1、 第 1 页（共 28 页） 2020 年江苏省南通市中考数学模拟试卷（年江苏省南通市中考数学模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）a，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把 a，a，b，b 按 照从小到大的顺序排列（ ） Abaab Babab Cbaab Dbbaa 2 （3 分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A3cm，4cm，8cm B8cm，7cm，15cm C13cm，12cm，20cm D5cm，5cm，11cm 3 （3 分）已知某细菌直径长约
2、0.0000152 米，那么该细菌的直径长用科学记数法可表示为 （ ） A152105米 B1.5210 5 米 C1.52105米 D1.5210 4 米 4 （3 分）如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图） ，这个几何体的表面能展 开成下面的哪个平面图形？（ ） A B C D 5 （3 分）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A5x24x2 B （x1） （5x1）5x2 C4x25x+10 D （x4）20 6 （3 分）下列计算中正确的是（ ） 第 2 页（共 28 页） Aa2+b32a5 Ba4aa4 Ca2a4a8 D （a2）3a6 7 （3 分）如图，在
3、54 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 l，ABC 的顶点都在 这些小正方形的顶点上，则 cosBAC 的值为（ ） A4 3 B3 4 C3 5 D4 5 8 （3 分）若不等式组 23 6 无解，那么 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm2 9 （3 分）如图，把长方形纸片 ABCD 折叠，使顶点 A 与顶点 C 重合在一起，EF 为折痕若 AB9，BC3，试求以折痕 EF 为边长的正方形面积（ ） A11 B10 C9 D16 10 （3 分）将反比例函数 y= 4 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 30，得到如图的新曲线， 与过点 A（3，33） ，B（3 2 3
4、， 3 2）的直线相交于点 C、D，则OCD 的面积为（ ） A8 B3 C23 D3 2 3 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 29 分）分） 第 3 页（共 28 页） 11 （3 分）若 x，y 为有理数，且2 1 + 1 2 + = 4，则 xy 的值为 12 （3 分）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于 O，则AOC+DOB 13 （3 分）扇形的圆心角是 120，面积是 3cm2，则扇形的弧长是 cm，将此扇形 卷成一个圆锥，则底面圆的半径为 cm 14 （4 分） 如图， 某测量小组为了测量山 BC 的高度， 在地面 A 处测得山顶 B 的仰角 45
5、， 然后沿着坡度为 1：3的坡面 AD 走了 200 米达到 D 处，此时在 D 处测得山顶 B 的仰角 为 60，则山高 BC 米（结果保留根号） 15 （4 分）如图，OA 和 BA 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数的图象，图中 s 和 t 分别表示路程和时间，根据图象判定快者比慢者每秒多跑 米 16 （4 分）已知二次函数 yx2bx（b 为常数） ，当 2x5 时，函数 y 有最小值1，则 b 的值为 17 （4 分）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作 RtABC，使其斜边 ABc，一条直角边 BCa 已知线段 a，c 如图 第 4 页（共 28 页） 小
6、芸的作法如下： 取 ABc，作 AB 的垂直平分线交 AB 于点 O； 以点 O 为圆心，OB 长为半径画圆； 以点 B 为圆心，a 长为半径画弧，与O 交于点 C； 连接 BC，AC 则 RtABC 即为所求 老师说： “小芸的作法正确 ” 请回答：小芸的作法中判断ACB 是直角的依据是 18 （4 分）在 RtABC 中，C90，tanA= 5 12，周长为 18，则 SABC 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 91 分）分） 19 （12 分） （1）计算：12+20200(1 2) 1 + 8 3 ； （2）化简2 2 (1 2 ) 20 （10 分）某电器超市销售每
