1、高三教学质量检测(二)理科数学试题 第 1 页 共 4 页 20192020 学年佛山市普通高中高三教学质量检测学年佛山市普通高中高三教学质量检测(二二) 数 学数 学(理科理科) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效 4请考生保持答题
2、卷的整洁考试结束后，将答题卷交回 第卷第卷(选择题 共选择题 共 60 分分) 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1已知集合 2 |2 Ax xx， |13Bxx，则AB （ ） A |01xx B |0x x 或1x C |23xx D |1x x 或3x 2复数z满足(2)(1 i)3iz ，则| z （ ） A1 B2 C3 D2 3 10 (1)x的二项展开式中，x的系数与 4 x的系数之差为（ ） A220 B
3、90 C90 D0 4设变量, x y满足约束条件 20 30 230 x xy xy ，则目标函数6zxy的最大值为（ ） A3 B4 C18 D40 5设函数 2 sincoscos2f xxxx，则下列结论错误的是（ ） A f x的最小正周期为 B yf x的图像关于直线 8 x 对称 C f x的最大值为2 1 D f x的一个零点为 7 8 x 6已知 33 loglog 2a ， 2 3 log 2b ， 3 2log 2c ，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dbac 7已知点(3, 2)A在抛物线 2 :2(0)C xpy p的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切
4、于点 B，记抛物线的焦点为F，则|BF （ ） A6 B8 C10 D12 8盒中有形状、大小都相同的 2 个红色球和 3 个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加 入同色球 4 个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） A 3 5 B 7 9 C 7 15 D 31 45 2020 年年 4 月月 高三教学质量检测(二)理科数学试题 第 2 页 共 4 页 92019 年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量 稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为 57.8%下图为 2019 年居民消费
5、价格月度涨跌幅度： （ 100% 本期数去年同期数 同比= 去年同期数 ，100% 本期数上期数 环比= 上期数 ） 2019年居民消费价格月度涨跌幅度 1.7 1.5 2.3 2.5 2.72.7 2.82.8 3.0 3.8 4.54.5 0.5 -0.4 0.1 0.0 -0.1 0.4 0.7 0.90.9 1.0 0.4 0.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月 % 月度同比月度环比 下列结论中不正确的是（ ） A2019 年第三季度的居民消费价格一直都在增长 B2018 年 7 月份的居民消费价格比同年
6、 8 月份要低一些 C2019 年全年居民消费价格比 2018 年涨了 2.5%以上 D2019 年 3 月份的居民消费价格全年最低 10已知P为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上一点，O为坐标原点， 12 ,F F为曲线C左右焦点若 2 OPOF，且满足 21 tan3PF F，则双曲线的离心率为（ ） A 5 2 B2 C 10 2 D3 11 已知, ,A B C是球O的球面上的三点，60AOBAOC ， 若三棱锥OABC体积的最大值为1， 则球O的表面积为（ ） A4 B9 C16 D20 12双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的
7、曲线在平面直角坐标系xOy 中， 把到定点 12 (,0),( ,0)FaF a距离之积等于 2( 0)aa 的点的轨迹称为双纽线C 已知点 00 (,)P xy是 双纽线C上一点，下列说法中正确的有（ ） 双纽线C关于原点O中心对称； 0 22 aa y； 双纽线C上满足 12 | |PFPF的点P有两个；|PO的最大值为2a ABC D 第卷第卷(非选择题 共非选择题 共 90 分分) 本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 2223 为选 考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分
8、，满分 20 分分 13设命题 2 1 :(0,),e1 2 x pxx ，则p为 高三教学质量检测(二)理科数学试题 第 3 页 共 4 页 P N D C M B A 14已知函数 2 (1 sin ) 1 ( ) 2 xxx f x x ，若( )3f a ，则()fa 15在面积为1的平行四边形ABCD中， 6 DAB，则AB BC _；点P是直线AD上的动 点，则 22 PBPCPB PC 的最小值为_ 16数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度， 采用“两次测角法” ，并自制了测量工具：将一个量角器放在复 印机上放大 4 倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶
