1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（17） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，BN，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C2，1，0，1 D0，1 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3:2 = 1 ，则 =（ ） A1+5i B15i C15i D1+5i 3 （5 分）已知平面 ，直线 m，n 满足 m，n，则“mn”是“m”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充
2、分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知数列an满足 an+1 （1an）1，且1= 1 2，则 a2020（ ） A3 B 1 2 C2 3 D1345 2 5 （5 分）根据如下样本数据： x 1 2 3 4 5 6 y 5 4.5 3.5 3 2.5 2 得到的线性回归方程为 = + ，则（ ） A 0， 0 B 0， 0 C 0， 0 D 0， 0 6 （5 分）若直线 yax+2a 与不等式组 + 6 0 3 + 3 0 表示的平面区域有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A0，9 5 B0，9 C0，+ D，9 7 （5 分）已知数列an中，a1= 1 2，an+
3、11 1 ，利用下面程序框图计算该数列的项时， 若输出的是 2，则判断框内的条件不可能是（ ） 第 2 页（共 17 页） An2 015 Bn2 018 Cn2 020 Dn2 021 8 （5 分）设向量 =2 ，| |25， =1，则 =（ ） A14 B16 C18 D20 9 （5 分）函数 f（x）（3x3 x）log 3x2的图象大致为（ ） A B C D 10 （5 分）已知函数() = 2 2( 2 4) 2 + (0)的区间0， 上的最大值与最小值之和是 0，则 的最小值是（ ） A9 4 B5 4 C1 D3 4 11 （5 分）若双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，
4、0)的一条渐近线被圆（x+3）2+y29 所截 得的弦长为 3，则 E 的离心率为（ ） A2 B3 C2 D23 3 12 （5 分）已知定义在 R 上的连续函数 f（x）满足 f（x）f（4x） ，且 f（2）0，f （x）为函数 f（x）的导函数，当 x2 时，有 f（x）+f（x）0，则不等式 xf（x）0 的解集为（ ） 第 3 页（共 17 页） A （0，6） B （2，0） C （，2） D （，2）（0，6） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知抛物线 y22px 的焦点为 F， 准线与 x 轴的交
5、点为 M， N 为抛物线上的一点， 且满足|MN|2|NF|，则NMF 14 （5 分）若二项式( 1 ) 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中常数 项为 15 （5 分）若无穷数列cos（n）（R）是等差数列，则其前 10 项的和为 16 （5 分）边长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 为上底面 A1B1C1D1的中心，N 为下底面 ABCD 内一点，且直线 MN 与底面 ABCD 所成线面角的正切值为 2，则点 N 的 轨迹围成的封闭图象的面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17（12
6、分） 在三棱锥 PABC 中， AB1， BC2， AC= 5， PC= 2， PA= 5， PB= 6， E 是线 段 BC 的中点 （1）求点 C 到平面 APE 的距离 d； （2）求二面角 PEAB 的余弦值 18 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b， c，且 + = 3，2sin2C3sinAsinB （1）求 C； （2）设 P（1，cosA） ，Q（cosA，1） ，且 AC， 与 的夹角为 ，求 cos 的值 19 （12 分）已知一堆产品中有一等品 2 件，二等品 3 件，三等品 4 件，现从中任取 3 件产 品 （