7、台进价 160 元、120 元的 A、B 两种型号的电风扇，如表是 近两周的销售情况 （进价、销价保持不变，利润销售收入进货成本） 销售 时段 销售量 销售 收入 A 型号 B 型号 第一周 3 台 4 台 1200 元 第二周 5 台 6 台 1900 元 求 A、B 两种型号的电风扇的销售单价？ 若超市准备用不多于 7500 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 50 台求：A 种型 号的电风扇最多能采购多少台？ 在的条件下，超市销售完这 50 台电风扇能否实现利润超过 1850 元？若能，请给出 第 5 页（共 28 页） 相应的采购方案，若不能，请说明理由 在的条件，超市销售完这 50
8、台风扇能否实现利润超过 1880 元？说明理由 21 （10 分）中华鲟是国家一级保护动物，它是大型洄游性鱼类，生在长江，长在海洋，受 生态环境的影响，数量逐年下降中华鲟研究所每年定期通过人工养殖放流来增加中华 鲟的数量，每年放流的中华鲟中有少数体内安装了长效声呐标记，便于检测它们从长江 到海洋的适应情况，这部分中华鲟简称为“声呐鲟” ，研究所收集了它们到达下游监测点 A 的时间 t（h）的相关数据，并制作如下不完整统计图和统计表 已知：今年和去年分别有 20 尾“声呐鲟”在放流的 96 小时内到达监测点 A，今年落在 24t48 内的“声呐鲟”比去年多 1 尾，今年落在 48t72 内的数据
9、分别为 49，60， 68，68，71 关于“声呐鲟”到达监测点 A 所用时间 t（h）的统计表 平均数 中位数 众数 方差 去年 64.2 68 73 715.6 今年 56.2 a 68 629.7 （1）请补全频数分布直方图，并根据以上信息填空：a ； （2）中华鲟到达海洋的时间越快，说明它从长江到海洋的适应情况就越好，请根据上述 信息，选择一个统计量说明去年和今年中哪一年中华鲟从长江到海洋的适应情况更好； （3）去年和今年该放流点共放流 1300 尾中华鲟，其中“声呐鲟”共有 50 尾，请估计今 年和去年在放流 72 小时内共有多少尾中华鲟通过监测站 A 22 （9 分）为了备战初三物
10、理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物 理、化学各有 3 个不同的操作实验题目，物理题目用序号、表示，化学题目用 字母 a、b、c 表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定， 第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目 第 6 页（共 28 页） （1）小李同学抽到物理实验题目这是一个 事件（填“必然” 、 “不可能”或“随 机” ） （2）小张同学对物理的、和化学的 c 号实验准备得较好，请用画树形图（或列表） 的方法，求他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率 23 （12 分）如图，PA、PB 分别与O 相切于点 A、B，点 M 在
11、PB 上，且 OMAP，MN AP，垂足为 N （1）求证：OMAN； （2）若O 的半径 R3，PA9，求 OM 的长 24 （12 分）已知二次函数 yx2+2x+a2 的图象和 x 轴有两个交点 （1）求实数 a 的取值范围； （2）在（1）的前提下，a 取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标 25 （13 分）已知在菱形 ABCD 中，AB4，BAD120，点 P 是直线 AB 上任意一点， 联结 PC在PCD 内部作射线 CQ 与对角线 BD 交于点 Q（与 B、D 不重合） ，且PCQ 30 （1）如图，当点 P 在边 AB 上时，如果 BP3，求线段 PC 的长； （2）当
12、点 P 在射线 BA 上时，设 BPx，CQy，求 y 关于 x 的函数解析式及定义域； （3）联结 PQ，直线 PQ 与直线 BC 交于点 E，如果QCE 与BCP 相似，求线段 BP 的 长 26 （13 分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点 到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点” 如图 1，ABC 中， 第 7 页（共 28 页） 点 D 是 BC 边上一点，连结 AD，若 AD2BDCD，则称点 D 是ABC 中 BC 边上的“好 点” （1）如图 2，ABC 的顶点是 43 网格图的格点，请仅用直尺画出 AB 边上的一个“好 点
