1、 第第 19 讲讲 解直角三角形解直角三角形 直角三角形中 的边角关系 锐角三 角函数 解直角 三角形 实际问题 知识点 1 锐角三角函数的定义 1如图，在ABC 中，C90，AB5，BC3，则 sinA3 5，cosA 4 5，tanA 3 4 知识点 2 特殊角的三角函数值 2计算：sin30cos30tan602 3在ABC 中，如果A，B 满足|tanA1|(cosB1 2) 20，那么C75 知识点 3 解直角三角形 4如图，在直角ABC 中，C90，BC1，tanA1 2，下列判断正确的是(D) AA30 BAC1 2 CAB2 DAC2 第 4 题图 第 5 题图 5如图，等腰A
2、BC 的周长是 36 cm，底边为 10 cm，则底角的正弦值是12 13 知识点 4 解直角三角形的实际应用 6如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 55方向，距离灯塔 2 海里的点 A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的 正东方向，那么海轮航行的距离 AB 长是(C) A2 海里 B2sin55海里 C2cos55海里 D2tan55海里 第 6 题图 第 7 题图 7如图，一山坡的坡度为 i1 3，小辰从山脚 A 出发，沿山坡向上走了 200 米到达点 B，则小辰上升了 100 米 8如图，某建筑物 AC 顶部有一旗杆 AB，且点 A，B，C 在同一条直线上，小明在地面 D 处观测旗杆顶
3、端 B 的仰 角为 30，然后他正对建筑物的方向前进了 20 米到达地面的 E 处，又测得旗杆顶端 B 的仰角为 60，已知建筑物 的高度 AC12 米，求旗杆 AB 的高度(结果精确到 0.1 米参考数据： 31.73， 21.41) 解：根据题意，得BDE30，BEC60，DE20 米， DBEBECBDE603030BDE. BEDE20 米 在 RtBEC 中， BCBE sin6020 3 2 10 317.3(米) ABBCAC17.3125.3(米) 答：旗杆的高度是 5.3 米. 重难点 1 解直角三角形 (2016 上海)如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC3，点
4、D 在边 AC 上，且 AD2CD， DEAB，垂足为点 E，连接 CE，求： (1)线段 BE 的长； (2)ECB 的余切值 【思路点拨】 (1)由等腰直角三角形的性质得出AB45，由勾股定理求出 AB3 2，求出ADE A45，由三角函数得出 AE 2，即可得出 BE 的长；(2)过点 E 作 EHBC，垂足为点 H，由三角函数求出 EHBHBE cos452，得出 CH1，在 RtCHE 中，由三角函数求出 cotECBCH EH 1 2即可 【自主解答】 (1)AD2CD，AC3， AD2. 在 RtABC 中，ACB90，ACBC3， AB45， AB AC2BC2 32323 2
5、. DEAB，AED90，ADEA45. AEAD cos452 2 2 2. BEABAE3 2 22 2. (2)过点 E 作 EHBC，垂足为点 H， 在 RtBEH 中，EHB90，B45， EHBHBE cos452 2 2 2 2. BC3，CH1. 在 RtCHE 中，cotECBCH EH 1 2，即ECB 的余切值为 1 2. 【变式训练 1】 (2016 沈阳)如图，在 RtABC 中，C90，B30，AB8，则 BC 的长是(D) A.4 3 3 B4 C8 3 D4 3 变式训练 1 图 变式训练 2 图 【变式训练 2】 (2016 福州)如图， 以 O 为圆心， 半
6、径为 1 的弧交坐标轴于 A， B 两点， P 是AB 上一点(不与 A， B 重合)，连接 OP，设POB，则点 P 的坐标是(C) A(sin，sin) B(cos，cos) C(cos，sin) D(sin，cos), 方法指导 1解直角三角形的问题时，通常都是根据图形，将已知条件在图形中表示出来，再根据要求的边或角并结合 已知条件，寻找与之对应的边角关系来解题 2求锐角三角函数值时，常用方法有：求出角的度数，利用特殊角的三角函数值求解；构造直角三角形， 利用定义求解；借助等角转换，将未知角的三角函数值转化为已知角的三角函数值, 重难点 2 解直角三角形的实际应用 (2017 内江)如图
7、，某人为了测量小山顶上的塔 ED 的高，他在山下的点 A 处测得塔尖点 D 的仰角为 45，再沿 AC 方向前进 60 m 到达山脚点 B，测得塔尖点 D 的仰角为 60，塔底点 E 的仰角为 30，求塔 ED 的 高度(结果保留根号) 【思路点拨】 先求出DBE30，BDE30，得出 BEDE，设 ECx，则 BE2x，DE2x，DC 3x，BC 3x，再根据DAC45，可得 ACCD，列出方程求出 x 的值，即可求出塔 DE 的高度 【自主解答】 由题意可知，DBC60，EBC30， DBEDBCEBC603030. 又BCD90， BDC90DBC906030. DBEBDE.BEDE.
