1、3.7 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理定理定理 正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理内容内容_2R(R为为ABC外外接圆半径接圆半径)a2_，b2_，c2_b2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C【思考探究】【思考探究】在ABC中,sin Asin B是AB的什么条件?提示：充要条件.因为sin Asin B BAbaRbRa223.（2014天津联考)在钝角ABC中，已知AB ，AC1，B30，则ABC的面积是（)A.B.C.D.【解析】由正弦定理得 即 ，sin C .则C60或120，C60时，ABC为直角三角形（舍去)；C120时，A30所以S 13s
2、in 30【答案】B323432343CABBACsinsinCsin32114321434.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为三角形.【解析】由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin（BC)sin2A，所以sin A1，由0Ab，A60或A120.当A60时，C180456075，c 当A120时，C1804512015，c。45sin 2Asin 3，Bsin bAsin a23226Bsin Cbsin 22-6Bsin Cbsin【变式训练】1.在ABC
3、 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且cos Bcos Cb2ac.(1)求角 B 的大小；(2)若 b 13，ac4，求ABC 的面积【解析】(1)由余弦定理知：cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.将上式代入cos Bcos Cb2ac得：a2c2b22ac2aba2b2c2b2ac，整理得：a2c2b2ac.cos Ba2c2b22acac2ac12.B 为三角形的内角，B23.(2)将 b 13，ac4，B23代入 b2a2c22accos B，得 b2(ac)22ac2accos B，13162ac112，ac3.SABC12acsin B3 34.
4、利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状 1.1.三角形形状的判断方向三角形形状的判断方向从三角形的边角关系考虑：是否锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；是否等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等.2.2.常用判断方法常用判断方法（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=这个结论.（1）（2014山东省实验中学诊断)在ABC中，内角A，B，C的
5、对边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，试判断ABC的形状.（2）在ABC中，若（a2b2)sin（AB)（a2b2)sin（AB)，试判断ABC的形状.【解析】（1)由2c22a22b2ab，得a2b2c2 所以cos C 0，所以90C180，即ABC为钝角三角形.ab21abcba222241221-abab（2）（a2b2)sin（AB)（a2b2)sin（AB)，b2sin（AB)sin（AB)a2sin（AB)sin（AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.方法一由正弦定理知a2Rsin A，b2Rs
6、in B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC中，02A2 ，02B8 B.ab（ab)C.6abc12 D.12abc2421216【解析】【解析】因为ABC，所以ACB，C（AB)，所以由已知等式可得sin 2Asin（2B)sin2（AB)即sin 2Asin 2Bsin 2（AB)所以sin（AB)（AB)sin（AB)（AB)sin 2（AB)212121所以2sin（AB)cos（AB)2sin（AB)cos（AB)所以2sin（AB)cos（AB)cos
7、（AB)所以sin Asin Bsin C 由1S2，得1 bcsin A2.由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，所以12R2sin Asin Bsin C2，所以1 2，即2R22，所以bc（bc)abc8R3sin Asin Bsin CR38.【答案】【答案】A2121812142R【解析】根据正弦定理和a2可得（ab)（ab)（cb)c，故得b2c2a2bc，根据余弦定理得cos A ，所以A 根据b2c2a2bc及基本不等式得bc2bca2，即bc4，所以ABC面积的最大值为【答案】212222bcacb332342133(2014全国新课标卷)已知 a
8、，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为_ 4(2014辽宁卷)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ac.已知BABC2，cos B13，b3.求：(1)a和 c 的值；(2)cos(BC)的值【解析】(1)由BABC2 得 cacos B2，又 cos B13，所以 ac6.由余弦定理，得 a2c2b22accos B，又 b3，所以 a2c292213.解ac6，a2c213，得a2，c3，或a3，c2.因为 ac，所以 a3，c2.(2)在ABC 中，sin B 1cos2B11322 23.由正弦定理，得 sin Ccbsin B232 234 29.因为 abc，所以 C 为锐角，因此 cos C 1sin2C14 29279.所以 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C 13792 234 292327.课课 时时 作作 业业