13、” （2）ABC 中，BC9，tanB= 4 3，tanC= 2 3，点 D 是 BC 边上的“好点” ，求线段 BD 的 长 （3）如图 3，ABC 是O 的内接三角形，OHAB 于点 H，连结 CH 并延长交O 于 点 D 求证：点 H 是BCD 中 CD 边上的“好点” 若O 的半径为 9，ABD90，OH6，请直接写出 的值 第 8 页（共 28 页） 2020 年江苏省南通市中考数学模拟试卷（年江苏省南通市中考数学模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）a，b
14、是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把 a，a，b，b 按 照从小到大的顺序排列（ ） Abaab Babab Cbaab Dbbaa 【解答】解：观察数轴可知：b0a，且 b 的绝对值大于 a 的绝对值 在 b 和a 两个正数中， ab； 在 a 和b 两个负数中， 绝对值大的反而小， 则ba 因此，baab 故选：C 2 （3 分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A3cm，4cm，8cm B8cm，7cm，15cm C13cm，12cm，20cm D5cm，5cm，11cm 【解答】解：A、3+48，不能组成三角形； B、8+715，不能组成三角形
15、； C、13+1220，能够组成三角形； D、5+511，不能组成三角形 故选：C 3 （3 分）已知某细菌直径长约 0.0000152 米，那么该细菌的直径长用科学记数法可表示为 （ ） A152105米 B1.5210 5 米 C1.52105米 D1.5210 4 米 【解答】解：0.00001521.5210 5 故选：B 4 （3 分）如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图） ，这个几何体的表面能展 开成下面的哪个平面图形？（ ） 第 9 页（共 28 页） A B C D 【解答】解：主视图和左视图都是长方形， 此几何体为柱体， 俯视图是一个圆， 此几何体为圆柱， 因此图
16、A 是圆柱的展开图 故选：A 5 （3 分）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A5x24x2 B （x1） （5x1）5x2 C4x25x+10 D （x4）20 【解答】解：A、原方程可变形为 5x24x+20， （4）2452240， 方程 5x24x2 无实数根； B、原方程可变形为 6x10， 方程（x1） （5x1）5x2只有一个实数根； C、（5）244190， 方程 4x25x+10 有两个不相等的实数根； D、（x4）20， x1x24， 方程（x4）20 有两个相等的实数根 第 10 页（共 28 页） 故选：C 6 （3 分）下列计算中正确的是（ ） Aa2+b3
17、2a5 Ba4aa4 Ca2a4a8 D （a2）3a6 【解答】解：A、不是同类项不能合并，故 A 错误； B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 B 错误； C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 C 错误； D、积的乘方等于乘方的积，故 D 正确； 故选：D 7 （3 分）如图，在 54 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 l，ABC 的顶点都在 这些小正方形的顶点上，则 cosBAC 的值为（ ） A4 3 B3 4 C3 5 D4 5 【解答】解：过点 C 作 CDAB 于点 D， AD3，CD4， 由勾股定理可知：AC5， cosBAC= = 3 5， 故选：C 8 （3 分）
18、若不等式组 23 6 无解，那么 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm2 【解答】解： 23 6 第 11 页（共 28 页） 由得，x2， 由得，xm， 又因为不等式组无解， 所以根据“大大小小解不了”原则， m2故选：D 9 （3 分）如图，把长方形纸片 ABCD 折叠，使顶点 A 与顶点 C 重合在一起，EF 为折痕若 AB9，BC3，试求以折痕 EF 为边长的正方形面积（ ） A11 B10 C9 D16 【解答】解：如图， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，DB90 根据折叠的性质，有 HCAD，HD HCBC，HB 又HCE+ECF90，BCF+ECF90， H
