1、 自然界存在着各式各样的运动自然界存在着各式各样的运动,如刚体如刚体的转动的转动 刚体是一种特殊的质点刚体是一种特殊的质点系，是一个理想的模型，在系，是一个理想的模型，在任何情况下，刚体内任意两任何情况下，刚体内任意两点之间的距离保持不变点之间的距离保持不变。AB 刚体运动时刚体运动时,若其上任意两点连线的方若其上任意两点连线的方位始终不变位始终不变,这种运动称为刚体的平动。平动时刚这种运动称为刚体的平动。平动时刚体上各质点的速度、加速度、轨道均相同，可归结体上各质点的速度、加速度、轨道均相同，可归结为质点运动。为质点运动。ABABAB 刚体上各质点都绕同刚体上各质点都绕同一直线做圆周运动，叫
2、做刚体的一直线做圆周运动，叫做刚体的转动。该直线叫刚体的转动。该直线叫刚体的转轴转轴。：转轴为固定直线的转转轴为固定直线的转动叫做刚体定轴转动。动叫做刚体定轴转动。平动与转动叠加。平动与转动叠加。ivimor转转动动平平面面zi*简化为研究简化为研究转动平面转动平面内的内的 运动运动*用角量作整体描述用角量作整体描述*在轴上选正方向，各角量在轴上选正方向，各角量 均表示为代数量均表示为代数量如何简化？如何简化？OvrR转动转动平面平面vOOrRPv旋转方向旋转方向:tttddlim0方向沿轴方向沿轴rvRrvsin 右手螺旋法则右手螺旋法则方向：沿大小：2iiiiiioiormvmrLL2ii
3、iormL 即即o对对 的角动量：的角动量：imiiiiovmrLo转轴转轴 角速度角速度刚体上任一质点刚体上任一质点转轴与其转动平面交点转轴与其转动平面交点 绕绕 圆周运动半径为圆周运动半径为 imzimoirivimor转动转动平面平面zi：(1)质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不 同的圆周运动；同的圆周运动；(2)各质点的角速度各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。大小相等，且均沿轴向。imoJmrmrLLiiiiiiiizz22iiimrJ22iiiiiizrmvmrLvmrLodd2dddmrvmrLzJmrmrLLzzddd22vmdo
4、rzmrJd21.定义定义iiimrJ2刚体对定轴的刚体对定轴的等于其各质点的质量与该等于其各质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积求和。质点到转轴距离的平方之积求和。若质量连续分布，则若质量连续分布，则mrJd2积分元选取：积分元选取：mdlld,d线元：线密度：SSd,d面元：面密度：VVd,d体元：体密度：刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 J与刚体总质量有关与刚体总质量有关与刚体质量分布有关与刚体质量分布有关与转轴的位置有关与转轴的位置有关1.由长由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过对过A垂直于纸面的轴的转动惯量垂直于纸面的轴的转动惯量ll
5、llAmm2m3m4m5222232)2)(54()2(32mllmmlmmlJiiimrJ22.一长为一长为 的细杆，质量的细杆，质量 均匀分布均匀分布 ，求该杆对垂，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。Lmo解：解：(1)轴过中点轴过中点23332222212188312231dddmLLLLmLLxLmxLmxmxmrJLLxmdx2L2L(2)轴过一端端点轴过一端端点Lmdoxx23022231031dddmLLxLmxLmxmxmrJL解解(1)(1)在环上任在环上任取一质元，其质量取一质元，其质量为为d dm，距
6、离为，距离为R，则该质元对转轴的则该质元对转轴的转动惯量为转动惯量为2ddJRm例例2.192.19设质量为设质量为m，半径为，半径为R的细圆环和均匀圆盘的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量和圆盘的转动惯量.考虑到所有质元到转轴的距离均为考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对，所以细圆环对中心轴的转动惯量为中心轴的转动惯量为222dddmmJJRmRmmR(2)(2)求质量为求质量为m，半径为，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量的圆盘对中心轴的转动惯量2d2d,dd2dmSr rmSr rR 如图2
