1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（11） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若复数 z 满足 = 1+ 1 3（其中 i 为虚数单位） ，则|z|（ ） A2 B3 C10 D4 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 3 （5 分）函数 y3|x|sin2x 的图象可能是（ ） A B C 第 2 页（共 22 页） D 4 （5 分）已知向
2、量 ， 满足| | = 1， = 2，则 (2 ) =（ ） A4 B4 C0 D2 5 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1的右焦点为 F，其中一条渐近线与圆（xc）2+y2a2 （c2a2+b2，c0）交于 A，B 两点，ABF 为锐角三角形，则双曲线 C 的离心率的取 值范围是（ ） A( 6 2 ，+ ) B(2，+ ) C(1，2) D( 6 2 ，2) 6 （5 分）已知公比不为 1 的正项等比数列an的前 n 项和，前 2n 项和，前 3n 项和分别为 A，B，C，则（ ） AA+C2B BACB2 CACB2 DA+C2B 7 （5 分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研
3、究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问 题：将一线段 AB 分为两线段 AC，CB，使得其中较长的一段 AC 是全长 AB 与另一段 CB 的比例中项，即满足 = = 5;1 2 0.618后人把这个数称为黄金分割数，把点 C 称为线段 AB 的黄金分割点在ABC 中，若点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，在 ABC 内任取一点 M，则点 M 落在APQ 内的概率为（ ） A5;1 2 B5 2 C5;1 4 D5;2 2 8 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） ，xR，其中 0，若函数 f（x） 的最小正周期为 6，且当 x= 2时，f（x）取得最大值，则（ ） Af（x
4、）在区间2，0上是增函数 第 3 页（共 22 页） Bf（x）在区间3，上是增函数 Cf（x）在区间3，5上是减函数 Df（x）在区间4，6上是减函数 9 （5 分）设函数 f（x）lg（x2+1） ，则使得 f（3x2）f（x4）成立的 x 的取值范围为 （ ） A(1 3，1) B （1，3 2） C （，3 2) D(， 1) (3 2， + ) 10 （5 分）设双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左焦点 F（2，0） ，圆 x2+y2c2与双曲 线的一条渐近线交于点 A，直线 AF 交另一条渐近线于点 B，若 = 1 2 ，则双曲线的 方程为（ ） A 2 3 2= 1 B
5、2 2 2 6 = 1 C 2 6 2 2 = 1 D2 2 3 = 1 11 （5 分）已知正方体 AC1的棱长为 1，点 P 是面 AA1D1D 的中心，点 Q 是面 A1B1C1D1 的对角线 B1D1上一点，且 PQ平面 AA1B1B，则线段 PQ 的长为（ ） A 2 2 B 3 2 C1 D2 12（5 分） 已知 f （x） x3+3ax2+bx+a2在 x1 处有极值 0， 且函数() = 1 3 3+ 2 2 3在区 间（c，c+5）上存在最大值，则 ab+c 的最大值为（ ） A11 B9 C6 D4 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，
6、每小题 5 分）分） 13 （5 分） 已知实数 x， y 满足约束条件： 0 + 4 0 1 ， 则 z2 2x+y 的最大值为 14 （5 分）国际青年物理学家竞赛（简称 IYPT）是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛 第 4 页（共 22 页） 事，某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量 u、v 进行测量，得到 10 组数据（u1，v1） ， （u2，v2）（u10，v10） ，通过散点图发现具有较强的线性相关关 系， 并且利用最小二乘法求得线性回归方程： =1.5u+1， 由于数据保存失误导致 10 1 丢 失，但 10 1 = 50被保存，通过所学知识可以求得 10