19、CEBCF 在EHC 和FBC 中， = = = EHCFBC， BFHEDE， 设 BFEHDEx， 第 12 页（共 28 页） 则 AFCF9x， 在 RtBCF 中，由 BF2+BC2CF2可得 x2+32（9x）2， 解得：x4，即 DEEHBF4， 则 AGDEEHBF4， GFABAGBF9441， EF2EG2+GF232+1210， 故选：B 10 （3 分）将反比例函数 y= 4 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 30，得到如图的新曲线， 与过点 A（3，33） ，B（3 2 3， 3 2）的直线相交于点 C、D，则OCD 的面积为（ ） A8 B3 C23 D3 2 3
20、【解答】解：连接 OA、OB，过点 A、B，分别作 AMx 轴，BNx 轴，垂足为 M、N， 点 A（3，33） ，B（3 2 3， 3 2） ， OM3，AM33，BN= 3 2，ON= 3 23， OA= 9 + 27 =6，OB=9 4 + 27 4 =3， tanAOM= = 3， AOM60， 同理，BON30， 因此，旋转前点 A 所对应的点 A（0，6） ，点 B 所对应的点 B（3，0） ， 设直线 AB的关系式为 ykx+b，故有， = 6 3 + = 0，解得，k2，b6， 直线 AB的关系式为 y2x+6， 第 13 页（共 28 页） 由题意得， = 2 + 6 = 4
21、 ，解得1 = 1 1= 4， 2= 2 2= 2， 因此，点 C、D 在旋转前对应点的坐标为 C（1，4） ，D（2，2） ，如图 2 所示， 过点 C、D，分别作 CPx 轴，DQx 轴，垂足为 P、Q， 则，CP4，OP1，DQ2，OQ2， SCODSCODS梯形CPQD= 1 2（2+4）（21）3， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 29 分）分） 11 （3 分）若 x，y 为有理数，且2 1 + 1 2 + = 4，则 xy 的值为 2 【解答】解：x，y 为有理数，且2 1 + 1 2 + = 4， 2x10，y4， 则 x= 1 2， 故 xy4
22、1 2 =2 故答案为：2 12 （3 分）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于 O，则AOC+DOB 第 14 页（共 28 页） 180 【解答】解：设AODa，AOC90+a，BOD90a， 所以AOC+BOD90+a+90a180 故答案为：180 13 （3 分）扇形的圆心角是 120，面积是 3cm2，则扇形的弧长是 2 cm，将此扇形 卷成一个圆锥，则底面圆的半径为 1 cm 【解答】解：设扇形的半径是 rcm，则120 2 360 =3，解得：r3， 设扇形的弧长是 l，则1 2 3l3，解得：l2（cm） ， 将此扇形卷成一个圆锥，设底面圆的半径为 Rcm，则 2R
23、2，解得 R1， 故答案为 2，1 14 （4 分） 如图， 某测量小组为了测量山 BC 的高度， 在地面 A 处测得山顶 B 的仰角 45， 然后沿着坡度为 1：3的坡面 AD 走了 200 米达到 D 处，此时在 D 处测得山顶 B 的仰角 为 60，则山高 BC （100+1003） 米（结果保留根号） 【解答】解：作 DFAC 于 F DF：AF1：3，AD200 米， tanDAF= 3 3 ， DAF30， DF= 1 2AD= 1 2 200100（米） ， DECBCADFC90， 第 15 页（共 28 页） 四边形 DECF 是矩形， ECDF100（米） ， BAC45，
24、BCAC， ABC45， BDE60，DEBC， DBE90BDE906030， ABDABCDBE453015，BADBAC14530 15， ABDBAD， ADBD200（米） ， 在 RtBDE 中，sinBDE= ， BEBDsinBDE200 3 2 =1003（米） ， BCBE+EC100+1003（米） ； 故答案为： （100+1003） 15 （4 分）如图，OA 和 BA 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数的图象，图中 s 和 t 分别表示路程和时间，根据图象判定快者比慢者每秒多跑 1.5 米 【解答】解：如图所示：快者的速度为：6488（m/s） ， 慢者的速度为：
