzkyyxx kzyxzyx TTT T 523 )3()52( 而而 k523 故由故由 0523 k 解得解得 1 k 解毕解毕 证明证明: IAAA T n 则则，若记若记 , 21 定义定义4 4 , 1 为为称称 则则即即满足满足阶方阵阶方阵若若 A A AIA A An TT 定理定理2 2 四、正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都 是单位向量且两两正
15、交是单位向量且两两正交 AA 正交矩阵正交矩阵. I n T n T T , 21 2 1 I n T n T n T n n TTT n TTT 21 22212 12111 nji ji ji ijj T i , 2 , 1, , 0 ;, 1 当当 当当 100 010 001 .定理得证定理得证 定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为称为正正 交变换交变换 Pxy P 性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变 证明证明: ,为正交变换为正交变换设设Pxy .xx x Px Px yyy TTT T 则有则有 例例 5 5 判别下列矩阵
16、是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵 , 12131 21121 31211 1 . 9 7 9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 2 解解 12131 21121 31211 1 , 0 2 1 3 1 1 2 1 2 1 1 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵 考察矩阵的第一列和第二列作内积，考察矩阵的第一列和第二列作内积， 由于由于 9 7 9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 9 7 9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 T 所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵 100 010 001 由于由于 9 7 9 4
17、 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 2 解毕解毕 1 1将一组基向量规范正交化的方法：将一组基向量规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将 其单位化其单位化 ;1 1T AA ;2IAAT ;3单位向量单位向量的列向量是两两正交的的列向量是两两正交的A .4单位向量单位向量的行向量是两两正交的的行向量是两两正交的A 五、小结 2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立： A 求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与 ,1 , 1, 1 , 1 1 ,1 , 1, 1, 1 2 3 , 1 , 1 , 2 3 正交正交 思考题 :),( 则由题意可得则由题意可得设所求向量为设所求向量为dcbax 解解 思考题解答 . 032 , 0 , 0 , 1 2222 dcba dcba dcba dcba ) 26 3 , 26 1 , 0 , 13 2 2(: x解之可得解之可得 ). 26 3 , 26 1 , 0 , 13 2 2( x或或
