1、2020 年全国普通高等学校统一招生考试（新课标 I 卷）押题猜想卷 数 学（文） 第 I 卷 选择题（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1若集合 | 12Axx ，2,0,1,2B ，则AB （ ） A B0,1 C0,1,2 D 2,0,1,2 【答案】B 【解析】 集合 | 12Axx ，2,0,1,2B ，所以集合0,1AB 。 2已知复数 1 i z i （i为虚数单位） ，则复数z的虚部是（ ） A1 B-1 Ci Di 【答案】B 【解析】 1 i z i 1 1 i 1 i ，
2、 复数z的虚部是1， 故选：B 3某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元，下列说法中错误的是（注：月结余= 月收入一月支出） （ ） A上半年的平均月收入为 45 万元 B月收入的方差大于月支出的方差 C月收入的中位数为 70 D月结余的众数为 30 【答案】C 【解析】 由图可得，上半年的平均月收入为 406030305060 45 6 万元，故 A 正确 由图可得，月收入的方差大于月支出的方差，故 B 正确 由图可得，1 12月的月收入（单位：万元）分别为：40、60、30、30、50、60、80、70、70、80、90、80 所以月收入的中位数为： 6070 65 2
3、，故 C 错误 由图可得，1 12月的月结余（单位：万元）分别为：20、30、20、10、30、30、60、40、30、30、50、30 所以月结余的众数为 30，故 D 正确 故选：C 4已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 y 轴上，且短轴的长为 2，离心率等于 2 5 5 ，则该椭圆的标准方程为 （ ） A 22 1 204 xy B 22 1 204 yx C 2 2 1 5 y x D 2 2 1 5 x y 【答案】C 【解析】 设椭圆C标准方程为： 22 22 10 yx ab ab . 短轴长为2，22b，解得：1b. 离心率 2 5 5 c e a ，又 2222 1abcc
4、， 2 5a， 椭圆C的标准方程为 2 2 1 5 y x. 故选：C. 5已知正方体的棱长为 1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（ ） A18:1 B3:1 C3 3:1 D3:2 【答案】D 【解析】 由正方体性质知，它的外接球的半径为 3 2 R ，内切球的半径为 1 2 r ， 32 43 4 32 VRSr 球球 ， V 球：S球3 ：2 故选：D 6若点 P 在函数 3 ( )3f xxx 的图象上，且函数 3 ( )3f xxx的图象在点 P 处的切线平行于直线 21yx，则点 P 的坐标为（ ） A(1,3) B( 1,3) C(1,3)和( 1,3) D(1)3
5、， 【答案】B 【解析】 设P点坐标为( , )P m n，则 3 3nmm 2 ( )31xfx 由于在点P处的切线平行于直线21yx 故 2 312m ，1m，代入 3 3nmm， 故点P坐标为(1,3)和( 1,3) 又点(1,3)在直线21yx，此时切线与21yx重合，排除 故点P坐标为( 1,3) 故选：B 7如图所示，在ABC中，点D在线段BC上，且3BDDC，若ADABAC ，则 （ ） A 1 2 B 1 3 C2 D 2 3 【答案】B 【解析】 分析：从 A 点开始沿着三角形的边转到 D，则把要求的向量表示成两个向量的和，把BD写成BC的实数 倍，从而得到AD 13 44
6、ABAC，从而确定出 13 , 44 ，最后求得结果. 详解： 3 4 ADABBDABBC 3 () 4 ABACAB 13 44 ABAC， 所以 13 , 44 ，从而求得 1 3 ，故选 B. 8已知函数( ) sin()f xAx （0A，0，0）的部分图象如图所示，其中图象最高点 和最低点的横坐标分别为 12 和 7 12 ，图象在y轴上的截距为3.关于函数 ( )f x有下列四个结论： ( )f x的最小正周期为； ( )f x的最大值为 2； 6 x 为( )f x的一个零点； 6 fx 为偶函数. 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】 根据
7、函数的图象： 7 2() 1212 T ，所以2， 由于2 122 ，解得 3 ， 由(0)3f，整理得sin3 3 A ，解得2A， 当 6 x 时，()2sin()0 633 f ， 故 6 x 为( )f x的一个零点， 由于( )2sin(2) 3 f xx ， 所以 2 ()2sin(2)2sin(2) 6333 f xxx 不是偶函数， 故结论正确， 故选：C 9某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工 件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（ 新工件的体积 材料利用率 原工件的体积 ） （ ） A 8 9 B 8 27