25、 （6412）86.5（m/s） ， 86.51.5（米） ， 第 16 页（共 28 页） 所以快者比慢者每秒多跑 1.5 米 故答案为：1.5 16 （4 分）已知二次函数 yx2bx（b 为常数） ，当 2x5 时，函数 y 有最小值1，则 b 的值为 5 2 【解答】解：二次函数 yx2bx（x 2） 22 4 ，当 2x5 时，函数 y 有最小值 1， 当 5 2时，x5 时取得最小值，5 25b1，得 b=26 5 （舍去） ， 当 2 2 5 时，x= 2时取得最小值， 2 4 = 1，得 b12（舍去） ，b22（舍去） ， 当 2 2 时，x2 时取得最小值，222b1，得
26、b= 5 2， 由上可得，b 的值是5 2， 故答案为：5 2 17 （4 分）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作 RtABC，使其斜边 ABc，一条直角边 BCa 已知线段 a，c 如图 小芸的作法如下： 取 ABc，作 AB 的垂直平分线交 AB 于点 O； 以点 O 为圆心，OB 长为半径画圆； 以点 B 为圆心，a 长为半径画弧，与O 交于点 C； 连接 BC，AC 则 RtABC 即为所求 老师说： “小芸的作法正确 ” 请回答：小芸的作法中判断ACB 是直角的依据是 直径所对的圆周角为直角 第 17 页（共 28 页） 【解答】解：小芸的作法中判断ACB
27、是直角的依据是直径所对的圆周角为直角 故答案为直径所对的圆周角为直角 18 （4 分）在 RtABC 中，C90，tanA= 5 12，周长为 18，则 SABC 54 5 【解答】解：设 RtABC 中，两直角边为 a、b，斜边为 c， 由 tanA= 5 12，得 a5x，b12x 由勾股定理，得 c= 2+ 2=13x 由三角形的周长，得 5x+12x+13x18， 解得 x= 3 5， 则 a3，b= 36 5 SABC= 1 2ab= 1 2 3 36 5 = 54 5 ， 故答案为54 5 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 91 分）分） 19 （12 分） （1
28、）计算：12+20200(1 2) 1 + 8 3 ； （2）化简2 2 (1 2 ) 【解答】解： （1）12+20200(1 2) 1 + 8 3 1+12+2 0； （2）2 2 (1 2 ) = 2 2 2 = 2 2 2 第 18 页（共 28 页） = 1 20 （10 分）某电器超市销售每台进价 160 元、120 元的 A、B 两种型号的电风扇，如表是 近两周的销售情况 （进价、销价保持不变，利润销售收入进货成本） 销售 时段 销售量 销售 收入 A 型号 B 型号 第一周 3 台 4 台 1200 元 第二周 5 台 6 台 1900 元 求 A、B 两种型号的电风扇的销售单
29、价？ 若超市准备用不多于 7500 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 50 台求：A 种型 号的电风扇最多能采购多少台？ 在的条件下，超市销售完这 50 台电风扇能否实现利润超过 1850 元？若能，请给出 相应的采购方案，若不能，请说明理由 在的条件，超市销售完这 50 台风扇能否实现利润超过 1880 元？说明理由 【解答】解：设 A、B 两种型号的电风扇分别为 x 元和 y 元，根据题意得 3 + 4 = 1200 5 + 6 = 1900 解得 = 200 = 150 答：求 A、B 两种型号的电风扇的销售单价分别为 200 元/台和 150 元/台 设 A 型号电风扇有 x 台，则
30、 B 型（50x）台 由题意得 160x+120（50x）7500 解得：x37.5 答：A 种型号的电风扇最多能采购 37 台 能 设超市销售利润为 W，则设 A 型号电风扇有 x 台，则 B 型（50x）台 则 W（200160）x+（150120） （50x）10x+1500 当超市销售完这 50 台电风扇能实现利润超过 1850 元时 10x+15001850 第 19 页（共 28 页） 解得 x35 由x37.5 x 为整数 x36，37 则有 2 种采购方案分别为 A 型 36 台、B 型 14 台或 A 型 37 台、B 型 13 台 不能 由 W10x+1500，x37.5
