1、高中数学常用公式及常用结论1.包含关系集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为； 空集是任何集合的子集，记为； 空集是任何非空集合的真子集；2.四种命题的形式及相互关系：原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；否命题：若P则q；逆否命题：若q则p。、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。2集合的子集个数共有 个；真子集有个；非空子集有 1个；非空的真子集有2个.3.充要条件若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条
2、件pq且qp4.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立xM，p(x)x0M，p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立x0M，p(x0)xM，p(x)4二次函数的解析式的三种形式一般式f（x）=ax2+bx+c（a0）；顶点式f（x）=a（xh）2+k（a0）；零点式f（x）=a（xx1）（xx2）（a0）。5.函数的单调性(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.6.函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x
3、1,x2,若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数；若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.7奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数8.若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.9.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.10.若,则函数的图象关于点
4、对称; 若,则函数为周期为的周期函数.11.函数的图象的对称性(1)函数的图象关于直线对称.(2)函数的图象关于直线对称.12.几个常见的函数方程 (1)正比例函数(2)指数函数(3)对数函数(4)幂函数,.(5)余弦函数,正弦函数13.几个函数方程的周期(约定a0)（1），则的周期T=a；（2），或，或,则的周期T=2a；(3)，则的周期T=3a；14.分数指数幂 (1)（，且）.(2)（，且）.15根式的性质（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.16.指数式与对数式的互化式 .17.对数的换底公式 (,且,且, ).推论 (,且,且, ).18对数的四则运算法则若a0，a1，M0，N0
5、，则(1);(2) ;(3).19.设函数,记.若的定义域为,则，且;若 的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.20. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.11关于零点的几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0（或0），如果a与ax2 +bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2 + bx + c 异号，则其解集在两根之间。简言之：同号两根之外，异号两根之间。；，或2.3基
6、本不等式（1）设，则，当且仅当时，等号成立（2）若，则，当且仅当时，等号成立（3）若，则，当且仅当时，等号成立其中，称为调和平均数，称为几何平均数，称为算术平均数，称为平方平均数2.4. 柯西不等式（1）柯西不等式简单形式：，（2）柯西不等式向量形式：（3）二维形式的三角不等式：21. 数列前n项和与数列通项公式之间的关系 ( 数列的前n项的和为).22.等差数列的通项公式；等差数列的前n项和公式为23.等比数列的通项公式；等比数列的前n项的和公式为或.24常见三角不等式（1）若，则.(2) 若，则.25.同角三角函数的基本关系式 ，=26.正弦、余弦的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正
7、弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限27.和角与差角公式 ; ;.=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).28.二倍角公式 . （升幂公式）cos2；sin2；(降幂公式）.29.三角函数的周期公式 函数，xR及函数，xR(A,为常数，且A0，0)的周期；函数，(A,为常数，且A0，0)的周期.30.正弦定理.31.余弦定理;.32.面积定理（1）（分别表示a、b、c边上的高）.（2）.33.三角形内角和定理 在ABC中，有.34.平面向量基本定
8、理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底35. a与b的数量积(或内积)ab=|a|b|cos，其中为向量的夹角36. ab的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积37.平面向量的坐标运算(1)设a=,b=，则a+b=.(2)设a=,b=，则a-b=. (3)设A，B,则.(4)设a=，则a=.(5)设a=,b=，则ab=.两向量的夹角公式(a=,b=).平面两点间的距离公式 =(A，B).向量的平行与垂直 设a=
9、,b=，且b0，则a|bb=a .ab(a0)ab=0.38.三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为、,则ABC的重心的坐标是.39. 三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.（5）为的的旁心.40.基本不等式：（1）(当且仅当ab时取“=”号)（2）(当且仅当ab时取“=”号)注：已知都是正数，则有（1）若积是定值，则当时和有最小值；（2）若和是定值，则当时积有最大值.41.含有绝对值的不等式 当a 0时，有.或.42.指数不等式与对数不等式 (1)当时：; .(2)当时：;43.斜率公
10、式 （、）.44.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线过点，且斜率为)（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).（3）两点式 ()(、 ().(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)（5）一般式 (其中A、B不同时为0).45.两条直线的平行和垂直 (1)若，; .(2)若,且A1、A2、B1、B2都不为零,； ；46常用直线系方程(1)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线平行的直线系方程是()，是参变量(2)垂直直线系方程：与直线 (A0，B0)垂直的直线系方程是,是参变量47.点到直线的距离 (点,直线：).48. 圆的方程（1）圆的标准方程 .（2）圆
11、的一般方程 (0).（3）圆的参数方程 .即三角换元49.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.50.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:; ; .其中.51.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，; ; ;.52.圆的切线方程(1)已知圆若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 .当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线(2)已知圆过圆上的点的切线方程为;斜率为的圆
12、的切线方程为.53椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c0，c0，且a，c为常数椭圆的标准方程和几何性质标准方程1 (ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b
13、2c2 椭圆的切线方程 （1）椭圆上一点处的切线方程是. （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是54.双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c2a，其中a，c为常数且a0，c0.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其
