1、石嘴山市第三中学高三数学组石嘴山市第三中学高三数学组 张海玲张海玲 20192019年年3 3月月 函数与导数专题复习函数与导数专题复习 关于恒成立问题的求解策略关于恒成立问题的求解策略一、知识背景 函数内容是高中数学的核心函数内容是高中数学的核心内容内容。函数类问题的解决最终。函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用归结为对函数性质、函数思想的应用,而函数与导数中的恒成立而函数与导数中的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。想方法去处理，在近些
2、年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，同时与数列、方程、几何有机结对数函数等函数的性质、图象，同时与数列、方程、几何有机结合起来，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等数学思想合起来，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等数学思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵活方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此性、创造性等方面起到了积极的作用。因此，恒成立问题也成为恒成立问题也成为历年
3、高考的一个热点历年高考的一个热点.二、基础自测二、基础自测的取值范围是则实数恒成立，不等式对任意实数aaxxx24.16,.(A），（6-.B)6.(，C),6.DB0.1ax-.22x已知不等式的取值范围是恒成立，则实）若不等式对任意（的取值范围是恒成立，则实数）若不等式对任意（的取值范围是恒成立，则实数）若不等式对任意（xaaxaRx2,232,221-（）2,2 2,2),(-.,1 ln21)(.42的取值范围求实数上单调递增，在区间若函数aexaxxf1a3.,1xxkx 如果对任意实数 不等式恒成立，则实数k的取值范围是xyO-11xy-10kxy 高中数学学习中常见的恒成立问题的
4、类型及求解策略高中数学学习中常见的恒成立问题的类型及求解策略（一）恒成立问题的类型（一）恒成立问题的类型1.1.一次函数型；给定一次函数一次函数型；给定一次函数上述结论等价于上述结论等价于同理，同理，处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行元变量和参数变量进行“换位换位”思考，往往会使问题降思考，往往会使问题降次、简化。次、简化。)(),0()(xfyabaxxfy若线）可得则根据函数的图像（直内恒有在区间,0)(,xfnm0)(0)(0)(0)(0)(0)nfmfnfaiimfai或（0)(0)(,0)(,nfmfx
5、fnm则有内恒有在区间 2.2.二次函数型；二次函数型；一般地，对于二次函数一般地，对于二次函数 ,有有若二次不等式中若二次不等式中 的取值范围有限制时，则可利用一元的取值范围有限制时，则可利用一元二次方程根的分布去解决问题。二次方程根的分布去解决问题。),0()(2Rxacbxaxxf000)()2(;000)(1aRxxfaRxxf恒成立对恒成立对）（x4 4、对于、对于 型问题，利用数形结合型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理思想转化为函数图象的关系再处理,或者转或者转化为化为 用最值法求解。用最值法求解。maxmin)()(2)()1(xfaaxfxfaaxf恒成立）（；
6、恒成立）)()(xgxf0)()(xgxf3.3.最值制约型最值制约型 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：题的一种处理方法，其一般类型有：（二）恒成立问题的求解策略（二）恒成立问题的求解策略1.1.判别式法判别式法 主要是使用于二次函数型或可转化为二次函数主要是使用于二次函数型或可转化为二次函数型的恒成立问题的求解型的恒成立问题的求解2.2.最值法最值法主要是使用于可以通过直接求最值能解决的恒主要是使用于可以通过直接求最值能解决的恒成立问题，有些复杂一点的函数的恒成立问题成立问题，有些复杂一点的函数的恒成立问题的求解要借助于
7、导数来完成。的求解要借助于导数来完成。3.3.分离变量法分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：清晰，操作性更强。一般地有：4.4.数形结合法数形结合法当函数图像易于作出时，通过做出一个或两个函数的图当函数图像易于作出时，通过做出一个或两个函数的图像，数形结合解决所要求解的恒成立问题像，数形结合解决所要求解的恒
