1、第六节二次函数第六节二次函数基础梳理1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：.(2)顶点式：.(3)交点式：.2.二次函数的图象和性质f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a 0)f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=a(x-h)2+k(a0)解析式f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0=0 0)方程ax2+bx+c=0的解 x1=，x2=_ax2+bx+c0的解集 _ax2+bx+c0的解集 _2ba 2ba 02bxa 无解 x|xx2 x|xx0 R x|x1xx2基础达标1.(必修1P25练习7改编)函数f(x)=(x-1)2-1，x0,2的值域为_
2、2.(必修1P44习题9改编)f(x)=x2+(m+2)x+1是偶函数，则m=_.1.解析：0 x2时，f(x)max=f(0)=f(2)=0，f(x)min=-1，故值域为-1,0-1,02.解析：由f(-x)=f(x)，得m+2=0，则m=-2.-23.f(x)=x2-2ax+3的增区间为4，+)，则a=_.4.二次函数f(x)的图象的顶点为(2,4)且过点(3,0)，则f(x)=_.3.解析：由题意知增区间为a，+)，a=4.44.解析：设f(x)=a(x-2)2+4过(3,0)，故0=a(3-2)2+4，a=-4.f(x)=-4(x-2)2+4=-4x2+16x-12.-4x2+16x
3、-125.(2011扬州中学期中考试)若不等式x2+bx+c0的解集是(-1,2)，则b+c=_.-3解析：由已知条件得解得 ，b+c=-3.1212bc 12bc 经典例题【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试求此二次函数的解析式题型一求二次函数解析式分析：由题目条件知二次函数过(2，-1)，(-1，-1)两点，且知其最大值，所以可应用一般式、顶点式或两根式解题解：方法一：利用二次函数一般式设f(x)=ax2+bx+c(a0)由题意得 解得所求二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7 42114284abcabcacba 447.abc
4、方法二：利用二次函数顶点式设f(x)=a(x-m)2+n(a0)f(2)=f(-1)，抛物线对称轴为x=，m=.又根据题意函数有最大值f(x)max=8，.f(2)=-1，即 ，解得a=-4.221()48=-4x+4x+7.2f xx 21812a x 21()82f xa x1212方法三：利用两根式由已知f(x)+1=0的两根为x1=2，x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0)，即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值f(x)max=8，即 =8，解得a=-4，或a=0(舍去)所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.24214aaaa 如图是一个二次
5、函数y=f(x)的图象(1)写出这个二次函数的零点；(2)求这个二次函数的解析式；(3)当实数k在何范围内变化时，g(x)=f(x)-kx在区间-2,2上是单调函数变式1-1解析：(1)由图可知二次函数的零点为-3，1.(2)设二次函数为y=a(x+3)(x-1)，由点(-1，4)在函数图象上，得a=-1，则y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.(3)g(x)=-x2-2x+3-kx=-x2-(k+2)x+3，开口向下，对称轴为x=-.当-2，即k2时，g(x)在-2,2上单调递减；当-2，即k-6时，g(x)在-2,2上单调递增综上所述，当k-6或k2时，g(x)在区间-2,2上是单
6、调函数 22k 22k 22k【例2】已知f(x)=x2+3x-5，xt，t+1，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式题型二求二次函数最值分析：在对称轴确定的情况下，对区间t，t+1进行讨论解：二次函数的图象的对称轴x=-，(1)当t+1-，即t-时，h(t)=f(t+1)=t2+5t-1；(2)当t-t+1，即-t-时，h(t)=-；(3)当t-时，h(t)=f(t)=t2+3t-5.3()2f 32323232325252294225t+5t-1,t22935(),t4223t+3t-5,t2h t 故已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间0,2上有最小值3，
7、求实数a的值变式2-1【例3】设函数f(x)=ax2-2x+2，对于满足1x0，求实数a的取值范围题型三二次函数的综合应用分析：分a0，a0时,114111411201220416820aaaffafaaa 或或111144301.82aaaaaa或或1111,22aaa或或即12200,;416820faaafa 当时为当a=0时，f(x)=-2x+2，f(1)=0，f(4)=-6，不合题意，综上可得，实数a的取值范围是 .1,2已知函数f(x)=ax2+bx(a0)满足条件：f(-x+5)=f(x-3)，且方程f(x)=x有等根(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(mn)，使
8、f(x)的定义域和值域分别是m，n和3m,3n？如果存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由变式3-1解析：(1)f(x)满足f(-x+5)=f(x-3)，则函数f(x)的图象关于直线x=1对称，故-=1，b=-2a.又f(x)=x有等根，即ax2+(b-1)x=0有等根，则b=1，2baa=，f(x)=x2+x.1212(2)由f(x)=x2+x=(x-1)2+，在区间m，n上有值域3m,3n，则3n，n，故mn，函数f(x)在m，n上为增函数f(m)=3m，且f(n)=3n，m、n是方程f(x)=3x的两个不等根-x2+x=3x，即x2+4x=0，x1=0，x2=-4，mn，m=-4，n=
9、0.12121212161612链接高考1.(2010天津)设函数g(x)=x2-2，(xR)，f(x)=则f(x)的值域为_知识准备：1.会解一元二次不等式；2.熟练求解二次函数的值域；3.理解、掌握分段函数的值域的含义 4,g xxxg xg xx xg x 90(2,)4解析：当xg(x)时，即x0，(x-2)(x+1)0，x2或x2或x(-1)2+(-1)+2=2；当-1x2时，f(x)=x2-x-2，-f(x)0，f(x)的值域为 (2，+)94904，2.(2010全国)直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点，则a的取值范围是_知识准备：1.会画分段函数y=的图象；2.会解一元二次不等式 22,0,0 xxa xxxa x514，解析：y=作出图象，如图所示此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a-，要使y=1与其有四个交点，只需a-1a，1a .542200 xxaxxxax，1414感谢大家观看最新学习可编辑资料