7、3dd2dJrmrr 3201d2d2RJJrrmR 3.求质量求质量 m,半径半径 R 的球壳对直径的转动惯量的球壳对直径的转动惯量解：解：取离轴线距离相等的点的取离轴线距离相等的点的 集合为积分元集合为积分元24 Rmdsin2d2dRRlrsdsin21ddmsmdsin21dsindd3222mRmRmrJ023232dsin21dmRmRJJoRl ddr4.求质量求质量 m,半径半径 R 的球体对直径的转动惯量的球体对直径的转动惯量解：解：以距中心以距中心 ，厚，厚 的球壳的球壳 为积分元为积分元rrdrrVd4d2334RmVmdd342d2d32dRrmrrmJ234052d2
8、dmRRrmrJJRRorrd2mdJJCO平行轴定理平行轴定理 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对其质心轴的转动如果对其质心轴的转动惯量为惯量为 ，则对任一与则对任一与该轴平行该轴平行，相距为相距为 的的转轴的转动惯量转轴的转动惯量CJmddCOm质量为质量为m，长为长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的JP2221mRmRJP圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量RmO2231)2(mLLmJJc2mdJJc2121mLJcO1d=L/2O1O2O2 3-2 力矩、转动惯量、转动定律力矩、转动惯量、转动定律 对同轴的转动惯量才具有可加减性。对同轴的转动惯量才具有可加减性。CDdm2mdJ
9、JCDyxzJJJyxzoCA4LmBozL求长求长 L、质量质量 m 的均匀杆对的均匀杆对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量243422487ddmLllLmmlJLLz解一：解一：解二：解二：2224874343314431mLLmLmJJJoBoAz解三：解三：222248741214mLLmmLLmJJCzOrmzFtFnFrFMsinmrmaFttM （1）单个质点单个质点 与转轴刚性连接与转轴刚性连接m2mrM 2tmrrFM2iejjjjrmMM（2）刚体刚体 质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFi外外力矩力矩内内力矩力矩OzjmjrjFejFi2iejjjjjjrmMM0
10、jijjiijMMM 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合合外力矩外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.)rmMjjjj2e(转动定律转动定律JM 2jjjrmJ定义转动惯量定义转动惯量OzjmjrjFejFimrJd2 3-2 力矩、转动惯量、转动定律力矩、转动惯量、转动定律讨论讨论JM（2）tJJMdd（3）（1）不变不变M，0转动定律转动定律JM 比较比较JMamFz外MtLdd由由JmrLiiiz2JtJJttLMzzdd)(dddd得得J是物体转动惯性的量度。是物体转动惯性的量度。m是物体平动惯性的量度。是物体平动惯性的量度
11、。改变物体平动状态的原因改变物体平动状态的原因zMF改变物体绕轴转动状态的原因改变物体绕轴转动状态的原因 例例1 质量为质量为mA的物体的物体A 静止在光滑水静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为索跨过一半径为R、质量为质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为并系在另一质量为mB 的物体的物体B上，上，B 竖竖直悬挂直悬挂滑轮与绳索间无滑动，滑轮与绳索间无滑动，且滑轮与且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计轴承间的摩擦力可略去不计(1)两物体的两物体的线加速度为多少？线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的水平和竖直两段绳索的张力
