1、 第第 23 讲讲 与圆相关的位置关系与圆相关的位置关系 知识点 1 点与圆的位置关系 1已知O 的半径是 5，点 A 到圆心 O 的距离是 7，则点 A 与O 的位置关系是(C) A点 A 在O 上 B点 A 在O 内 C点 A 在O 外 D点 A 与圆心 O 重合 2如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，若以点 A 为圆心，以 4 为半径作A，则下列各点在A 外的是(C) A点 A B点 B C点 C D点 D 知识点 2 直线与圆的位置关系 3已知O 的半径是 6 cm，点 O 到同一平面内直线 l 的距离为 5 cm，则直线 l 与O 的位置关系是(A) A相交 B相切 C相离
2、D无法判断 4已知 RtABC 中，C90，AC3，BC4，若以 2 为半径为C，则斜边 AB 与C 的位置关系是(C) A相交 B相切 C相离 D无法确定 知识点 3 切线的性质 5如图，AB 和O 相切于点 B，AOB60，则A 的大小为(B) A15 B30 C45 D60 第 5 题图 第 6 题图 6如图，AB 是O 的直径，C 是O 上的点，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若A30，则 sin E 的值为(A) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3 知识点 4 切线的判定 7如图，AC 是O 的直径，BC 是O 的弦，点 P 是O 外一点，连接 P
3、A，PB，AB，已知PBAC.求证： PB 是O 的切线 证明：连接 OB. AC 是O 的直径， ABC90，CBAC90. OAOB， BACOBA. PBAC， PBAOBA90，即 PBOB. PB 是O 的切线 知识点 5 切线长定理 8如图，P 为O 外一点，PA，PB 分别切O 于 A，B，CD 切O 于点 E，分别交 PA，PB 于点 C，D，若 PA 5，则PCD 的周长为(D) A5 B7 C8 D10 知识点 6 三角形与圆 9如图，O 是ABC 的内切圆，则点 O 是ABC 的(B) A三条边的垂直平分线的交点 B三条角平分线的交点 C三条中线的交点 D三条高的交点 第
4、 9 题图 第 10 题图 10如图，ABC 的内切圆的三个切点分别为 D，E，F，A75，B45，则圆心角EOF120. 重难点 切线的性质与判定 (2017 咸宁 T21，9 分)如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与边 BC，AC 分别交于 D， E 两点，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F. (1)求证：DF 是O 的切线； (2)若 AE4，cosA2 5，求 DF 的长 【思路点拨】 (1)连接 OD，可以先证明 ODAC，根据 DFAC 即可得出结论；(2)过圆心 O 作 OGAC 于 点 G，根据 cosA2 5，可求出 OG 的长，且可证四边形 ODFG 是
5、矩形，即可求出 DF 的长 (1)证明：连接 OD. OBOD，ODBB. 又ABAC，CB. ODBC. ODAC. 2 分 DFAC，DFC90. ODFDFC90. DF 是O 的切线. 4 分 (2)作 OGAC 于点 G， AG1 2AE2. 5 分 cosAAG OA，OA AG cosA 2 2 5 5. OG OA2AG2 21. 7 分 ODFDFGOGF90，四边形 OGFD 为矩形 DFOG 21. 9 分 方法指导 证明圆的切线时，可以分以下两种情况： (1)若直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可 简述为： “连半
6、径，证垂直，得切线” “证垂直”时通常利用圆中的关系得到 90的角(如例(1)； (2)直线与圆没有已知的公共点时， 通常过圆心作直线的垂线段， 证明垂线段的长等于圆的半径， 可简述为： “作 垂直，证半径，得切线”证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角两 边的距离相等(如【变式训练 1】(1) 【变式训练 1】 (2016 贵港)如图，在ABC 中，ABAC，O 为 BC 的中点，AC 与半圆 O 相切于点 D. (1)求证：AB 是半圆 O 所在圆的切线； (2)若 cosABC2 3，AB12，求半圆 O 所在圆的半径 解：(1)证明：作 OEAB 于