8、 设 ECx m，则 DEBE2EC2x m，DCECDE3x m，BC BE2EC2 3x m. 由题意可知，DAC45，DCA90，AB60 m， ACD 为等腰直角三角形ACDC. 3x603x. 解得 x3010 3. 答：塔高约为(3010 3)m. 【变式训练 3】 (2017 青岛)如图，C 地在 A 地的正东方向，因有大山阻隔，由 A 地到 C 地需要绕行 B 地， 已知 B 位于 A 地北偏东 67方向，距离 A 地 520 km，C 地位于 B 地南偏东 30方向，若打通穿山隧道，建成两 地直达高铁，求 A 地到 C 地之间高铁线路的长(结果保留整数) (参考数据：sin6
9、712 13；cos67 5 13；tan67 12 5 ； 31.73) 解：作 BDAC 于点 D， 在 RtABD 中，ABD67， sin67AD AB 12 13， AD12 13AB480 km. cos67BD AB 5 13，BD 5 13AB200 km. 在 RtBCD 中，CBD30， tan30CD BD 3 3 ，CD 3 3 BD116 km. ACCDDA596 km. 答：A，C 之间的距离约为 596 km. , 方法指导 1对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决： (1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来， 找到
10、与已知量和未知量相关联的三角形， 画出平面几何图形， 弄清已知条件中各量之间的关系； (2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三 角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情 况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形 2解直角三角形的实际应用题常见图形类型及辅助线作法如图所示： 1(2017 日照)在 RtABC 中，C90，AB13，AC5，则 sinA 的值为(B) A. 5 13 B.12 13 C. 5 12 D.12 5 2(2016 怀化)在 RtABC 中
11、，C90，sinA4 5，AC6 cm，则 BC 的长度为(C) A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm 3(2017 威海)为了方便行人推车过某天桥，市政府在 10 m 高的天桥一侧修建了 40 米长的斜道(如图所示)我们可 以借助科学计算器求这条坡道倾斜角的度数，具体按键顺序是(A) A. 2ndF sin 0 2 5 B. sin 2ndF 0 2 5 C. sin 0 2 5 D. 2ndF cos 0 2 5 4(2017 滨州)如图，在ABC 中，ACBC，ABC30，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 BDBA，则 tan DAC 的值为(A) A2 3 B2 3 C3
12、 3 D3 3 第 4 题图 第 5 题图 5(2017 益阳)如图，电线杆 CD 的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 相互垂直，CAB，则拉线 BC 的长度为(A， D，B 在同一条直线上)(B) A. h sin B. h cos C. h tan Dhcos 6(2017 重庆)如图，已知点 C 与某建筑物底端 B 相距 306 米(点 C 与点 B 在同一水平面上)，某同学从点 C 出发， 沿同一剖面的斜坡 CD 行走 195 米至坡顶 D 处，斜坡 CD 的坡度(或坡比)i12.4，在 D 处测得该建筑物顶端 A 的 俯角为 20， 则建筑物 AB 的高度约为(精确到 0.1 米
13、， 参考数据： sin200.342， cos200.940， tan200.364)(A) A29.1 米 B31.9 米 C45.9 米 D95.9 米 7(2017 烟台)在 RtABC 中，C90，AB2，BC 3，则 sinA 2 1 2 8(2017 广州)如图，RtABC 中，C90，BC15，tanA15 8 ，则 AB17 第 8 题图 第 9 题图 9(2017 临沂)如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O.若 AB4，BD10，sinBDC3 5，则ABCD 的 面积是 24 10(2017 宁波)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 34的斜坡，从 A 滑行