12、各为多少？张力各为多少？(2)物体物体 B 从静止落下距从静止落下距离离 y 时，其速率是多少时，其速率是多少？解解 (1)用用隔离法物隔离法物体分别对各物作受力分体分别对各物作受力分析，取坐标如图析，取坐标如图ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCFamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra yOT2FBPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm 3-2 力矩、转动惯量、转动定律力矩、转动惯量、转动定律2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF解得：解得：3-2 力矩、转动惯量、转动定律力
13、矩、转动惯量、转动定律如令如令 ，可得，可得BABAT2T1mmgmmFF （2）B由静止出发作匀加速直线运动，由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率下落的速率2/22CBABmmmgymayv0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF 3-2 力矩、转动惯量、转动定律力矩、转动惯量、转动定律稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转转动试计算细杆转动到与竖直线成动试计算细杆转动到与竖直线成 角时角时的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例2一长为一长为 l、
14、质量质量为为 m 匀质细杆竖直放置，匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链其下端与一固定铰链O相相接，并可绕其转动接，并可绕其转动由于由于此竖直放置的细杆处于非此竖直放置的细杆处于非m,lOmg 3-2 力矩、转动惯量、转动定律力矩、转动惯量、转动定律 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ 得得sin23lgNFm,lOmg 3-2 力矩、转动惯量、转动定律力矩、转动惯量、转动定律ttdddddd由由角加速度的定义角加速度的定义lgdsin23d代入代入初始条件积分得初始条件积分得)co
15、s1(3lgddNFm,lOmg 3-2 力矩、转动惯量、转动定律力矩、转动惯量、转动定律例例2.212.21转动着的飞轮的转动惯量为转动着的飞轮的转动惯量为J，在，在t0时角时角速度为速度为 .此后飞轮经历制动过程，阻力矩此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大的大小与角速度小与角速度的平方成正比，比例系数为的平方成正比，比例系数为k(k为大于为大于零的常数零的常数)，当，当 时，飞轮的角加速度是多少？时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？0013解解(1)(1)，故由转动定律有，故由转动定律有 2Mk 22kkJJ 即013209kJ(2)
16、(2)ddMJJt2ddkJtt t0 0时，时，两边积分，两边积分0001t320dkdtJ 013故当故当 时，制动经历的时间为时，制动经历的时间为02.Itkm1m2mr2m1mrm：0,021rmmm：?t：先求角加速度先求角加速度：在地面参考系中，分别以在地面参考系中，分别以 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律 和刚体定轴转动定律建立方程。和刚体定轴转动定律建立方程。mmm,211T1agm1以向下为正方向以向下为正方向2a2Tgm2以向上为正方向以向上为正方向思考：思考：?2121TTaa )1(:11111amTgmm)2(:2222
17、2amgmTmr+1T2TNmg以顺时针方向为正方向以顺时针方向为正方向,2121TTaaa绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：)4(ra 解得：解得：rmmmgmm212121rmmmgtmmt2121210)3(21221mrJrTrTm：滑轮1mm2mr2m1m2m1momr解：解：在地面参考系中，选取在地面参考系中，选取 、和滑轮为研究对和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：1m2m2m2Tagm2gm2N1m1Tagm1o1T2TxNyN向里向里+amTgm111amgmT22