9、仰角（如图） ；推动自行车来测距（轮子滚动一周为 1.753 米） 该小组在操场上选定 A 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角 在量角器上度数为37；推动自行车直线后退，轮子滚动了 10 圈达到 B 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53测量者站立时的“眼高”为 1.55m，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为 米 （精确到0.1） 参考数据： 3 sin37 5 ， 4 sin53 5 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 小题，共小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 12
10、 分) 已知等比数列 n a的前n项和为0 nn SS ，满足 123 ,S SS成等差数列，且 123 a aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 3 (1)(1) n n nn a b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 18(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，3PAPD，6PBPC， 90APBCPD ，点,M N分别是棱,BC PD的中点 （1）求证：/ /MN平面PAB； （2）若平面PAB 平面PCD， 求直线MN与平面PCD所成角的正弦值 19(本小题满分 12 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab
11、的离心率为 2 2 ，且过点(2,1) （1）求椭圆C的方程； （2）过坐标原点的直线与椭圆交于,M N两点，过点M作圆 22 2xy的一条切线，交椭圆于另一 点P，连接PN，证明：| |PMPN 高三教学质量检测(二)理科数学试题 第 4 页 共 4 页 x 残差 O 5 -5 10 15 20 -10 -15 -20 1357911 20(本小题满分 12 分) 2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济总量超万亿元新起点上 开启发展新征程的重要历史节点作为制造业城市，佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置 和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制造业
12、创新中心，走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新 发展之路 在推动制造业高质量发展的大环境下， 佛山市某工厂统筹各类资源， 进行了积极的改革探索 下 表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量520xx（件）与相应的生产总成本y（万元）的四组 对照数据 x579 11 y 200298431609 工厂研究人员建立了y与x的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下： 模型： 3 173 3 x y ； 模型：68160yx 其中模型的残差（实际值预报值）图如图所示： （1）根据残差分析，判断哪一个更适宜作为y关于x的回归方 程？并说明理由； （2）市场前景风云变幻，研究人员统计历年的销售数据得到
13、每件 产品的销售价格q（万元）是一个与产量x相关的随机变量，分布列为： q 140 2 x 130 2 x 100 2 x P0.50.40.1 结合你对（1）的判断，当产量x为何值时，月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？ 21(本小题满分12分) 已知函数( )sin ()f xxax xa （1）若( )0f x 恒成立，求a的取值范围； （2）若 1 4 a ，证明：( )f x在 (0,) 2 有唯一的极值点 0 x，且 00 0 1 () 2 f xx x 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号题中任选
14、一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号 22(本小题满分 10 分)选修44:坐标系与参数方程选讲 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos ( 22sin xt t yt 为参数)，以坐标原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4cos （1）说明 1 C是哪种曲线，并将 1 C的方程化为极坐标方程； （2）设点M的极坐标为(4,0)，射线 (0) 2 与 1 C的异于极点的交点为A，与 2 C的异于 极点的交点为B，若 4 AMB，求tan的值 23(本小题满分 10 分)选修45:不等式选讲 已知函数( )2co