7、1 = 15 （5 分）已知三棱锥 DABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，AB3，BC2，ABC 60，BD6，且 DB平面 ABC，则球 O 的表面积为 16 （5 分）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学分形的外表结构极 为复杂，但其内部却是有规律可寻的一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代 的方程式，即一种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如 图 1，线段 AB 的长度为 a，在线段 AB 上取两个点 C，D，使得 ACDB= 1 4AB，以 CD 为一边在线段 AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段 CD，得到图 2 中的图形；对图 2 中
8、的最上方的线段 EF 作相同的操作，得到图 3 中的图形；依此类推，我们就得到了以 下一系列图形： 记第 n 个图形（图 1 为第 1 个图形）中的所有线段长的和为 Sn，则 （1）S3 ； （2）如果对nN*，Sn2019 恒成立，那么线段 AB 的长度 a 的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 bcosA3asinB 0 （1）求 A； （2）已知 a23，B= 3，求ABC 的面积 18 （12 分）如图所示，在四棱锥 ABCDE 中
9、，平面 BCDE平面 ABC， BEEC，BC6， AB43，ABC30 （）求证：ACBE； 第 5 页（共 22 页） （）若二面角 BACE 为 45，求直线 AB 与平面 ACE 所成的角的正弦值 19（12分） 对一批电子元件进行寿命追踪调查， 从这批产品中抽取N个产品 （其中N200） ， 得到频率分布直方图如图 （）求 m 的值； （）从频率分布直方图估算这批电子元件寿命 的平均数、中位数分别是多少？ （）现要从这批电子元件中按频率分布直方图用分层抽样的方法抽取一个样本容量为 20 的样本，则在 400500 及 500600 这两组中抽出两个电子元件的使用寿命之和大于 1000
10、 小时的概率是多少？ 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1（a1）的离心率是 2 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N如果MF1N 为锐角，求 k 的取值范围 21 （12 分）已知 kR，函数 f（x）exkx（其中 e 是自然对数的底数，e2.718） （）当 k1 时，求曲线 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）若当 x0 时都有 f（x）x2+3x+2（k+1）成立，求整数 k 的最大值 四解
11、答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 6 页（共 22 页） 22 （10 分）已知曲线 C1的参数方程为 = 2 = 3（ 为参数） ，以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为( 4) = 1 （1）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）射线 OM： = ( 2 )与曲线 C1交于点 M，射线 ON： = 4与曲线 C2 交于点 N，求 1 |2 + 1 |2的取值范围 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）x|xa|，aR （）当 f（2）
12、+f（2）4 时，求 a 的取值范围； （）若 a0，x，y（，a，不等式 f（x）|y+3|+|ya|恒成立，求 a 的取值范 围 第 7 页（共 22 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（11） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若复数 z 满足 = 1+ 1 3（其中 i 为虚数单位） ，则|z|（ ） A2 B3 C10 D4 【解答】解： = 1+ 1 3 = (1+)2 (1)(1+) 3i= 2 2 3i2
13、i， 则|z|2|2 故选：A 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 【解答】解：A0，1，2，3，Bx|2x2， AB0，1，2 故选：B 3 （5 分）函数 y3|x|sin2x 的图象可能是（ ） A B 第 8 页（共 22 页） C D 【解答】解：f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A，B 当 ( 2 ，)时，f（x）0，排除 C， 故选：D 4 （5 分）已知向量 ， 满足| | = 1， = 2，则 (2 ) =（ ） A4 B4 C0 D2 【解答】解：向量 ， 满足| | =