8、成立问题minmax)()()()(2)()()()(1xfagaagxfxfagaagxf为参数）恒成立）（为参数）恒成立）（典型例题讲解典型例题讲解例例1:1:（20192019年宁夏卷理科第年宁夏卷理科第6 6题）已知题）已知 则使得则使得 都成立的都成立的 取值范围是（取值范围是（）A.B.C.D.A.B.C.D.,0321aaa)3,2,1(1)-12 ixai（)10(1a，)201a，（)103a，（)2,0(3axB例例2:2:已知函数已知函数（1 1）求函数）求函数 的单调区间；的单调区间；（2 2）若）若 恒成立，试确定实数恒成立，试确定实数 的的取值范围取值范围.()ln
9、1f xx kx)(xf0)(xfk解（解（1 1）函数的定义域为）函数的定义域为kxxf1)(),0(/且，/10()00,1()011()0),)00,()0()010()0),1,)0()0kfxxkfxxkfxkkkxfxfxkfxkkkfx 当时，由得由得所 以的 增 区 间 是（，减 区 间 是（当时，因 为所 以恒 成 立所 以，的 增 区 间 是（，）综 上 可 知：当时，的 增 区 间 是（，减 区 间 是（当时，的 增 区 间 是（，）maxmax(2)10()0(1)10,()00(1)()ln,()0()0ln01kf xfkf xkf xkf xf xkk 解法一：由
10、（）可知，当时，函数在（，）上为增函数而不是恒成立，所以由可知：又恒成立所以即/2/max()0ln10ln1ln1ln(),(),()01()001()01()0,11()(1)1,()01fxxkxxkxxxg xgxxxgxxgxxgxxg xg xgfxk 解法二：令则由得，由得，；由得所以在（）上为增函数，在（，）上为减函数所以所以:()0ln1()ln,()10-1()ln1()01fxxkxg xx h xkxg xxfxk解 法 三数 形 结 合 法令又 过 点（，）函 数的切 线 斜 率 为由 图 可 知：例例3：（20192019年福建卷理科第年福建卷理科第2020题）题）
11、已知函数已知函数 的图像的图像与与 轴交于点轴交于点A A，曲线在点，曲线在点A A处的切线斜率为处的切线斜率为-1.-1.(1)(1)求求 的值及函数的值及函数 的极值；的极值；(2)(2)证明：证明：为常数）aaxexfx()(xf.02xexx时，当ay/1(),()()11,2()2,(2()0,ln 2ln 20,()ln 2()0(.ln 2()(ln 2)2ln 4()xxxxf xeaxfxeafxaaf xex fxexfxxxfxf xxfxf xxf xff x 解：（）由得，又得所以），令得当时，（）为减函数；当时，）增函数所以当时，取得极小值，无极大值2/2(2)()
12、,()21()(ln2)0()(0)100()(0)0,xxxg xexg xexg xf xfg xRgxg xgxe 令则，由（）得）所以在 上单调递增，又，因此，当时，即巩固练习巩固练习1.1.如果对任意实数如果对任意实数 ，不等式，不等式 恒成立，则实数恒成立，则实数 的取值范围是的取值范围是2.2.证明：当时证明：当时3.3.已知函数已知函数 ，若函数，若函数 在在 上是增函数，求实数上是增函数，求实数 的取值范围的取值范围.x0)2(22kkxkxkxexxxln0时，)0(ln1)(axaxxxf)(xf01-k1aa-),1 课时小结：课时小结：2.2.二次函数型二次函数型问题
13、，结合抛物线图像，转化成最值问题，问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，分类讨论分类讨论。4 4、对于对于 型型问题，利用数形结合思想转化为函问题，利用数形结合思想转化为函数图像的关系再处理。数图像的关系再处理。3.3.通过通过分离参数分离参数，将问题转化为，将问题转化为 恒成立，恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。1.1.一次函数型一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。问题，利用一次函数的图像特征求解。)()(xfaxfa或)()(xgxf作业布置作业布置函数与导数专题卷第函数与导数专题卷第7 7题，第题，第2222题及题及20192019年高考题江西卷年高考题江西卷1818欢欢 迎迎 指指 导导