7、1）求一、二、三等品各取到一个的概率； （2）记 X 表示取到一等品的件数，求 X 的分布列和数学期望 第 4 页（共 17 页） 20 （12 分） 已知椭圆 C： 2 3 + 2 2 =1 （b0） 的右焦点为 F， 过 F 作两条直线分别与圆 O： x2+y2r2（r0）相切于 A，B，且ABF 为直角三角形又知椭圆 C 上的点与圆 O 上 的点的最大距离为3 +1 （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）若不经过点 F 的直线 l：ykx+m（其中 k0，m0）与圆 O 相切，且直线 l 与椭 圆 C 交于 P，Q，求FPQ 的周长 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxx+2
8、sinx，f（x）为 f（x）的导函数 （）求证：f（x）在（0，）上存在唯一零点； （）求证：f（x）有且仅有两个不同的零点 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 设直线 l1与 l2的交点为 P当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线 C1 （）求出曲线 C1的普通方程； （）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为 ( + 4) = 32，点 Q
9、 为曲线 C1 上的动点，求点 Q 到直线 C2的距离的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+1|x2| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）记 f（x）的最大值为 m，且正实数 a，b 满足 1 :2 + 1 2: =m，求 a+b 的最小值 第 5 页（共 17 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（17） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，
10、BN，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C2，1，0，1 D0，1 【解答】解：Ax|x2x602，3，BN， 则 AB0，1，2 故选：B 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3:2 = 1 ，则 =（ ） A1+5i B15i C15i D1+5i 【解答】 解： 因为 3:2 = 1 ， 所以 zi （1i） （3+2i） 5i， 所以 = 1 5， 1 + 5， 故选：D 3 （5 分）已知平面 ，直线 m，n 满足 m，n，则“mn”是“m”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：m，n， “mn
11、”“m” mn”是“m”的充分不必要条件 故选：A 4 （5 分）已知数列an满足 an+1 （1an）1，且1= 1 2，则 a2020（ ） A3 B 1 2 C2 3 D1345 2 【解答】解：数列an满足 an+1 （1an）1，且1= 1 2， a2= 2 3，a33，a4= 1 2，所以数列的周期为：3， 则 a2020a6733+1a1= 1 2 故选：B 5 （5 分）根据如下样本数据： x 1 2 3 4 5 6 第 6 页（共 17 页） y 5 4.5 3.5 3 2.5 2 得到的线性回归方程为 = + ，则（ ） A 0， 0 B 0， 0 C 0， 0 D 0，
12、0 【解答】解： 【方法一】根据表中数据，计算 = 1 6 （1+2+3+4+5+6）3.5， = 1 6 （5+4.5+3.5+3+2.5+2）= 41 12 3.4； 计算 = 6 =1 6 6 =1 262 = (5+9+10.5+12+12.5+12)63.53.4 (1+4+9+16+25+36)63.52 0.660； = =3.4（0.66）3.55.710 【方法二】根据表中样本数据知，变量 y 随 x 的增大而减小， 所以线性回归方程 = + 中， 0； 又 x0，对应 y0，所以 0 故选：A 6 （5 分）若直线 yax+2a 与不等式组 + 6 0 3 + 3 0 表示
13、的平面区域有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A0，9 5 B0，9 C0，+ D，9 【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示 + 6 = 0 + 3 = 0 = 3 2 = 9 2 ； C（ 3 2， 9 2） ， 直线 ya（x+2）过定点 A（2，0） ， 直线 ya（x+2）经过不等式组表示的平面区域有公共点 则 a0，kAC= 9 20 (3 2)(2) =9， a0，9 故选：B 第 7 页（共 17 页） 7 （5 分）已知数列an中，a1= 1 2，an+11 1 ，利用下面程序框图计算该数列的项时， 若输出的是 2，则判断框内的条件不可能是（ ） An2 01