14、1， = 2， 所以： (2 ) = 2| |2 = 2 + 2 = 4， 故选：A 5 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1的右焦点为 F，其中一条渐近线与圆（xc）2+y2a2 （c2a2+b2，c0）交于 A，B 两点，ABF 为锐角三角形，则双曲线 C 的离心率的取 值范围是（ ） A( 6 2 ，+ ) B(2，+ ) C(1，2) D( 6 2 ，2) 【解答】解：双曲线： 2 2 2 2 = 1的右焦点为 F（c，0） ，一条渐近线方程为：bxay 0， 圆（xc）2+y2a2（c2a2+b2，c0）的圆心（c，0） ，半径为 a， 第 9 页（共 22 页） 交于 A
15、，B 两点，ABF 为锐角三角形， 可得：a | 2+2 2 2 ，可得 a2b2 1 2a 2， 又 c2a2+b2，b2 1 2a 2，可得 c23 2 2，可得：e 6 2 ，得 a2b2， 可得 e2 所以双曲线 C 的离心率的取值范围是：( 6 2 ，2) 故选：D 6 （5 分）已知公比不为 1 的正项等比数列an的前 n 项和，前 2n 项和，前 3n 项和分别为 A，B，C，则（ ） AA+C2B BACB2 CACB2 DA+C2B 【解答】解：设公比为 q，则 BA+Aqn，CA+Aqn+Aq2n， 则 ACA2（1+qn+q2n） ，B2A2（1+2qn+q2n） ， 又
16、 q0，故 ACB2 故选：B 7 （5 分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问 题：将一线段 AB 分为两线段 AC，CB，使得其中较长的一段 AC 是全长 AB 与另一段 CB 的比例中项，即满足 = = 5;1 2 0.618后人把这个数称为黄金分割数，把点 C 称为线段 AB 的黄金分割点在ABC 中，若点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，在 ABC 内任取一点 M，则点 M 落在APQ 内的概率为（ ） A5;1 2 B5 2 C5;1 4 D5;2 2 【解答】解：设 BCa， 由点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点， 所以 BQ=
17、 51 2 ，CP= 51 2 ， 所以 PQBQ+CPBC（5 2）a， 第 10 页（共 22 页） SAPQ：SABCPQ：BC（5 2）a：a= 5 2， 由几何概型中的面积型可得： 在ABC 内任取一点 M，则点 M 落在APQ 内的概率为 =5 2， 故选：B 8 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） ，xR，其中 0，若函数 f（x） 的最小正周期为 6，且当 x= 2时，f（x）取得最大值，则（ ） Af（x）在区间2，0上是增函数 Bf（x）在区间3，上是增函数 Cf（x）在区间3，5上是减函数 Df（x）在区间4，6上是减函数 【解答】解：函数 f（x）的最小正周期
18、为 6，根据周期公式可得 = 2 6 = 1 3， f（x）2sin（1 3 +） ， 当 x= 2时，f（x）取得最大值，2sin（ 6 +）2，= 3 +2k， ，= 3，() = 2( 1 3 + 3)， 由 2 + 2 1 3 + 3 2 + 2 可得函数的单调增区间：6 5 2 ，6 + 2， 由 2 + 2 3 + 3 3 2 + 2可得函数的单调减区间：6 + 2 ，6 + 7 2 ， 结合选项可知 A 正确， 故选：A 9 （5 分）设函数 f（x）lg（x2+1） ，则使得 f（3x2）f（x4）成立的 x 的取值范围为 （ ） A(1 3，1) B （1，3 2） C （，
19、3 2) D(， 1) (3 2， + ) 第 11 页（共 22 页） 【解答】解：根据题意，函数 f（x）lg（x2+1） ，其定义域为 R，有 f（x）lg（x2+1） f（x） ，即函数 f（x）为偶函数， 设 tx2+1，则 ylgt， 在区间0，+）上，tx2+1 为增函数且 t1，ylgt 在区间1，+）上为增函数， 则 f（x）lg（x2+1）在0，+）上为增函数， f（3x2）f（x4）f（|3x2|）f（|x4|）|3x2|x4|， 解可得：x1 或 x 3 2，即 x 的取值范围为（，1）（ 3 2，+） ； 故选：D 10 （5 分）设双曲线 2 2 2 2 = 1(0
20、，0)的左焦点 F（2，0） ，圆 x2+y2c2与双曲 线的一条渐近线交于点 A，直线 AF 交另一条渐近线于点 B，若 = 1 2 ，则双曲线的 方程为（ ） A 2 3 2= 1 B 2 2 2 6 = 1 C 2 6 2 2 = 1 D2 2 3 = 1 【解答】解：由题意，y= x 与 x 2+y2c2 联立，可得 A（a，b） ， AF 的斜率为 :， = 1 2 ， B 为线段 FA 的中点， OBAF， : （ ）1，即 b 2a2+2a， 结合 b2c2a24a2， 解得 a1，b= 3， 则双曲线的方程为 x2 2 3 =1， 故选：D 第 12 页（共 22 页） 11