18、222121)(mrrTTra.质量为质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长为长为 l 的的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差为当圆盘两侧绳长差为 s 时，绳的加速度的大小。时，绳的加速度的大小。：在地面参考系中，建立如图在地面参考系中，建立如图 x 坐坐标，设滑轮半径为标，设滑轮半径为 r 有：有：ox1x2sMABABrxmrxxBBABAAl21,2BB1AAxlmmxlmmrlmmAB
19、21xxsox1x2sMABABrxmCBCA用隔离法列方程用隔离法列方程:(以逆时针方向为正以逆时针方向为正)T1JT2r.CAT1mAg.CBT2mBg2221rmMrJJJABABMamTgmAA1JrTrT21amgmTBB221xxsra又：解得：解得：lMmmgsa)21(刚体在转动时的动能，应该是组成刚体的各个质点刚体在转动时的动能，应该是组成刚体的各个质点的动能之和。设刚体中第的动能之和。设刚体中第i个质元的质量为个质元的质量为 ，速度为速度为 ，则该质点的动能为，则该质点的动能为imiv221iiKivmE2222121iiiiiiiKiKrmvmEE221JEK221mvE
20、KOdidsPiriF如图所示，元功为如图所示，元功为iiidsFdAcos又因又因drdsii,sincos对对转轴转轴O的力矩为的力矩为iFsiniiiFrM dMdrFdAiiiisin设设刚体从刚体从 转到转到 ，则力，则力 作的功为作的功为0iF0dMAii再对再对各个外力的功求和，就可以得到所有外力作各个外力的功求和，就可以得到所有外力作的总功为的总功为iiiiiiMddMdMAA000)(0MdAxxFdxA03lAO,6mgldmgldlmgdAOFdMo3sin32cos32cos)(606.coFFA 3-4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定
21、理根据刚体的定轴转动定律，有根据刚体的定轴转动定律，有JM)21(2JddJddtdJdJMddA2122212121JJMdA2122212121mvmvFdxAxxJSFFrMMdAEK490598转转轴间的摩擦不计轴间的摩擦不计,试求试求:当绳端下降当绳端下降5m时时,飞轮所获得的飞轮所获得的动能动能.解解:2.mkgroFmhmhhmgghmEiiciiiiiiPcPmghE 其中其中 是刚体的质心到势能零点的距离。是刚体的质心到势能零点的距离。chyxih.cchmoim 例例3 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率面的轴以角速率 作匀速转动放上唱片
22、作匀速转动放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动设唱片的半径为动设唱片的半径为R，质量为质量为m，它与转它与转盘间的摩擦系数为盘间的摩擦系数为 ，求：，求：(1)唱片与转盘唱片与转盘间的摩擦力矩；间的摩擦力矩；(2)唱片达到角速度唱片达到角速度 时需时需要多长时间；要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？动力矩做了多少功？RrdrdllrRmgfddd2fdo 解解 (1)如图取面如图取面积元积元ds=drdl，该面元该面元所受的摩擦力为所受的摩擦力为此力对点此力对点o的力矩为的力矩为lrrRmgfrddd2
23、于是，在宽为于是，在宽为dr的的圆环上，唱片所受的摩圆环上，唱片所受的摩擦力矩为擦力矩为)2(dd2rrrRmgMRmgrrRmgM32d2R022rrRmgd222Rrdrdlfdo (3)由由 可得在可得在 0 到到 t 的时间内，转过的角度为的时间内，转过的角度为 (2)由转动定律求由转动定律求 ，(唱片唱片J=mR2/2)RgJM34gRt43gR832（作匀加速转动）（作匀加速转动）2202驱动力矩做的功为驱动力矩做的功为2241mRMA由由 可求得可求得t0 例例2 一长为一长为 l ,质量为质量为m 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由转动一自由转动一质量为质量为m、速率为、速率为v