14、5 Bn2 018 Cn2 020 Dn2 021 【解答】解：因为 a1= 1 2，an+11 1 ， 所以2= 1 1 1 = 1 2 = 1，3= 1 1 2 = 1 + 1 = 2，4= 1 1 3 = 1 1 2 = 1 2， 所以数列an是以 3 为周期的周期数列，循环的三项分别是1 2 ， 1，2，即输出的数字 2 是循环数列中的第三项， 2015 3 = 671 2，2018 3 = 672 2，2020 3 = 673 1，2021 3 = 673 2， 只有选项 C 对应的余数是 1，不是 2， 故选：C 8 （5 分）设向量 =2 ，| |25， =1，则 =（ ） A1
15、4 B16 C18 D20 第 8 页（共 17 页） 【解答】解： = = 2 ， = 2 + ， 2 = (2 + ) = 2 + ， (25)2= 2 1 + ， = 18 故选：C 9 （5 分）函数 f（x）（3x3 x）log 3x2的图象大致为（ ） A B C D 【解答】解：根据题意，函数 f（x）（3x3 x）log 3x2，其定义域为x|x0， 且 f（x）（3x3 x）log 3x2（3x3 x）log 3x2）f（x） ，即函数 f（x）为奇函 数，排除 A、C， 又由 x0 时， （3x3 x）0，则 f（x）0，排除 D； 故选：B 10 （5 分）已知函数()
16、= 2 2( 2 4) 2 + (0)的区间0， 上的最大值与最小值之和是 0，则 的最小值是（ ） A9 4 B5 4 C1 D3 4 【解答】解：() = 2 2( 2 4) 2 + (0) 2sinx 1+( 2) 2 12 2 + sinx+sinxsinx 1 2 + 1 22 +cosx sinx+sin2x 1 2 (1 2) +cosx 第 9 页（共 17 页） sinx+cosx = 2( + 4) 由 + 4 = 2 + ，得 x= 4 + ，kZ； 由 + 4 = 3 2 + ，得 x= 5 4 + ，kZ f（x）在区间0，上的最大值与最小值之和是 0， 4 0 5
17、4 ，即 5 4 的最小值是5 4 故选：B 11 （5 分）若双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线被圆（x+3）2+y29 所截 得的弦长为 3，则 E 的离心率为（ ） A2 B3 C2 D23 3 【解答】解：由圆 C： （x+3）2+y29 可得圆心（3，0） ，半径为 3， 双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线为：bxay0， 渐近线被圆（x+3）2+y29 所截得的弦长为：3，圆心到直线的距离为： 3 2:2， 由弦长公式可得3 2 =9 92 2:2，可得 2 2:2 = 1 4，即 2 2 =4 可得 e2， 故选：C 12 （5 分）已知定
18、义在 R 上的连续函数 f（x）满足 f（x）f（4x） ，且 f（2）0，f （x）为函数 f（x）的导函数，当 x2 时，有 f（x）+f（x）0，则不等式 xf（x）0 的解集为（ ） A （0，6） B （2，0） C （，2） D （，2）（0，6） 【解答】解：由 f（x）f（4x） ，且 f（2）0，可得 f（6）0，且函数图象关于 x 2 对称， 令 g（x）exf（x） ，则 g（x）exf（x）+f（x）当， 第 10 页（共 17 页） 因为 x2 时，有 f（x）+f（x）0，即 g（x）0， 所以 g（x）在（，2）上单调递增，根据函数的对称性可得 f（x）在（2，+
19、）上单 调递减，g（x）的大致图象如图所示， 则不等式 xf（x）0 可化为() 0 即 xg（x）0， 所以0 ()0，或 0 ()0， 可得，0x6 或 x2 故不等式的解集（0，6）（，2） 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知抛物线 y22px 的焦点为 F， 准线与 x 轴的交点为 M， N 为抛物线上的一点， 且满足|MN|2|NF|，则NMF 3 【解答】解：过点 N 作 NP准线，交准线于 P， 由抛物线定义知|NP|NF|， 在 RtMPN 中，MPN90， |MN|2|PN|， PMN3
20、0， NMF= 3 故答案为： 3 第 11 页（共 17 页） 14 （5 分）若二项式( 1 ) 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中常数 项为 15 【解答】解：由二项式( 1 ) 展开式中只有第 4 项的二项式系数最大， 即展开式有 7 项，n6； 展开式中的通项公式为 Tr+1= 6 （1）rx63 2 r； 令 6 3 2r0，求得 r4， 故展开式中的常数项为（1）46 4 =15 故答案为：15 15 （5 分）若无穷数列cos（n）（R）是等差数列，则其前 10 项的和为 10 【解答】解：无穷数列cos（n）（R）是等差数列， 0，cos（n）1， 无穷数列