31、当 W 随 x 的增大而增大 则当 x37 时，W 最大18701880 超市销售完这 50 台风扇不能实现利润超过 1880 元 21 （10 分）中华鲟是国家一级保护动物，它是大型洄游性鱼类，生在长江，长在海洋，受 生态环境的影响，数量逐年下降中华鲟研究所每年定期通过人工养殖放流来增加中华 鲟的数量，每年放流的中华鲟中有少数体内安装了长效声呐标记，便于检测它们从长江 到海洋的适应情况，这部分中华鲟简称为“声呐鲟” ，研究所收集了它们到达下游监测点 A 的时间 t（h）的相关数据，并制作如下不完整统计图和统计表 已知：今年和去年分别有 20 尾“声呐鲟”在放流的 96 小时内到达监测点 A，
32、今年落在 24t48 内的“声呐鲟”比去年多 1 尾，今年落在 48t72 内的数据分别为 49，60， 68，68，71 关于“声呐鲟”到达监测点 A 所用时间 t（h）的统计表 平均数 中位数 众数 方差 去年 64.2 68 73 715.6 今年 56.2 a 68 629.7 第 20 页（共 28 页） （1）请补全频数分布直方图，并根据以上信息填空：a 64 ； （2）中华鲟到达海洋的时间越快，说明它从长江到海洋的适应情况就越好，请根据上述 信息，选择一个统计量说明去年和今年中哪一年中华鲟从长江到海洋的适应情况更好； （3）去年和今年该放流点共放流 1300 尾中华鲟，其中“声呐
33、鲟”共有 50 尾，请估计今 年和去年在放流 72 小时内共有多少尾中华鲟通过监测站 A 【解答】解： （1）去年落在 48t72 内的数据有 20 72 360 =4（个） ， 今年落在 48t72 内的数据为 5， 则今年 24t48 内的“声呐鲟”数量为 20（5+5+7）3， 补全图形如下： 今年“声呐鲟”到达下游监测点时间的第 10、11 个数据为 60、68， a= 60+68 2 =64， 故答案为：64 （2）选择平均数， 由表可知，去年“声呐鲟”到达下游监测点的平均时间为 64.2 小时，而今年“声呐鲟” 到达下游监测点的平均时间为 56.2 小时，缩短了 8 小时， 所以今
34、年“声呐鲟”从长江到海洋的适应情况更好（答案不唯一，合理即可） （3） 去年和今年在放流 72小时内中华鲟通过监测站A 的数量为1300 （145%） +1300 207 20 =715+8451560（尾） 22 （9 分）为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物 理、化学各有 3 个不同的操作实验题目，物理题目用序号、表示，化学题目用 第 21 页（共 28 页） 字母 a、b、c 表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定， 第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目 （1） 小李同学抽到物理实验题目这是一个 随机 事件 （填
35、 “必然” 、 “不可能” 或 “随 机” ） （2）小张同学对物理的、和化学的 c 号实验准备得较好，请用画树形图（或列表） 的方法，求他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率 【解答】解： （1）由题意可知， 小李同学抽到物理实验题目这是一个随机事件， 故答案为：随机； （2）树状图如下图所示： 则 P（同时抽到两科都准备得较好）= 2 9 23 （12 分）如图，PA、PB 分别与O 相切于点 A、B，点 M 在 PB 上，且 OMAP，MN AP，垂足为 N （1）求证：OMAN； （2）若O 的半径 R3，PA9，求 OM 的长 【解答】 （1）证明：如图，连接 OA，则 OAAP
36、， MNAP， MNOA， OMAP， 四边形 ANMO 是矩形， OMAN； 第 22 页（共 28 页） （2）解：连接 OB，则 OBBP OAMN，OAOB，OMAP OBMN，OMBNPM RtOBMRtMNP， OMMP 设 OMx，则 NP9x， 在 RtMNP 中，有 x232+（9x）2 x5，即 OM5 24 （12 分）已知二次函数 yx2+2x+a2 的图象和 x 轴有两个交点 （1）求实数 a 的取值范围； （2）在（1）的前提下，a 取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标 【解答】解： （1）根二次函数 yx2+2x+a2 的图象和 x 轴有两个交点， 224
37、1（a2）0， 解得：a3； （2）由题意，当 a2 时，函数为 yx2+2x（x+1）21， 图象的顶点坐标为（1，1） 25 （13 分）已知在菱形 ABCD 中，AB4，BAD120，点 P 是直线 AB 上任意一点， 联结 PC在PCD 内部作射线 CQ 与对角线 BD 交于点 Q（与 B、D 不重合） ，且PCQ 30 （1）如图，当点 P 在边 AB 上时，如果 BP3，求线段 PC 的长； （2）当点 P 在射线 BA 上时，设 BPx，CQy，求 y 关于 x 的函数解析式及定义域； （3）联结 PQ，直线 PQ 与直线 BC 交于点 E，如果QCE 与BCP 相似，求线段 B