24、的子弹射的子弹射入竿内距支点为入竿内距支点为a 处，使竿的处，使竿的偏转角为偏转角为30o.问子弹的初速问子弹的初速率为多少率为多少?解解子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒，)31(22malmamvoamv302233mamlamvoamv30222)31(21malm)30cos1(2olgm)30cos1(omga 射入竿后，以子弹、细射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，杆和地球为系统，E E=常量常量mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v解得：解得：例例2.222.22如图所示，一根质量为如图所示，一根质量为m，长为，长为l的均匀细棒的均匀
25、细棒OA，可绕固定点，可绕固定点O在竖直平面内转动在竖直平面内转动.今使棒从水平今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成3030角时角时中心点中心点C和端点和端点A的速度的速度.60mgcos d()24GccllAmgmg hh 末初222600mgcos dIII2222llll 解解：棒受力如图：棒受力如图则中心点C和端点A的速度分别为1624clglv2143GlAmgIml，32gl162Alglv：如图所示，：如图所示，一圆盘质量为一圆盘质量为m；半径为半径为R；绳长绳长为为 l；夹角为夹角为；lRm：竖直时圆盘的质心速度。：竖直时圆
26、盘的质心速度。：因机械能守恒，故：因机械能守恒，故221)cos1)(cmvRlmg)cos1)(2Rlgvc：应把圆盘视为一个绕：应把圆盘视为一个绕O点旋转的刚体。应点旋转的刚体。应用平行轴定理，得圆盘对用平行轴定理，得圆盘对O点的转动惯量为点的转动惯量为lRmO22)(2RlmmRJo由由机械能守恒可得：机械能守恒可得：221)cos1)(oJRlmg求求出出 ，再由，再由 得解。得解。)(lRvc：把圆盘的运动视为质心绕：把圆盘的运动视为质心绕O点的摆动和圆点的摆动和圆盘绕质心的转动的合成。由机械能守恒得：盘绕质心的转动的合成。由机械能守恒得：222121)cos1)(ccmvJRlmg
27、其中其中22mRJ 再再由由 可得解。可得解。)(lRvclRmOmg：把圆盘下落的过程：把圆盘下落的过程视为力矩做功的过程。由功视为力矩做功的过程。由功能原理可得：能原理可得：20021sin)(oJdlRmgMdA求求出出 ，再由，再由 得解。得解。)(lRvc：如图所示，：如图所示，均匀圆柱，均匀圆柱，m,R，初始静止，高度初始静止，高度h，无滑动。无滑动。：角速度：角速度。Rm,h：圆柱的运动可看成是圆柱绕中轴的转动与中轴：圆柱的运动可看成是圆柱绕中轴的转动与中轴的平动的合成。由机械能守恒得：的平动的合成。由机械能守恒得：222121)(ccJmvRhmg再再由由 和和 可求解。可求解
28、。221mRJcRvcdtdLdtJddtdJJM)(000LLJJMdttt000PPmvmvFdttt：当外力对定轴的合外力矩为零：当外力对定轴的合外力矩为零时，刚体对该轴的角动量将保持不变。时，刚体对该轴的角动量将保持不变。常量时，当JLMzz 0 在日常生活中，我们到处都可以看到这样在日常生活中，我们到处都可以看到这样的例子。如直升飞机为何需要双螺旋桨、体操的例子。如直升飞机为何需要双螺旋桨、体操运动员和跳水运动员为何都是小个子、滑冰运运动员和跳水运动员为何都是小个子、滑冰运动员旋转的舞姿等等。动员旋转的舞姿等等。220)4(1214lmmllmv问题：问题：虫与杆碰撞，虫与杆碰撞，角
29、动量守恒？角动量守恒？)4/(lmgMMex虫重力exinMMJmrv 022121mrmlJJJ虫杆P129小球1lv7/120对对O点：外力矩点：外力矩虫与杆碰撞，角动量守恒虫与杆碰撞，角动量守恒vo细细绳绳 两类冲击问题两类冲击问题杆杆ov问题：问题：冲击（碰撞）动量是否一定守恒？冲击（碰撞）动量是否一定守恒？设子弹嵌入物体内系统：子弹系统：子弹+沙袋沙袋*动量守恒（水平）动量守恒（水平）角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒.vo子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计（1）、）、子弹子弹和和物体物体（细绳或弹簧相连）细绳或弹簧相连）冲击冲击1P2PT0:exixF水