14、至 B，已知 AB500 米，则这名滑雪 运动员的高度下降了 280 米(参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67) 第 10 题图 第 11 题图 11(2017 苏州)如图，在一笔直的沿湖道路 l 上有 A，B 两个游船码头，观光岛屿 C 在码头 A 北偏东 60的方向， 在码头 B 北偏西 45的方向，AC4 km.游客小张准备从观光岛屿 C 乘船沿 CA 回到码头 A 或沿 CB 回到码头 B， 设开往码头 A，B 的游船速度分别为 v1，v2，若回到 A，B 所用时间相等，则v1 v2 2(结果保留根号) 12已知：如图，等腰ABC 中，ABBC，AEBC
15、 于 E，EFAB 于 F，若 CE2，cosAEF4 5，求 BE 的长 解：AEBC，EFAB， AEBAFE90. BBAEBAEAEF90. BAEF. cosAEF4 5， cosB4 5. cosBBE AB，ABBC，CE2， 设 BE4a，则 AB5a，CEa. a2. BE8. 13 (2017 眉山)如图， 为了测得一棵树的高度 AB， 小明在 D 处用高为 1 m 的测角仪 CD， 测得树顶 A 的仰角为 45， 再向树方向前进 10 m，又测得树顶 A 的仰角为 60，求这棵树的高度 AB. 解：过 F 作 FEAB 于 E. 设 AEx m，在 RtACE 中，CE
16、AE tan45x m. 在 RtAFE 中，FE AE tan60 3 3 x m. 又因为 CFCEFE，CFDG10 m， 所以 x 3 3 x10，解得 x155 3. 所以 ABAEEB155 31165 3(m) 答：这棵树的高度 AB 为(165 3)m. 14(2017 江西)如图 1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角” 约为 20，而当手指接触 键盘时，肘部形成的“手肘角” 约为 100.图 2 是其侧面简化示意图，其中视线 AB 水平，且与屏幕 BC 垂直 (1)若屏幕上下宽 BC20 cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离 AB 的长； (2)若
17、肩膀到水平地面的距离 DG100 cm，上臂 DE30 cm，下臂 EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离 FH 72 cm.请判断此时 是否符合科学要求的 100？ (参考数据：sin6914 15，cos21 14 15，tan20 4 11，tan43 14 15，所有结果精确到个位) 图 1 图 2 解：(1)RtABC 中，tanABC AB， AB BC tanA BC tan20 20 4 11 55(cm) (2)延长 FE 交 DG 于点 I. 则 DIDGFH1007228(cm) 在 RtDEI 中，sinDEI DI DE 28 30 14 15， DEI69. 180
18、69111100. 此时 不是符合科学要求的 100. 15(2017 杭州)如图，在ABC 中，ABAC，BC12，E 为 AC 边的中点，线段 BE 的垂直平分线交边 BC 于点 D.设 BDx，tanACBy，则(B) Axy23 B2xy29 C3xy215 D4xy221 第 15 题图 第 16 题图 16(2017 无锡)在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D 都在格点处，AB 与 CD 相交于 O，则 tanBOD 的值等于 3 17(2017 绵阳)如图，过锐角ABC 的顶点 A 作 DEBC，AB 恰好平分DAC，AF 平分EAC 交 BC 的延长线 于点 F.在 AF 上取点 M，使得 AM1 3AF，连接 CM 并延长交直线 DE 于点 H，若 AC2，AMH 的面积是 1 12，则 1 tanACH的值是 8 15 习题解析