38、P 的 长 第 23 页（共 28 页） 【解答】解： （1）如图 1 中，作 PHBC 于 H 四边形 ABCD 是菱形， ABBC4，ADBC， A+ABC180， A120， PBH60， PB3，PHB90， BHPBcos60= 3 2，PHPBsin60= 33 2 ， CHBCBH4 3 2 = 5 2， PC= 2+ 2=(3 3 2 )2+ (5 2) 2 = 13 （2）如图 1 中，作 PHBC 于 H，连接 PQ，设 PC 交 BD 于 O 四边形 ABCD 是菱形， ABDCBD30， PCQ30， PBOQCO， POBQOC， POBQOC， 第 24 页（共 2
39、8 页） = ， = ， POQBOC， POQBOC， OPQOBC30PCQ， PQCQy， PC= 3y， 在 RtPHB 中，BH= 1 2x，PH= 3 2 x， PC2PH2+CH2， 3y2（ 3 2 x）2+（4 1 2x） 2， y= 3212+48 3 （0x8） （3）如图 2 中，若直线 QP 交直线 BC 于 B 点左侧于 E 此时CQE120， PBC60， PBC 中，不存在角与CQE 相等， 此时QCE 与BCP 不可能相似 如图 3 中，若直线 QP 交直线 BC 于 C 点右侧于 E 第 25 页（共 28 页） 则CQEBQBC+QCP60CBP， PCB
40、E， 只可能BCPQCE75， 作 CFAB 于 F，则 BF2，CF23，PCF45， PFCF23， 此时 PB2+23， 如图 4 中，当点 P 在 AB 的延长线上时， CBE 与CBP 相似， CQECBP120， QCECBP15， 作 CFAB 于 F FCB30， FCB45， BF= 1 2BC2，CFPF23， PB23 2 综上所述，满足条件的 PB 的值为 2+23或 23 2 26 （13 分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点 到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点” 如图 1，ABC 中， 第 26 页（共 28
41、 页） 点 D 是 BC 边上一点，连结 AD，若 AD2BDCD，则称点 D 是ABC 中 BC 边上的“好 点” （1）如图 2，ABC 的顶点是 43 网格图的格点，请仅用直尺画出 AB 边上的一个“好 点” （2）ABC 中，BC9，tanB= 4 3，tanC= 2 3，点 D 是 BC 边上的“好点” ，求线段 BD 的 长 （3）如图 3，ABC 是O 的内接三角形，OHAB 于点 H，连结 CH 并延长交O 于 点 D 求证：点 H 是BCD 中 CD 边上的“好点” 若O 的半径为 9，ABD90，OH6，请直接写出 的值 【解答】解： （1）如答图 1，当 CDAB 或点
42、D 是 AB 的中点是，CD2ADBD； （2）作 AEBC 于点 E，由 = 4 3， = 2 3可设 AE4x， 则 BE3x，CE6x， BC9x9，x1， BE3，CE6，AE4， 设 DEa， 如答图 2，若点 D 在点 E 左侧， 第 27 页（共 28 页） 由点 D 是 BC 边上的“好点”知，AD2BDCD， a2+42（3a） （6+a） ，即 2a2+3a20， 解得1= 1 2，a22（舍去） ， = 3 = 3 1 2 = 5 2 如答图 3，若点 D 在点 E 右侧， 由点 D 是 BC 边上的“好点”知，AD2BDCD， a2+42（3+a） （6a） ，即 2a
43、23a20， 解得 a12，2= 1 2（舍去） BD3+a3+25 = 5 2或 5 （5）CHABHD，ACHDBH AHCDHB， = ，即 AHBHCHDH， OHAB， AHBH， BH2CHDH 点 H 是BCD 中 CD 边上的“好点” 第 28 页（共 28 页） = 5 21 理由如下：如答图 4，连接 AD，BD， ABD90， AD 是直径， AD18 又OHAB， OHBD 点 O 是线段 AD 的中点， OH 是ABD 的中位线， BD2OH12 在直角ABD 中，由勾股定理知：AB= 2 2= 182 122=65 由垂径定理得到：BH= 1 2AB35 在直角BDH 中，由勾股定理知：DH= 2+ 2= 45 + 144 =321 又由知，BH2CHDH，即 45321CH，则 CH= 521 7 = 521 7 321 = 5 21，即 = 5 21