7、 E，连接 OD，OA. ABAC，O 为 BC 的中点，CAOBAO. AC 与半圆 O 相切于 D， ODAC.OEAB，ODOE. AB 经过圆 O 半径的外端点，AB 是半圆 O 所在圆的切线 (2)cosABC2 3，AB12，OB8. 由勾股定理，得 AO AB2OB24 5. 由三角形的面积公式，得 SAOB1 2AB OE 1 2OB AO. OEOB AO AB 8 5 3 .半圆 O 所在圆的半径是8 5 3 ., 变式点 本题将切线的判定与性质结合锐角三角函数进行考查 【变式训练 2】 (2017 菏泽)如图，AB 是O 的直径，PB 与O 相切于点 B，连接 PA 交O
8、 于点 C.连接 BC. (1)求证：BACCBP； (2)求证：PB2PC PA； (3)当 AC6，CP3 时，求 sinPAB 的值 解：(1)证明：PB 与O 相切于点 B， OBPB.ABP90.ABCCBP90. AB 是O 的直径，ACB90. AABC90.BACCBP. (2)证明：在ABP 和BCP 中， ABPBCP90， ACBP， ABPBCP.AP BP BP CP.PB 2PC PA. (3)AC6，CP3，APPCAC369. PB2PC PA3927.PB3 3. sinPABPB PA 3 3 9 3 3 ., 变式点 本题以切线的性质为主线，综合考查三角形
9、相似和锐角三角函数，三者之间环环相扣，由切线的性质 推出角相等，由角相等证明三角形相似(常见的三垂直模型)，由三角形相似求线段长，由线段的长求出某锐角的三 角函数值题目难度适中，设计精巧 1(2017 自贡)如图，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，PO 交O 于点 C，连接 BC.若P40，则B 等于 (B) A20 B25 C30 D40 2在一个三角形中，已知 ABAC6 cm，BC8 cm，D 是 BC 的中点，以 D 为圆心作一个半径为 5 cm 的圆，则 下列说法正确的是(C) A点 A 在D 外 B点 B 在D 上 C点 C 在D 内 D无法确定 3如图，在平面直角坐标系
10、xOy 中，点 A 为(0，3)，点 B 为(2，1)，点 C 为(2，3)则经画图操作可知：ABC 的外心坐标应是(C) A(0，0) B(1，0) C(2，1) D(2，0) 4(2017 日照)如图，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，连接 PO 并延长交O 于点 C，连接 AC，AB10， P30，则 AC 的长度是(A) A5 3 B5 2 C5 D.5 2 5 (2017 泰安)如图， 圆内接四边形 ABCD 的边 AB 过圆心 O， 过点 C 的切线与边 AD 所在直线垂直于点 M， 若ABC 55，则ACD 等于(A) A20 B35 C40 D55 6(2017 百色)
11、以坐标原点 O 为圆心，作半径为 2 的圆，若直线 yxb 与O 相交，则 b 的取值范围是(D) A0b2 2 B2 2b2 2 C2 3b2 3 D2 2b2 2 7(2017 武汉)已知一个三角形的三边长分别为 5，7，8，则其内切圆的半径为(C) A. 3 2 B.3 2 C. 3 D2 3 8(2017 连云港)如图，线段 AB 与O 相切于点 B，线段 AO 与O 相交于点 C，AB12，AC8，则O 的半 径长为 5 第 8 题图 第 9 题图 9(2017 眉山中考改编)如图，在ABC 中，A66，点 I 是内心，则BIC 的大小为 123 10(2017 徐州)如图，AB 与