15、s15 ,f xxaaa R （1）若(0)8f，求实数a的取值范围； （2）证明：对x R， 1 ( )51f xa a 恒成立 理科数学参考答案与评分标准第 1页（共 4页） 20192020 年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）年佛山市普通高中高三教学质量检测（二） 数数 学学(理理科科)参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一、选择题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 题号题号123456789101112 答案答案BADCDACADCCB 二、填空题：二、填空题：本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 13 0 2 00 1 (0,),e1
16、2 x xx 144153（2 分） ，3（3 分）1631.6 三三、解答解答题题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【解析解析】 （1）设数列 n a的公比为q，依题意，得 132 ()2SSS ，1 分 所以 2312 ()2()aaaa，得 2 11 ()2(1)a qqaq，且 1 0a ， 所以 2 320qq，解得1q 或2q ，3 分 因为0 n S ，所以2q ，4 分 又因为 123 a aa，得 22 11 a qa q，则 1 aq，所以( 2)n n a 6 分 （2）由（1）得 1 111 3( 2)( 2)( 2)11
17、 ( 2)1( 2)1( 2)1( 2)1( 2)1( 2)1 nnn n nnnnnn b ，8 分 所以 12231 111111 ( 2)1( 2)1( 2)1( 2)1( 2)1( 2)1 n nn T 1 11 1( 2)2 1 ( 2)1( 2)1 n nn 12 分 18 【解析解析】 （1）取PA的中点为Q，连接,NQ BQ， 又点N是PD的中点，则/ /NQAD且 1 2 NQAD 又点M是BC的中点，底面ABCD是矩形， 则 1 2 BMAD且/ /BMAD2 分 / /NQBM且NQBM，四边形MNQB是平行四边形， / /MNBQ，又MN 平面PAB，BQ 平面PAB，
18、/ /MN平面PAB4 分 （2）过点P作PEAB交AB于点E，作PFCD交CD于点F，连接EF 则PFAB，PEPFP，AB 平面PEF，又AB 平面ABCD，平面PEF 平面ABCD 3PAPD，6PBPC，90APBCPD ， 3ABCD，2PEPF，2BECF，1AEDF 平面PAB 平面PCD，90EPF 2EF 取EF的中点为O，连接OP，则OPEF，1OP 8 分 以O为坐标原点，分别以,OM OF OP所在直线为, ,x y z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，则 (0,0,1)P，(2,1,0)C，( 1,1,0)D ，(2,0,0)M， 1 1 1 (, ) 2 2
19、2 N ，所以(2,1, 1)PC ，( 1,1, 1)PD ， 5 1 1 (, ) 2 2 2 MN ，设平面PCD的一个法向量为( , , )x y zn，则由 0 20 PAxyz PDxyz n n ， 可取(0,1,1)n10 分 理科数学参考答案与评分标准第 2页（共 4页） 设直线MN与平面PCD所成角为，则 |16 sin 9|3 3 2 2 MN MN n n ， 所以直线MN与平面PCD所成角的正弦值为 6 9 12 分 19 【解析解析】 （1）设椭圆的半焦距为c，由题设，可得 22 241 ,1 2 c aab ，结合 222 abc， 解得 22 6,3ab，所以椭
20、圆C的方程为： 22 1 63 xy 4 分 （2）当直线PM的斜率不存在时，依题意，可得直线PM的方程为2x 或2x 若直线:2PM x ，直线:MN yx，可得( 2,2)M，(2,2)N ，( 2,2)P， 则| 2 2PM ，| 2 2PN ，所以| |PMPN； 其他情况，由对称性，同理可得| |PMPN6 分 当直线PM斜率存在时，设直线PM的方程为ykxm， 直线PM与圆 22 2xy，圆心O到直线PM的距离为 2 2 1 m k ，即 2 |2(1)mk7 分 设 1122 ( ,),(,)M x yP xy，则 11 (,)Nxy， 联立 22 1 63 ykxm xy ，消
21、元y，整理得 222 (12)4260kxkmxm 则 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 26 12 m x x k 22 222 121212 2 2 2 114 11()4 12 kk PMkxxkxxx x k 9 分 22 1212 ()()PNxxyy， 1212 22 42 ()2()2 1212 kmm yyk xxmkm kk ， 2 22 222 21442 ()() 121212 mkkmm PN kkk 2 |2(1)mk， 22 2 2 2 114 | 12 kk PNPM k 综上可知PMPN成立12 分 20.【解析解析】 （1）模型的残差数据如