8、 C 3 24( 21) D 3 8( 21) 【答案】A 【解析】 由题意得，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2 2， 圆锥的体积为 12 2 2 2 33 ；其内接正方形的棱长为x，则 22 2 22 2 xx ，解得 2 2 3 x ，所以正 方形的体积为 3 2 216 2 () 327 ，所以原工件材料的利用率为 新工件的体积 材料利用率 原工件的体积 8 9 ，故选 A 10在四棱锥PABCD中，2PBPD，1ABAD ，33PCPA，120BAD，AC平 分BAD，则四棱锥PABCD的体积为（ ） A 6 2 B 6 C 6 3 D
9、3 【答案】A 【解析】 依题意可得, 222 PAABPB , 则PAAB,同理可得PAAD, 因为ABADA. 所以PA 平面ABCD,则PAAC. 因为33PCPA,所以 2 2 336AC . 因为120BAD,且AC平分BAD, 所以四边形ABCD的面积为 33 2 16 22 , 从而四棱锥PABCD的体积为 13 26 3 322 . 故选：A 11在平面直角坐标系xOy中，锐角顶点在坐标原点，始边为 x 轴正半轴，终边与单位圆交于点 5 , 5 Pm ，则sin 2 4 （ ） A 2 10 B 10 10 C 7 2 10 D 3 10 10 【答案】A 【解析】 由题可知：
10、 2 2 5 1 5 m ，又为锐角 所以0m， 2 5 5 m 根据三角函数的定义： 2 55 sin,cos 55 = 所以 4 sin22sincos 5 22 3 cos2cossin 5 由sin 2sin2 coscos2 sin 444 所以 42322 sin 2 4525210 故选：A 12 设函数 ( )yf x 和()yfx， 若两函数在区间 , m n上的单调性相同， 则把区间 , m n叫做( )yf x 的“稳定区间”.已知区间1,2019为函数 1 2 x ya 的“稳定区间”，则实数a的取值范围是（ ） A 2, 1 B 1 ,2 2 C 1 2, 2 D1,
11、2 【答案】C 【解析】 函数 1 2 x y 在R上单调递减,函数2xy 在R上单调递增, 若区间1,2019为函数 1 2 x ya 的“稳定区间”, 则函数 1 2 x ya 与函数2xya在区间1,2019上同增或者同减, 若两函数在区间1,2019上单调递增, 则 1 0 2 20 x x a a 在区间1,2019上恒成立,即 1 1 1 2 2 a a , 所以 1 2 2 a ; 若两函数在区间1,2019上单调递减, 则 1 0 2 20 x x a a 在区间1,2019上恒成立,即 2019 2019 1 2 2 a a ,不等式无解; 综上所述: 1 2, 2 a ,
12、故选:C. 第 II 卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分. 13已知函数 2 2 logf xxa，若 31f，则a_ 【答案】-7 【解析】 根据题意有 2 391floga，可得92a，所以7a ，故答案是7. 14若实数 x，y 满足约束条件 1 1 4 x y xy ，则2xy的最小值为_. 【答案】5 【解析】 约束条件 1 1 4 x y xy 表示的可行域为： 令2xyz，即 1 22 z yx ， 由图可得当直线 1 22 z yx 过点3,1时，z最小，最小值为 5 故答案为：5 15 已知直线l经过点P(4， 3)， 且
13、被圆(x1)2(y2)225截得的弦长为8， 则直线l的方程是_ 【答案】x40 和 4x3y250 【解析】 由已知条件知圆心(1，2)，半径 r5，弦长 m8. 设弦心距是 d，则由勾股定理得 r2d2 2，解得 d3.若 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x4， 圆心到直线的距离是 3，符合题意若 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y3k(x4)，即 kxy 4k30，则 d3，即 9k26k19k29，解得 k ，则直线 l 的方程为 4x3y25 0.所以直线 l 的方程是 x40 和 4x3y250. 16ABC中，内角、 、A B C的对边分别为abc、 、，
14、已知3 sincos ,2,bAaB bABC的面积为 3，则ABC的周长为_. 【答案】42 3 【解析】 因为3 sincosbAaB， 由正弦定理可得，3sinsinsincosBAAB， 因为sin0A， 所以3sincosBB，即 3 tan 3 B 所以30B， 则ABC的面积 1 sin303 24 ac Sac ， 则4 3ac ， 由余弦定理可得， 222 34()8 34 cos 228 3 acac B ac ， 解可得，22 3ac， 所以ABC的周长42 3abc . 故答案为：42 3. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题