14、中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：. (2)若渐近线方程为双曲线可设为. (3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.双曲线的切线方程 (1)双曲线上一点处的切线方程是. （2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是55.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点
15、，直线l叫做抛物线的准线抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径x0x0y0y0通径长2p 抛物线的焦半径公式抛物线焦半径.过焦点弦长.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 . 56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 |AB|(k为直线斜率)39椭圆的参数方程是。（圆和椭圆的参数方程一定要过关）40椭圆焦半径公式。（自己还可以适当化简）41双曲线的焦
16、半径公式。（点p在左支或者右支的时候，上面的公式都可以去绝对值符号的，作题时自己灵活处理）42抛物线y2=2px上的动点可设为或P（）或P（x，y），其中。（强烈建议理解：以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切）43二次函数的图像是抛物线：（1）顶点坐标为（）；44直线与圆锥曲线相交的弦长公式或（注意和韦达定理结合使用）（弦端点A（），B（），由方程消去y得到，0，为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，以上化简思路再结合韦达定理使用，是很多圆锥曲线解答题的常用解题技巧）45圆锥曲线的对称问题：曲线F（x，y）=0关于点P（）成中心对称的曲线是。（可以利用中点坐标公式推导之）。46对于一般的
17、二次曲线，用代，用代，用代入xy，用代x，用代入y即得方程，曲线的切线、切点弦方程均可由此方程得到。57（1）线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)lb（2）面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行ab（
18、3）直线与平面垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab（4）平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l 1.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。58.共线向量定理对空
19、间任意两个向量a、b(b0 )，ab存在实数使a=b三点共线.、共线且不共线且不共线.59.共面向量定理 向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，或对空间任一定点O，有序实数对，使.60.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使.61.空间向量的直角坐标运算设a，b则(1)ab；(2)ab；(3)a (R)；(4)ab；62.设A，B，则= .63空间的线线
20、平行或垂直设，则；.64.夹角公式 设a，b，则cosa，b=.65（1）异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）（2）直线与平面所成角(为平面的法向量).（3）.二面角的平面角或 （，为平面，的法向量）.66.（1）空间两点间的距离公式 若A，B，则 =.（2）.异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).（3）点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.67.球的半径是R，则其体积,其表面积68.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体
21、的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.69柱体、锥体的体积（是柱体的底面积、是柱体的高）.（是锥体的底面积、是锥体的高）.70.分类计数原理（加法原理）.分步计数原理（乘法原理）71.排列数公式 =.(，N*，且)注:规定.72.组合数公式 =(N*，且).73.组合数的两个性质(1)= ; (2) +=.注:规定.(3).(4). (5).74.排列数与组合数的关系 .75.二项式定理 ;二项展开式的通项公式.76.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率77.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）; （2）.
22、78.数学期望数学期望的性质（1）. （2）若,则.方差标准差 =.方差的性质(1)； (2）若，则.79.正态分布密度函数，式中的实数，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.80.回归直线方程 ，其中.81.相关系数 |r|1，且|r|越接近于1，相关关系越强；|r|越接近于0，相关关系越弱.82.在处的导数（或变化率或微商）.83. 函数在点处的导数的几何意义函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.84.几种常见函数的导数(1) （C为常数）.(2) .(3) .(4) .(5) ；.(6) ; .85.导数的运算法则（1）.（2）.（3）.（1）（C为常数）（2）
23、（3）（4）（5）；。（6）。92复合函数的求导法则设函数在点x处有导数，函数在点x处的对应点U处有导数，则复合函数在点x处有导数，且，或写作。93可导函数y = f（x） 的微分dy = （x）dx。86.复合函数的求导法则 设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.87.判别是极大（小）值的方法当函数在点处连续时，（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.88.复数的相等.（）89.复数的模（或绝对值）=.90.复数的四则运算法则 (1);(2);(3);(4).65排列数与组合数的关系是：66二项式定理
24、 ；二项展开式的通项公式：（r=0，1，2，n）。（注意通项的下标）67等可能性事件的概率。68互斥事件A，B分别发生的概率的和P（AB）=P（A）P（B）。69n个互斥事件分别发生的概率的和P（A1A2An）=P（A1）P（A2）P（An）。70独立事件A，B同时发生的概率P（AB）= P（A）P（B）。71n个独立事件同时发生的概率P（A1A2An）=P（A1）P（A2）P（An）。72n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率。73离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）（i=1，2，）；（2）。74数学期望75数学期望的性质：（1）E（a+b）=aE（）+b；（2）若B（n，p），则E
25、= np。（要将n 次独立重复实验有k 次发生这样一个问题与二项分布联系起来）76方差（还有一个变形公式可以求方差，你记得吗？在下面会有的）77标准差。（了解，防止你看到标准差的符号不认识，呵呵）78方差的性质（1）；（2）；（3）若，则。79正态分布密度函数，式中的实数，（）是参数，分别表示个体的平均数与标准差。（了解即可）80标准正态分布密度函数。（了解即可，但是要注意其概率分布图的特点，包括阴影部分面积所表示的含义，考的概率不大，但是要防止考小题。）81对于N（，2），取值小于x的概率。（个人觉得：要理解之，考的概率不大，但是还是要防止出小题。）82特殊数列的极限（1）（2）（3）（S无
26、穷等比数列的和）。84函数的夹逼性定理如果函数在点的附近满足：（1）；（2）（常数），则。本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立。（个人觉得：有必要了解一下，防止出新题）85两个重要的极限（1）；（2）。（个人觉得需要了解一下，防止出新题。看不懂也不要有压力，这是超范围的。）86f（x）在处的导数（或变化率或微商）87瞬时速度。88瞬时加速度。（注意这个物理意义）89在（a，b）的导数。90函数y = f（x） 在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是。91几种常见函数的导数94注意构造新的函数，再利用导数的有关性质来解题的解题技巧。95a+bi=c+dia=c，b=d。（a，b，c，dR）96复数z=a+bi的模：|z|=|a+bi|=。97复数的四则运算法则（1）（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；（2）（a+bi）（c+di）=（ac）+（bd）i；（3）（a+bi）（c+di）=（acbd）+（bc+ad）i；（4）（c+di0）98.极坐标与直角坐标互换99.圆的参数方程100.椭圆参数方程