22、下表： x57911 y 200298431609 e 20182121 模型的残点图如图所示 2 分 （只要算出残差或残差绝对值，或直接画出残差图，即给 2 分） 模型更适宜作为y关于x的回归方程，因为：3 分 理由 1：模型这个 4 个样本点的残差的绝对值都比模型的小 理由 2：模型这 4 个样本的残差点落在的带状区域比模型的带 状区域更窄 理由 3：模型这 4 个样本的残差点比模型的残差点更贴近x轴 （写出一个理由即可得分）5 分 （2）设月利润为Y，由题意知Yqxy，则Y的分布列为： 理科数学参考答案与评分标准第 3页（共 4页） Y 23 140(173) 23 xx x 23 13
23、0(173) 23 xx x 23 100(173) 23 xx x P0.50.40.1 232323 121 ( )(140173)(130173)(100173) 2322352310 xxxxxx E Yxxx 32 132173 32 xx x 9 分 设函数 32 ( )132173,(0,) 32 xx f xxx ， 2 ( )132fxxx ， 令( )0fx，解得11x 或12x （舍） ， 当(0,11)x时，( )0fx，则( )f x单调递增；当(11,)x时，( )0fx，则( )f x单调递减 则函数( )f x的最大值 4649 (11) 6 f， 即产量为11
24、件时， 月利润的预报期望值最大， 最大值是774.8万元 12 分 21 【解析解析】 （1）由( )0f a ，得sin0a，即sin0a ，解得2 2 ,kakkZ1 分 以下证明，当2 2 ()kakkZ时，( )0f x 为此先证：sin (0)xx x 若1x ，则1sinxx ； 若01x，则xx令( )sin (0)g xxx x，可知( )1 cos0g xx ，故( )(0)0g xg， 即sin (0)xx x，故sin (0)xx x3 分 若2 2 ()kakkZ，则当2 axk时，sin0x ，故0sinxax，即( )0f x ； 当2 xk时，2 xaxk，由si
25、n (0)xx x，得2 sin(2 )sinxkxkx 故当2 2 ()kakkZ时，( )0f x 综上，所求a的取值范围是 |2 2 ,akakkZ5 分 （2） 1 ( )cos 2 fxx xa ，令 1 ( )cos 2 g xx xa ， 3 2 1 ( )sin 4() g xx xa ， 6 分 1 4 a ，( )g x是 (0,) 2 上的增函数，又(0)0 g ， 3 2 1 ( )10 2 4() 2 g a ， 故存在唯一实数 0 (0,) 2 t ，使 0 ( )0g t，当 0 (0, )xt时，( )0g x，( )g x递减；当 0 ( ,) 2 xt时，
26、( )0g x，( )g x递增又 1 4 a ，则 1 4 a ， 1 2 a，21a， 1 (0)10 2 g a ， 1111 ( )(1)0 322 2 33 g aa ， 1 ( )0 2 2 2 g a ， 故存在唯一实数 0 (,) 3 2 x ，使 00 0 1 ()cos0 2 g xx xa 8 分 当 0 (0,)xx时，( )( )0fxg x，( )f x递减；当 0 (,) 2 xx时，( )( )0fxg x，( )f x递增 所以( )f x在区间 (0,) 2 有唯一极小值点 0 x，且极小值为 000 ()sinf xxax 理科数学参考答案与评分标准第 4
27、页（共 4页） 又由 00 0 1 ()cos0 2 g xx xa ，得 0 0 1 2cos xa x ， 00 0 1 ()sin 2cos f xx x ， 又 0000 00 11 ()(sin) 2cos2cos f xxxx xx 10 分 以下只需证明 00 11 2cos2xx ，即证 00 02cos2xx 0 (0,) 2 x ， 0000 2cos2sin()2()2 22 xxxx， 则 0000 000 111 ()(sin) 2cos2cos2 f xxxx xxx ，所以 00 0 1 () 2 f xx x 12 分 22 【解析解析】 （1） 1 C是圆心为
28、(0,2)，半径为2的圆2 分 可得 1 C的直角坐标方程为 22 (2)4xy，即 22 40xyy 代入 222 xy，siny，得 2 4 sin0，所以 1 C的极坐标方程为4sin5 分 （2）设 1 (, )A ， 2 (, )B ，| 4sinOA，| 4cosOB， | | 4cos4sinABOBOA，| 4OM ，| 4sinBM，8 分 4 AMB，| |ABBM，则4cos4sin4sin， 即cos2sin，所以 1 tan 2 10 分 23.【解析解析】 （1）(0)2158faa，即156aa1 分 当5a 时，不等式化为 156 5 aa a ，解得6a ； 当15a时，不等式化为 156 15 aa a ，此时a无解； 当1a 时，不等式化为 156 1 aa a ，解得0a 综上，原不等式的解集为 |0x a 或6x 5 分 （2）要证明对x R， 1 ( )51f xa a 恒成立.只需证明 对x R， 1 2cos11xa a 恒成立.即证明 min 1 11(2cos )ax a ， min (2cos )2x ， 1 112a a ，即 1 112a a 8 分 1111 11112aaaa aaaa ，所以原命题得证10 分