21、（5 分）已知正方体 AC1的棱长为 1，点 P 是面 AA1D1D 的中心，点 Q 是面 A1B1C1D1 的对角线 B1D1上一点，且 PQ平面 AA1B1B，则线段 PQ 的长为（ ） A 2 2 B 3 2 C1 D2 【解答】解：正方体 AC1的棱长为 1，点 P 是面 AA1D1D 的中心， 点 Q 是面 A1B1C1D1的对角线 B1D1上一点，且 PQ平面 AA1B1B， 连结 AD1，AB1， 由正方体的性质，得： AD1A1DP，P 是 AD1的中点， PQAB1， PQ= 1 2AB1= 1 21 + 1 = 2 2 故选：A 12（5 分） 已知 f （x） x3+3a
22、x2+bx+a2在 x1 处有极值 0， 且函数() = 1 3 3+ 2 2 3在区 第 13 页（共 22 页） 间（c，c+5）上存在最大值，则 ab+c 的最大值为（ ） A11 B9 C6 D4 【解答】解：f（x）x3+3ax2+bx+a2在 x1 处有极值 0， 则 f（1）0，f（1）0， 因为：f（x）3x2+6ax+b， 所以：1+3ab+a20，且 36a+b0； 解得：a1 或 a2， 当 a1 时，b3，此时 f（x）3x2+6x+33（x+1）20； 所以函数 f（x）单调递增无极值，与题意矛盾，舍去； 当 a2 时，b9，此时，f（x）3x2+6x+93（x+1）
23、 （x+3） ； x1 是函数的极值点，符合题意， 所以：ab7； 又因为函数() = 1 3 3+ 2 2 3在区间（c，c+5）上存在最大值， 因为 g（x）x2+2xx（x+2） ； 易得函数() = 1 3 3 + 2 2 3在（，2）和（0，+）上单调递增，在（2，0） 上单调递减； 则：g（2）极大= 2 3；g（1）= 2 3； 所以有：2c+51， 解得：7c4， 则：ab+c 的最大值为：7411； 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件： 0 + 4 0 1 ，则
24、 z2 2x+y 的最大值为 1 2 【解答】解：由实数 x，y 满足约束条件： 0 + 4 0 1 ，作出可行域如图，则 z2 2x+y 的最大值就是 u2xy 的最小值时取得 联立 = 0 = 1 ，解得 A（1，1） ， 第 14 页（共 22 页） 化目标函数 u2x+y 为 y2x+u， 由图可知， 当直线 y2x+u 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最小， 此时 z 有最大值为 2 2+1= 1 2 故答案为：1 2 14 （5 分）国际青年物理学家竞赛（简称 IYPT）是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛 事，某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量 u、v 进
25、行测量，得到 10 组数据（u1，v1） ， （u2，v2）（u10，v10） ，通过散点图发现具有较强的线性相关关 系， 并且利用最小二乘法求得线性回归方程： =1.5u+1， 由于数据保存失误导致 10 1 丢 失，但 10 1 = 50被保存，通过所学知识可以求得 10 1 = 85 【解答】解：由 10 1 = 50，得 = 1 10 10 1 = 50 =5， 再由线性回归方程恒过样本点的中心可得， = 1.5 + 1 = 1.5 5 + 1 = 8.5， 10 1 =10 =108.585 故答案为：85 15 （5 分）已知三棱锥 DABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，AB3
26、，BC2，ABC 60，BD6，且 DB平面 ABC，则球 O 的表面积为 136 3 【解答】解：如图， 第 15 页（共 22 页） 在ABC 中，由 AB3，BC2，ABC60， 得 AC2AB2+BC22ABBCcos60= 9 + 4 2 3 2 1 2 = 7 AC= 7 设ABC 的外接圆的半径为 r，则 2r= 7 60 = 7 3 2 = 221 3 ，则 r= 21 3 DB平面 ABC，且 BD6， 球 O 的半径 R=32+ ( 21 3 )2=34 3 球 O 的表面积为4 (34 3 )2= 136 3 故答案为：136 3 16 （5 分）分形几何学是一门以不规则
27、几何形态为研究对象的几何学分形的外表结构极 为复杂，但其内部却是有规律可寻的一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代 的方程式，即一种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如 图 1，线段 AB 的长度为 a，在线段 AB 上取两个点 C，D，使得 ACDB= 1 4AB，以 CD 为一边在线段 AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段 CD，得到图 2 中的图形；对图 2 中的最上方的线段 EF 作相同的操作，得到图 3 中的图形；依此类推，我们就得到了以 下一系列图形： 记第 n 个图形（图 1 为第 1 个图形）中的所有线段长的和为 Sn，则 （1）S3 4a ； （