21、cos（n）（R）的前 10 项的和为：S1010110 故答案为：10 16 （5 分）边长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 为上底面 A1B1C1D1的中心，N 为下底面 ABCD 内一点，且直线 MN 与底面 ABCD 所成线面角的正切值为 2，则点 N 的 轨迹围成的封闭图象的面积为 4 【解答】解：如图，由题意知，M 在底面 ABCD 内的投影为底面 ABCD 的中心 O，连接 ON， 则MNO 即为直线 MN 与底面 ABCD 所成线面角， 所以 tanMNO= =2，则 NO= 1 2， 所以 N 的轨迹是以底面 ABCD 的中心 0 为圆心，以1 2为半径的
22、圆， 第 12 页（共 17 页） 则 N 的轨迹围成的封闭图象的面积为 S= 4 故答案为： 4 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17（12 分） 在三棱锥 PABC 中， AB1， BC2， AC= 5， PC= 2， PA= 5， PB= 6， E 是线 段 BC 的中点 （1）求点 C 到平面 APE 的距离 d； （2）求二面角 PEAB 的余弦值 【解答】解：AB2+BC2AC2，PC2+BC2PB2，PA2+AB2PB2， = = = 2， 过点 P 作 PO平面 ABC，垂足为 O，易得 OP1，且 BCOC，BA
23、OA， 四边形 ABCO 为矩形， （1）以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 C（1，0，0） ，E（1，1，0） ，A（0，2，0） ，P（0，0，1） ， = (0， 2，1)， = (1， 1，0)， = (0，1，0)， 设平面 APE 的法向量为 = (，)，则 = 2 + = 0 = = 0 ， 令 x1，则 = (1，1，2)， = | | | | = 6 6 ； 第 13 页（共 17 页） （2）由（1）知平面 APE 的法向量为 = (1，1，2)，取平面 ABE 的一个法向量 = (0，0，1)， 且二面角 PEAB 为钝角，设其为 ，故 = | |
24、| |= 6 3 18 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b， c，且 + = 3，2sin2C3sinAsinB （1）求 C； （2）设 P（1，cosA） ，Q（cosA，1） ，且 AC， 与 的夹角为 ，求 cos 的值 【解答】解： （1）2sin2C3sinAsinB， 2 = 3 2， 由正弦定理得2= 3 2， + = 3， a2+b2+2ab3c2， 根据余弦定理得： = 2+22 2 = 222 2 = 2 = 1 2， = 3 （2） 由 （1） 知 = 3， 代入已知， 并结合正弦定理得： + = 3 2 =
25、1 2 ， 解得 = 1 2或 sinA1（舍去） ， 所以 A30，B90， = 2 = 3， 而| | | | = 1 + 2 2 + 1 = 1 + 2 = 7 4， = 2 1+2 = 3 7 4 = 43 7 19 （12 分）已知一堆产品中有一等品 2 件，二等品 3 件，三等品 4 件，现从中任取 3 件产 第 14 页（共 17 页） 品 （1）求一、二、三等品各取到一个的概率； （2）记 X 表示取到一等品的件数，求 X 的分布列和数学期望 【解答】解： （1）一堆产品中有一等品 2 件，二等品 3 件，三等品 4 件，现从中任取 3 件产品 基本事件总数 n= 9 3 =8
26、4， 一、二、三等品各取到一个包含的基本事件个数 m23424， 一、二、三等品各取到一个的概率 p= = 24 84 = 2 7 （2）记 X 表示取到一等品的件数，则 X 的可能取值为 0，1，2， P（X0）= 7 3 9 3 = 5 12， P（X1）= 2 1 7 2 9 3 = 1 2， P（X2）= 2 2 7 1 9 3 = 1 12， X 的分布列为： X 0 1 2 P 5 12 1 2 1 12 数学期望 E（X）= 0 5 12 + 1 1 2 + 2 1 12 = 2 3 20 （12 分） 已知椭圆 C： 2 3 + 2 2 =1 （b0） 的右焦点为 F， 过 F
27、 作两条直线分别与圆 O： x2+y2r2（r0）相切于 A，B，且ABF 为直角三角形又知椭圆 C 上的点与圆 O 上 的点的最大距离为3 +1 （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）若不经过点 F 的直线 l：ykx+m（其中 k0，m0）与圆 O 相切，且直线 l 与椭 圆 C 交于 P，Q，求FPQ 的周长 【解答】解： （1）椭圆 C 上的点与圆 O 上的点的最大距离为3 +1， 可得3 + 1 + = 3 + 1 = 1； ABF 为直角三角形 = 2 = 2； 又 b2+c23b1 第 15 页（共 17 页） 圆 O 的方程为：x2+y21；椭圆 C 的方程为： 2 3