30、平方向0exiMO：对冲击时摩擦力要作功vmmvm)(沙弹弹2)(lmmJvlm沙弹弹弹簧细绳系统：子弹系统：子弹+杆杆机械能机械能不不守恒守恒角动量守恒；角动量守恒；子子弹弹击击入入杆杆ov（2）、）、子弹和杆冲击子弹和杆冲击1P2PyNxN*动量动量不不守恒（水平）守恒（水平）0:xexixNF水平方向（不能忽略）且：冲击xNvmmvm)(杆弹弹)31(22lmlmJvlm弹杆弹 例例2 一长为一长为 l ,质量为质量为m 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由转动一自由转动一质量为质量为m、速率为、速率为v 的子弹射的子弹射入竿内距支点为入竿内距支点为a 处，使竿的处，使竿的偏转角为偏转角为30
31、0.问问子弹的初速子弹的初速率率为多少为多少?oamv30 摆动：杆、弹和地球摆动：杆、弹和地球系统系统机械能守恒机械能守恒 冲击：子弹与杆冲击：子弹与杆系统只有系统只有角动量守恒角动量守恒；（动量不守恒）（动量不守恒）0 xFoamv解解)31(22malm2233malmamv冲击：冲击：子弹子弹+竿竿系统系统 角动量守恒角动量守恒mavamvL0190sin子弹子弹（质点）：（质点）：amv21LL)(2子弹杆JJJL转动：转动：2maJ弹231lmJ杆prL质点：30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v0)31(21222malm)30cos22(llgm)30cos(a
32、amg 摆动：子弹摆动：子弹+细杆细杆+地球地球系统，系统，机械能守恒机械能守恒oa30pkEE221JEkhgmhmg小结：小结：21222121d21JJMW2、刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理1、力矩的功力矩的功21dMW：miiimrrmJd22 质点质点vmrLJLz0;iizMFrMFrM内定轴刚体定轴刚体 质点质点21dddttLtMtLM质点系质点系定轴刚体定轴刚体21dddttLtMtLM外外JMz21dttzzLtM恒量恒矢量外zzLMLM00.一半径为一半径为R、质量为质量为 M 的转台，可绕通过其中心的的转台，可绕通过其中心的竖直轴转动竖直轴转动,质量为
33、质量为 m 的人站在转台边缘，最初人和的人站在转台边缘，最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计阻力不计阻力)，相对，相对于地面，人和台各转了多少角度？于地面，人和台各转了多少角度？RMm选地面为参考系，设对转轴选地面为参考系，设对转轴人：人：J J,;台：台：J J ,：系统对转轴合外力矩为零，系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：角动量守恒。以向上为正：2212MRJmRJ0JJMm2设人沿转台边缘跑一周的时间为设人沿转台边缘跑一周的时间为 t t：2dd00tttt2d2d00tttMmt人相对地面转过的角度：人相对地面转过的角度：MmMt2
34、2dt0台相对地面转过的角度：台相对地面转过的角度：Mmmtt24d0.已知：两平行圆柱在水平面内转动，已知：两平行圆柱在水平面内转动，求：接触且无相对滑动时求：接触且无相对滑动时202,2101,1,;,RmRm?21.o1m1R1.o2R2m21020o1.o2.12解一：解一：因摩擦力为内力，外力过轴因摩擦力为内力，外力过轴，外力矩为零，则：，外力矩为零，则：J1+J2 系统角动量守恒系统角动量守恒 ，以顺时针方向为正：，以顺时针方向为正：12211202101JJJJ接触点无相对滑动：接触点无相对滑动：22211RR又：又：3212111RmJ 4212222RmJ 联立联立1、2、3
35、、4式求解，对不对？式求解，对不对？o1.o2.12问题问题：(1)式中各角量是否对同轴而言？式中各角量是否对同轴而言？(2)J1+J2 系统角动量是否守恒？系统角动量是否守恒？问题问题：(1)式中各角量是否对同轴而言？式中各角量是否对同轴而言？(2)J1+J2 系统角动量是否守恒？系统角动量是否守恒？分别以分别以m1,m2 为研究对象，受力如图：为研究对象，受力如图：o2F2o1.F1f1f20 )2(0 )1(1221FFMoMo为轴为轴系统角动量不守恒！系统角动量不守恒！解二解二：分别对：分别对m1 ,m2 用角动量定理列方程用角动量定理列方程设：设：f1=f2=f ，以顺时针方向为正以
36、顺时针方向为正m1对对o1 轴：轴：211211101111,dRmJJJtfRm2对对o2 轴：轴：222212202222,dRmJJJtfR接触点：接触点：2211RRo2F2o1.F1f1f212联立各式解得：联立各式解得：221202210112121202210111RmmRmRmRmmRmRm解一解一：m 和和 m 2 系统动量守恒系统动量守恒 m v 0=(m+m 2)v解二解二：m 和和(m+m 2)系统动量守恒系统动量守恒m v 0=(m+m 1+m 2)v解三解三：m v 0=(m+m 2)v+m 1 2v以上解法对不对？以上解法对不对？m2m1m0v2L2LA例例.已知