28、2） 如果对nN*， Sn2019恒成立， 那么线段AB的长度a的取值范围是 （0， 2019 5 第 16 页（共 22 页） 【解答】解： （1）由题意，得图 1 中的线段为 a，S1a， 图 2 中的正六边形边长为1 2a，S2S1+ 1 2a4S1+2a3a； 图 3 中的最小正六边形的边长为1 4a， S3S2+ 1 4a4S2+a4a； （2）图 4 中的最小正六边形的边长为1 8a， S4S3+ 1 8a4S3+ 1 2a， 由此类推，SnSn1= 1 23a，n2， 因为 SnS1+（S2S1）+（S3S2）+（SnSn1） a+2a+a+ 1 2a+ 1 23aa+ 2(1
29、1 21) 11 2 a+4a（1 1 21）5a， 对nN*，Sn2019 恒成立，可得 20195a， 即 0a 2019 5 故答案为：4a， （0，2019 5 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 bcosA3asinB 0 （1）求 A； （2）已知 a23，B= 3，求ABC 的面积 【解答】解： （1）bcosA3asinB0 由正弦定理可得：sinBcosA3sinAsinB0， sinB0， cosA= 3sinA， tanA= 3
30、3 ， A（0，） ， A= 6； 第 17 页（共 22 页） （2）a23，B= 3，A= 6， C= 2， b6， SABC= 1 2ab= 1 2 23 6 =63 18 （12 分）如图所示，在四棱锥 ABCDE 中，平面 BCDE平面 ABC， BEEC，BC6， AB43，ABC30 （）求证：ACBE； （）若二面角 BACE 为 45，求直线 AB 与平面 ACE 所成的角的正弦值 【解答】 （）证明：在ACB 中，AC2AB2+BC22ABBCcosABC3， 所以 AC2+BC2AB2，所以 ACBC 因为平面平面 BCDE平面 ABC，平面 BCDE平面 ABCBC，B
31、CAC， 所以 AC平面 BCDE 又因为 BE平面 BCDE，所以 ACBE （）解：因为 AC平面 BCDE，CE平面 BCDE，所以 ACCE 又 BCAC，平面 ACE平面 ABCAC， 所以BCE 是平面 EAC 与平面 BAC 所成的二面角的平面角，即BCE45 因为 BEEC，ACBE，ECACC，所以 BE平面 ACE 所以EAB 是直线 AB 与平面 ACE 所成的角 因为在 RtBCE 中，BEBCsin45= 32 2 ， 所以在 RtBAE 中，sinBAE= = 6 4 第 18 页（共 22 页） 19（12分） 对一批电子元件进行寿命追踪调查， 从这批产品中抽取N
32、个产品 （其中N200） ， 得到频率分布直方图如图 （）求 m 的值； （）从频率分布直方图估算这批电子元件寿命 的平均数、中位数分别是多少？ （）现要从这批电子元件中按频率分布直方图用分层抽样的方法抽取一个样本容量为 20 的样本，则在 400500 及 500600 这两组中抽出两个电子元件的使用寿命之和大于 1000 小时的概率是多少？ 【解答】 解：（） 由 0.01100+m100+0.004100+0.002100+m1001 得 m0.0015， （）平均数估计值为 =0.01150+0.015250+0.04350+0.02450+0.01550036.5， 前 2 组的频率
33、为 0.25， 前 3 组的频率为 0.65， 所以中位数的估计值为 300+ 0.25 0.004 =362.5 （）使用寿命在 400500 有 200.24 个，在 500600 有 0.15203 个， 故 = 1 4 2 7 3 = 29 35 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1（a1）的离心率是 2 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N如果MF1N 为锐角，求 k 第 19 页（共 22 页） 的取值
34、范围 【解答】解： （）由题意， = 2 2 2= 1 2= 2+ 2 ，解得 a22 椭圆 C 的方程为 2 2 + 2= 1； （）由已知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 yk（x1） ， 直线 l 与椭圆 C 的交点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立 = ( 1) 2 2 + 2= 1 ，得（2k2+1）x24k2x+2k220 由已知，0 恒成立，且1+ 2= 42 22+1，12 = 222 22+1， 直线 F1A 的方程为 = 1 1+1 ( + 1)，令 x0，得 M（0， 1 1:1） ， 同理可得 N（0， 2 2:1） 1 1 = 1 + 12