12、O 相切于点 B，线段 OA 与弦 BC 垂直，垂足为 D，ABBC2，则AOB60 第 10 题图 第 11 题图 11如图，ABC 是一张三角形的纸片，O 是它的内切圆，点 D 是其中的一个切点，已知 AD10 cm，小明准 备用剪刀沿着与O 相切的任意一条直线 MN 剪下一块三角形(AMN)，则剪下的AMN 的周长为 20_cm 12(2017 德州)如图，已知 RtABC，C90，D 为 BC 的中点以 AC 为直径的O 交 AB 于点 E. (1)求证：DE 是O 的切线； (2)若 AEEB12，BC6，求 AE 的长 解：(1)证明：连接 OE，CE. AC 是O 的直径， AE
13、CBEC90. D 是 BC 的中点， ED1 2BCDC. DECDCE. OEOC，OECOCE. DECOECDCEOCE，即OEDACD. ACD90，OED90，即 OEDE. 又E 是O 上一点，DE 是O 的切线 (2)由(1)知BEC90. 在 RtBEC 与 RtBCA 中，B 为公共角， BECBCA. BE BC BC BA.即 BC 2BE BA. AEEB12，设 AEx，则 BE2x， BA3x.又BC6，622x 3x. x 6，即 AE 6. 13(2017 山西)如图，ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径，ODAB，与 AC 交于点 E，与过点 C 的O
14、的 切线交于点 D. (1)若 AC4，BC2，求 OE 的长； (2)试判断A 与CDE 的数量关系，并说明理由 解：(1)AB 为O 的直径， ACB90. 在 RtABC 中，由勾股定理，得 AB AC2BC2 42222 5， OA1 2AB 5. ODAB，AOEACB90. 又AA，AOEACB. OE CB AO CA，即 OE 2 5 4 .解得 OE 5 2 . (2)CDE2A.理由如下： 连接 OC，OAOC，ACOA. CD 是O 的切线，OCCD. OCD90.DOCCDE90. ODAB，DOCCOB90. COBCDE. COBAACODOCA， CDEDOCA.
15、 14 (2017 枣庄)如图， 在网格(每个小正方形的边长均为 1)中选取 9 个格点(格线的交点称为格点)， 如果以 A 为圆心， r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为(B) A2 2r 17 B. 17r3 2 C. 17r5 D5r 29 第 14 题图 第 15 题图 15(2017 安顺)如图，O 的直径 AB4，BC 切O 于点 B，OC 平行于弦 AD，OC5，则 AD 的长为(B) A.6 5 B.8 5 C. 7 5 D.2 3 5 16(2017 无锡)如图，菱形 ABCD 的边 AB20，面积为 320，BAD90，O 与边
16、 AB，AD 都相切，AO 10，则O 的半径长等于(C) A5 B6 C2 5 D3 2 17(2017 衢州)如图，在直角坐标系中，A 的圆心 A 的坐标为(1，0)，半径为 1，点 P 为直线 y3 4x3 上的 动点，过点 P 作A 的切线，切点为 Q，则切线长 PQ 的最小值是 2 2 习题解析 18(2017 南宁)如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 H，连接 AC，过弧 BD 上一点 E 作 EGAC 交 CD 的延长线于点 G，连接 AE 交 CD 于点 F，且 EGFG，连接 CE. (1)求证：ECFGCE； (2)求证：EG 是O 的切线； (3)延长 AB
17、交 GE 的延长线于点 M，若 tanG3 4，AH3 3，求 EM 的值 解：(1)证明：AB 是直径，CDAB， AC AD . CEFACD. 又EGAC， CGEACD. CEFCGE. 又ECFGCE， ECFGCE. (2)证明：连接 OE，EGFG， GFEGEF. OAFAFH90，AFHGFE， GEFOAF90. OAOE，OAFOEA. GEFOEA90. EG 是O 的切线 (3)连接 OC，tanG3 4，GACH， tanACHAH CH 3 4. AH3 3，CH4 3. 设O 的半径为 r，在 RtCHO 中，根据勾股定理有 r2(4 3)2(r3 3)2，解得 r25 3 6 . EOMM90，GM90， EOMG. tanEOM3 4，即 EM OE 3 4. EM3 4OE 3 4r 25 3 8 .