28、+ 2= 1 （2）ykx+m 与圆相切：则 m2k2+1， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，由 2 3 + 2= 1 = + 得（1+3k2）x2+6kmx+3m230， 由0，得 3k2+1m2（） ，且1+ 2= 6 1+32 ，12= 323 1+32 ， | = 232+ 1 322+1 32+1 = 262+1 32+1 ， | + | = 2 (1+ 2) = 23 + 262+1 32+1 ， FPQ 的周长为| + | + | = 23 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxx+2sinx，f（x）为 f（x）的导函数 （）求证：f（x）在（0，）上存在唯一零
29、点； （）求证：f（x）有且仅有两个不同的零点 【解答】解： （）设() = () = 1 1 + 2， 当 x（0，）时，() = 2 1 2 0， g（x）在（0，）上单调递减 又( 3) = 3 1 + 10，( 2) = 2 10， g（x）在( 3 ， 2)上有唯一的零点 （）由（）知，当 x（0，）时，f（x）0，f（x）在（0，）上单调递增； 当 x（，）时，f（x）0，f（x）在（，）上单调递减； f（x）在（0，）上存在唯一的极大值点( 3 2)， ()( 2) = 2 2 + 22 2 0 ( 1 2) = 2 1 2 + 2 1 2 2 1 2 + 20， f（x）在（0
30、，）上恰有一个零点 f（）ln20，f（x）在（，）上也恰有一个零点； 当 x，2）时，sinx0，f（x）lnxx 第 16 页（共 17 页） 设 h（x）lnxx，() = 1 10， h（x）在，2）上单调递减，h（x）h（）0， 当 x，2）时，f（x）h（x）h（）0 恒成立， f（x）在，2）上没有零点 当 x2，+）时，f（x）lnxx+2， 设 （x）lnxx+2，() = 1 10， （x）在2，+）上单调递减，（x）（2）0， 当 x2，+）时，f（x）（x）（2）0 恒成立， f（x）在2，+）上没有零点 综上，f（x）有且仅有两个零点 四解答题（共四解答题（共 1 小
31、题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 设直线 l1与 l2的交点为 P当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线 C1 （）求出曲线 C1的普通方程； （）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为 ( + 4) = 32，点 Q 为曲线 C1 上的动点，求点 Q 到直线 C2的距离的最大值 【解答】解： （）直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，转换为直角坐标方程为 =
32、 ( + 3) 直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 转换为直角坐标方程为 = 1 3 (3 ) 所以得到 2 3 + 2= 1（y0） （）直线 C2的极坐标方程为( + 4) = 32，转换为直角坐标方程为 x+y60 设曲线 C1的上的点 Q（3，）到直线 x+y80 的距离 d= |3+6| 2 = |2(+ 3)6| 2 ， 第 17 页（共 17 页） 当( + 3) = 1时， = 8 2 = 42 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+1|x2| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）记 f（x）的最大值为 m，且正实数
33、 a，b 满足 1 :2 + 1 2: =m，求 a+b 的最小值 【解答】解： （1）当 x2 时，f（x）x+1（x2）31 恒成立，x2， 当1x2 时，f（x）x+1+x22x11，解得 1x2， 当 x1 时，f（x）（x+1）+x231 不成立，无解， 综上，原不等式的解集为1，+） ； （2）由（1）知 m3，即 1 :2 + 1 2: = 3， + = 1 9 ( + 2) + (2 + )( 1 +2 + 1 2+) = 1 9 (2 + +2 2+ + 2+ +2) 1 9 (2 + 2+2 2+ 2+ +2) = 4 9， 当且仅当:2 2: = 2: :2，即 = = 2 9时等号成立， a+b 的最小值是4 9