37、：已知：轻杆，轻杆，m 1=m,m 2=4m,油灰球油灰球 m，m 以速度以速度v 0 撞击撞击 m 2，发生完全非弹性碰撞发生完全非弹性碰撞 求：求：撞后撞后m 2的速率的速率 v?因为相撞时轴因为相撞时轴A作用力不能忽略作用力不能忽略不计，故不计，故系统动量不守恒系统动量不守恒。因为重力、轴作用力过轴，对轴因为重力、轴作用力过轴，对轴力矩为零，故力矩为零，故系统角动量守恒系统角动量守恒。由此列出以下方程：由此列出以下方程：LvmvmmmvLL212220或：或：vvLmmmmLLLL202021222022;得：得：90vv m2m1m2L2LNyNxA 水平方向：水平方向：Fx=0 ，p
38、x 守恒守恒 m v 0=(m+M)v 对对 o 点：点：，守恒守恒m v 0 l=(m+M)v l0ML质点质点 定轴刚体定轴刚体（不能简化为质点）（不能简化为质点）0volmMFyFx(2)轴作用力不能忽略，动量不守恒，轴作用力不能忽略，动量不守恒，但对但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒轴合力矩为零，角动量守恒lvMlmllmv23120(1)olmM0v质点质点质点质点柔绳无切向力柔绳无切向力vRMmRghmOM mMpMmF2 0;0点角动量守恒对系统不守恒系统轴轴mMFO0轴FA、B、C系统系统 不守恒；不守恒；p0轴MA、B、C系统对系统对 o 轴角动量守恒轴角动量守恒vRmmmR
39、vmmcBABA1C BNxNyAo练习：练习：已知已知 m=20 克，克，M=980 克克,v 0=400米米/秒，绳秒，绳不可伸长。求不可伸长。求 m 射入射入M 后共同的后共同的 v=?哪些物理量守恒？请列方程。哪些物理量守恒？请列方程。解解：m、M系统水平方向动量守恒（系统水平方向动量守恒（F x=0)竖直方向动量不守恒（绳冲力不能忽略）竖直方向动量不守恒（绳冲力不能忽略）对对o 点轴角动量守恒（外力矩和为零）点轴角动量守恒（外力矩和为零）omMv300vvMmmv0030sin或：或：00090sin30sinlMmvlmvv=4 ms-1得：得：解：解：碰撞前后碰撞前后AB棒对棒对
40、O的角动量守恒的角动量守恒思考：思考：碰撞前棒对碰撞前棒对O角动量角动量 L=?碰撞后棒对碰撞后棒对O角动量角动量 =？L?例例.已知：已知：匀质细棒匀质细棒 m,长长 2l；在光滑水平面内在光滑水平面内以以 v 0 平动，与支点平动，与支点 O 完全非弹性碰撞。完全非弹性碰撞。求：求：碰后瞬间棒绕碰后瞬间棒绕 O 的的v0clBAl/2l/2 Om撞前：撞前：自旋轨LLL020lmvL(1)(2)各微元运动速度相同，但到各微元运动速度相同，但到O距离不等，距离不等，棒上段、下段对轴棒上段、下段对轴O角动量方向相反角动量方向相反设垂直向外为正方向，总角动量：设垂直向外为正方向，总角动量：lmv
41、xxxxLllmvllmv0210222302dd00lm2lxmxm2dddxxxvmLlmvddd200质元角动量：质元角动量：线密度：线密度：取质元：取质元：xdm-l/23l/20vO撞后：撞后：22212722121mllmlmJL令令2012721mllmvLL得：得：lv76043?max如图所示，如图所示，已知已知:M,L,m,v0 ;击中击中 L 处处求求:击中时击中时 ;(只列方程只列方程)分两个阶段求解分两个阶段求解,各遵循什么规律各遵循什么规律?质点质点 定轴刚体定轴刚体 对对 O 轴角动量守恒轴角动量守恒 M+m+地球系统地球系统 E 守恒守恒oMc L43L41m0
42、v撞后撞后231243;MLLLmLMm231169043cosLMmLmv撞前撞前2sin0430LmvvmrLmcos043Lmv0ML 质点质点 定轴刚体定轴刚体 对对 O 轴角动量守恒轴角动量守恒oMc L43L41m0v动能动能 Ek势能增量势能增量Ep初态初态:末态末态:m:M:223116921LMm0cos143Lmgcos121LMg M+m+地球系统地球系统 E 守恒守恒K2k1K1p2pp2p2k1p1KEEEEEEEEEEcos1432223116921gLmLMmMoMc L43L41m0v由此可解出所求值由此可解出所求值cos1432223116921glmLMmM231169043cosLMmLmvoMc L43L41m0v