15、为必考题，每个 考生都必须作答.22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17已知数列 n a中， 1 1a ，其前 n 项和记为 n S， 1 21 nn aS （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 31 log nn ba ，求数列 nn ab的前 n 项和 n T 【答案】 （1） 1 3 n n a（2） n T 2 31 2 n nn 【解析】 （1）由题意得 1 21 nn aS , 1 21 nn aS （2n）, 两式相减得 11 22 nnnnn aaSSa （2n）, 1 3 nn aa 又 211 21213aSa ,
16、 2 1 3 a a , 1 3 n n a a （n N）, n a是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 1 3 n n a. （2）由（1）可知 1 3 n n a 则 1 3n n a 所以 313 loglog 3n nn ban , 所以 1 3n nn abn 为等比数列与等差数列的和.利用分组求和法可得 0121 3132333n n Tn 0121 3333123 n n 11 3 1 32 n nn 2 31 2 n nn . 18如图 1，平面五边形ABCDE中，/ABCD， 90BAD，2AB ，1CD，ADE是边长为 2 的正三角形.现将ADE沿AD折起，得到四棱锥E
17、ABCD(如图 2)，且DEAB. （1）求证：平面ADE 平面ABCD； （2）在棱AE上是否存在点F，使得/ /DF平面BCE？若存在，求 EF EA 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）证明见解析；2）存在点F， 1 2 EF EA . 【解析】 （1）证明：由已知得ABAD，ABDE，因为ADDED， 所以AB 平面ADE. 又AB平面ABCD，所以平面ADE 平面ABCD. （2）在棱AE上存在点F，使得/ /DF平面BCE，此时 1 2 EF EA . 理由如下： 假设存在点F为AE的中点， 设BE的中点为G，连接CG，FG， 则/FGAB， 1 2 FGAB. 因为/A
18、BCD，且 1 2 CDAB， 所以/FGCD，且FGCD， 所以四边形CDFG是平行四边形， 所以/DFCG. 因为CG 平面BCE，且DF 平面BCE， 所以/ /DF平面BCE. 所以在棱AE上存在点F，使得/ /DF平面BCE，此时 1 2 EF EA . 19随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷，现从某市使用A和B两款订餐软 件的商家中分别随机抽取 100 个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下： (1)已知抽取的 100 个使用A未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为 18 分钟，现从使用A未订餐 软件的商家中“平均送达时间
19、”不超过 20 分钟的商家中随机抽取 3 个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的 概率； (2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数； (3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据， 从A和B两款订餐软件中选择一款订餐， 你会选择哪款？ 【答案】 （1） 1 2 ； （2）40； （3）选B款订餐软件. 【解析】 （1）使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 20 分钟的商家共有100 0.006 106个，分别 记为甲，, , , , ,a b c d e 从中随机抽取 3 个商家的情况如下：共 20 种. , a b甲，, a c甲，, a d甲，,
20、a e甲，, b c甲，, b d甲，, b e甲，,c dc e甲，甲，, ,d e甲，, ,a b c, ,a b d, ,a b e, ,a c d, ,a c e, ,a d e, ,b c d, ,b c e, ,b d e, ,c d e. 甲商家被抽到的情况如下：共 10 种 , a b甲，, a c甲，, a d甲，, a e甲，, b c甲，, b d甲，, b e甲，, c d甲，, c e甲， ,d e甲， 记事件A为甲商家被抽到，则 101 202 P A . （2）依题意可得，使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为 55，平均数为 15 0.06 25 0.