35、 (1+1)(2+1) = 1 + 2(11)(21) (1+1)(2+1) = (1+2)12+(12)(1+2)+1+2 12+1+2+1 ， 将代入并化简得：1 1 = 721 821， 依题意，MF1N 为锐角，则1 1 = 721 821 0， 解得：k2 1 7或 k 21 8 综上，直线 l 的斜率的取值范围为（， 7 7 ）（ 2 4 ，0）（0， 2 4 ）（ 7 7 ，+ ） 21 （12 分）已知 kR，函数 f（x）exkx（其中 e 是自然对数的底数，e2.718） （）当 k1 时，求曲线 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）若当 x0 时都有 f（x
36、）x2+3x+2（k+1）成立，求整数 k 的最大值 【解答】解： （I）k1 时，f（x）exx，f（x）ex1， 根据题意可得，f（0）1，f（1）0， 故曲线 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程 y1； （II）由 x0 时都有 f（x）x2+3x+2（k+1）成立可得，exkx（x2+3x+2（k+1） ， 即 k 232 +2 在 x0 时恒成立， 第 20 页（共 22 页） 令 g（x）= 232 +2 ，x0， 则 g（x）= (+1)(+2)2 (+2)2 ， 令 h（x）（x+1）ex（x+2）2，x0， 则 h（x）（x+2） （ex2） ， 易得，当 x（0，l
37、n2）时，h（x）0，h（x）单调递减，当 x（ln2，+）时，h （x）0，h（x）单调递增， 又 h（1）2e90，h（2）3e2160， 故存在 x0（1，2） ，使得 h（x0）0 即（x0+1）e 0 =（x0+2）2， 故当 x（0，x0）时，h（x）0 即 g（x）0，g（x）单调递减，当 x（x0，+）时， h（x）0 即 g（x）0，g（x）单调递增， 故 g（x）ming（x0）= 0(0+1)(0+2) 0+2 = (0+2)2 0+1 (0+1)(0+2) 0+2 ， = 0+2 0+1 (0+ 1) = 1 + 1 0+1 (0+ 1)， 故 g（x）ming（x0）
38、= 0(0+1)(0+2) 0+2 = (0+2)2 0+1 (0+1)(0+2) 0+2 ， = 0+2 0+1 (0+ 1) = 1 + 1 0+1 (0+ 1)， 令 tx0+1，则 t（2，3） ， g（t）1+ 1 在（2，3）上单调递减， 所以 g（t） ( 5 3 ， 1 2)，即 5 3g（x）min 1 2， 又 x0 时，kg（x）恒成立， 从而 kg（x）min， 故 k 5 3，故满足条件的 k2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C1的参数方程为 = 2 = 3（ 为参数） ，以
39、原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为( 4) = 1 （1）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； 第 21 页（共 22 页） （2）射线 OM： = ( 2 )与曲线 C1交于点 M，射线 ON： = 4与曲线 C2 交于点 N，求 1 |2 + 1 |2的取值范围 【解答】解： （1）由曲线 C1的参数方程 = 2 = 3（ 为参数） ， 得：2 + 2 = ( 2) 2 + ( 3) 2 = 1， 即曲线 C1的普通方程为 2 2 + 2 3 = 1 又 xcos，ysin， 曲线 C1的极坐标方程为 32cos2+22sin
40、26， 即 2cos2+226 曲线 C2的极坐标方程可化为 = 2， 故曲线 C2的直角方程为 + 2 = 0 （2）由已知，设点 M 和点 N 的极坐标分别为（1，） ，(2， 4)，其中 2 ， 则|2= 12= 6 2+2， |2= 22= 1 2( 2) = 1 2 于是 1 |2 + 1 |2 = 2:2 6 + 2 = 72:2 6 由 2 ， 得1cos0， 故 1 |2 + 1 |2的取值范围是( 1 3， 3 2) 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）x|xa|，aR （）当 f（2）+f（2）4 时，求 a 的取值范围； （）若 a0，x，y（，a，不等式 f（x）|y+3|+|ya|恒成立，求 a 的取值范 围 【解答】解： （1）f（2）+f（2）4，可得 2|2a|2|2+a|4，即|a2|a+2|2， 则 2 2 + + 22或 22 2 22或 2 2 22， 解得 a2 或2a1 或 a，则 a 的范围是（，1） ； 第 22 页（共 22 页） （2）f（x）|y+3|+|ya|恒成立，等价为 f（x）max（|y+3|+|ya|）min， 其中当 x，y（，a，|y+3|+|ya|y+3+ay|