21、34 350.12 45 0.04 55 0.4 65 0.0440. （3）使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 15 0.04 25 0.2 35 0.56 45 0.14 55 0.04 65 0.023540 所以选B款订餐软件 20已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点 1,2A为抛物线C上一点. （1）求C的方程； （2）若点1, 2B在C上，过B作C的两弦BP与BQ，若 2 BPBQ kk ，求证:直线PQ过定点. 【答案】 （1） 2 4yx或 2 1 2 xy； （2）证明见解析 【解析】 （1）当焦点在x轴时，设C的方程为 2 2xpy，代人点1,2A得
22、2 4p ，即 2 4yx.当焦点在y轴时， 设C的方程为 2 2xpy，代人点1,2A得 1 2 2 p ，即 2 1 2 xy， 综上可知：C的方程为 2 4yx或 2 1 2 xy. （2）因为点1, 2B在C上，所以曲线C的方程为 2 4yx. 设点 1122 ,P x yQ x y， 直线:PQ xmyb，显然m存在，联立方程有： 22 1212 440,16,4 ,4ymybmbyym y yb . 12 1212 2244 2,2,2 1122 BPBQ yy kk xxyy , 即 1212 2120,48120y yyybm即32bm. 直线 :PQ 即32 ,xm y 直线
23、PQ过定点3,2. 21已知函数 ( )ln(1)f xxa x=- ，Ra （1）讨论函数 ( )f x的单调性； （2）当1x 时， ln ( ) 1 x f x x 恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1) 若0a ， ( )f x在(0,)上单调递增；若 0a， ( )f x在 1 (0,) a 上单调递增，在 1 (,) a 上单 调递减;(2) 1 ,) 2 【解析】 （1） f x的定义域为0,， 1ax fx x ， 若0a ，则 0fx 恒成立， f x在0,上单调递增； 若0a，则由 1 0fxx a ， 当 1 0,x a 时， 0fx ；当 1 ,x a 时， 0fx
24、 ， f x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减 综上可知：若0a ， f x在0,上单调递增； 若0a， f x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减 （2） 2 ln1 ln 11 x xa x x f x xx ， 令 2 ln1g xx xa x ，1x ， ln1 2g xxax ，令 ln1 2h xg xxax ， 12ax h x x 若0a ， 0h x ， g x 在1,上单调递增， 11 20g xga ， g x在1,上单调递增, 10g xg， 从而 ln 0 1 x fx x 不符合题意 若 1 0 2 a ，当 1 1, 2
25、x a ， 0h x ， g x 在 1 1, 2a 上单调递增， 从而 11 20g xga ， g x在1,上单调递增, 10g xg， 从而 ln 0 1 x fx x 不符合题意 若 1 2 a ， 0h x在1,上恒成立， g x 在1,上单调递减， 11 20g xga ， g x在1,上单调递减, 10g xg， ln 0 1 x fx x 综上所述，a 的取值范围是 1 , 2 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 22在直角坐标系xOy中，半
26、圆 C 的参数方程为 1cos sin x y （为参数，0） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （）求 C 的极坐标方程； （）直线l的极坐标方程是(sin3cos )5 3，射线 OM： 3 与半圆 C 的交点为 O、P，与 直线l的交点为 Q，求线段 PQ 的长. 【答案】 （1）2cos ,0, 2 ； （2）4. 【解析】 （）半圆 C 的普通方程为 22 (1)1(01)xyy，又 cos ,sinxy ， 所以半圆 C 的极坐标方程是2cos ,0, 2 （5 分） （）设 11 (,) 为点 P 的极坐标，则有 11 1 2cos 3 ，解得 1 1 1
27、3 ， 设 22 (,) 为点 Q 的极坐标，则有 222 2 (sin3cos)5 3 3 解得 2 2 5 3 ， 由于 12 ，所以 12 4PQ，所以 PQ 的长为 4 （10 分） 23设函数( )2 13f xxax . （1）当4a时,求不等式( )6f x 的解集； （2）若关于x的不等式( )2f x 恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1) 4,2 (2) (, 128,) 【解析】 （1）当4a时，不等式( ) 6f x 化为2|2|1|9xx 当2x 时，不等式为2(2)1 9xx ，即4x，有42x ； 当21x 时，不等式为2(2)1 9xx ，即4x，有21x
28、； 当1x 时，不等式为2(2)1 9xx ，即2x，有12x ； 综上所述，当4a时，求不等式( )6f x 的解集为 4,2. （2）( ) |2|1| 3 2f xxax ，即( ) |2|1|5g xxax. 当2a 时，( )3|1| 5g xx不恒成立； 当2a时， 31,1, ( )1,1, 2 31, 2 xax a g xxax a xax ， 有 min ( )1 5 22 aa g xg ，即12a. 当2a 时， 31, 2 ( )1,1, 2 31,1, a xax a g xxax xax 有( )min1 5 22 aa g xg ，即8a. 综上所述，a的取值范围为(, 128,) .
