1、教材同步复习第一部分 第6章圆解题方法突破篇圆中常见辅助线的作法类型类型1连半径构造等腰三角形连半径构造等腰三角形 已知AB是O的一条弦，连接OA，OB，则AB.【模型分析模型分析】在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题 如图，O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CEOB.已知DOB72，则E等于()B例1题图【解题思路解题思路】第一步：根据圆的半径相等，可得等腰三角形；第二步：根据三角形的外角性质，可得关于E的方程；第三步：解方程即可得E的度数第1题图1如图，点A，B，C在O上，BC6
2、，BAC30，则O的半径为_6第2题图2如图，O的直径是AB，BPQ45.若O的半径是4，则弦BQ_4 2第3题图3如图，A，B，C三点均在O上若OAC12，ACB32，则CAB_.46类型类型2构造直角三角形构造直角三角形如图1，已知AB是O的直径，C是O上一点，连接AC，BC，则ACB90.如图2，已知AB是O的一条弦，过点O作OEAB，则OE2AE2OA2.【模型分析】(1)如图1，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路，在证明有关问题中注意90的圆周角的构造(2)如图2，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦
3、组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算 如图，AB为O的直径，ACD内接于O，BAD3C，则C度数为()A20 B22.5C25 D30B例2题图【解题思路解题思路】第一步：连接BD，根据圆周角定理得到ADB90，BC；第二步：根据题意列式计算即可求解4如图，ABC是O的内接三角形，BAC45，BC5，O的直径为()A5 B5C5 D1023B第4题图5如图，O是ABC的外接圆，直径AD4，ABCDAC，则AC的长为()A2 B2C4 D4 22A第5题图第6题图6如图，在半径为6的O中，劣弧 的度数是120，则弦AB的长是_7如图，O是ABC的外接圆，CDAB，cos ACD ，BC2，
4、则O的半径为_AB35536 3第7题图类型类型3共端点，等线段模型共端点，等线段模型图1图2OAOBOC，A，B，C三点到点O的距离相等，A，B，C三点在以O为圆心，OA长为半径的圆上(如图1)如图2，ACB是 所对的圆周角，AOB是 所对的圆心角，ACB AOB.同理可证BAC BOC.1212ABAB【模型分析模型分析】出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆，三条线段相等，三点共圆注意事项：(1)若有共端点的三条等长线段，可考虑构造辅助圆；(2)构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题 如图，四边形ABCD中，ABCD，ABACAD4，BC2，求BD的长例3题图【解题思路解
5、题思路】第一步：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交A于F；第二步：连接DF.在BDF中，由勾股定理即可求出BD的长【解答】【解答】ABACAD4，如答图，点B，C，D在以A为圆心，AB长为半径的同一个圆上，以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交A于点F，连接DF.DCAB，DFCB2，BF448.FB是A的直径，FDB90，BD 2 .DEBC 22BFDF 2282 15例3题答图8如图，四边形ABCD中，ABCD，且ABACADa，BCb，且2ab.求cos DBA的值第8题图解：解：如答图，以点如答图，以点A为圆心，为圆心，AD长为半径作圆延长长为半径作圆延长BA交交A于点于点E
6、，连接连接ED，ABCD，CABDCA，DAECDA.ACAD，DCACDA，DAECAB.在在ABC和和AED中，中，,ACADCABDAEABAE 第8题答图第8题答图ABCDAE(SAS)，EDBCb.BE是A的直径，EDB90.在RtEDB中，EDb，BE2a，由勾股定理得，ED2BD2BE2，BD ，cos DBA .22BEED 22(2)ab 224ab BDBE2242aba 类型类型4直角三角形共斜边模型直角三角形共斜边模型 如图1，图2，RtABC和RtABD共斜边，取AB的中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OCODOAOB，A，B，C，D四点共圆【模型
7、分析模型分析】(1)共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；(2)四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角相等的重要途径之一 如图，已知ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TDAB，TEAC.求证：AHDAHE.【解题思路解题思路】第一步：判断D，E，H在以AT为直径的圆上；第二步：用同弧所对的圆周角相等以及角平分线的性质证明AHDAHE.【解答】【解答】ADTAHTAET90，D，E，H在以在以AT为直径的圆上，为直径的圆上，AHDATD，AHEATE.又又AT是角是角平分线，平分线，TDAB，TEAC，ATDATE，AHDAHE.例4题图第
8、9题图9如图，BE，CF为ABC的高，且交于点H，连接AH并延长交BC于点D，求证：ADBC.第9题答图证明：证明：如答图，连接如答图，连接EF.RtAFH和和RtAEH共斜边共斜边AH，A，F，H，E四点共圆，四点共圆，12.RtBCF和和RtBCE共斜边共斜边BC，B，C，E，F四点共圆，四点共圆，13，23.又又3ABD90，2ABD90，ADBC.类型类型5定弦对定角定弦对定角(非非90)如图1，在O中，若弦AB的长度固定，则弦AB所对的圆周角相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，根据题目灵活运用)如图2，若有一段固定线段AB及线段AB所对的圆周角C，C的大小固定，根据圆的知识可知
9、C点并不是唯一固定的点若C小于90，则点C在优弧上运动；若C等于90，则点C在半圆上运动；若C大于90，则点C在劣弧上运动图1图2【模型分析】固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90)，那么这个角的顶点轨迹为圆(一部分)如图，ABC为等边三角形，AB3，若点P为ABC内一动点，且满足PABACP，求线段PB长度的最小值【解题思路】第一步：由等边三角形的性质得出ABCBAC60，ACAB3，求出APC120，当PBAC时，PB长度最小，设垂足为D，此时PAPC；第二步：由等边三角形的性质得出ADCD AC ，PACACP30，ABD ABC30；第三步：求出PDADtan 30 AD ，BD
10、AD ，即可得出答案12323312323 32例5题答图【解答】【解答】ABC是等边三角形，是等边三角形，ABCBAC60，ACAB3.PABACP，PACACP60，APC120，点点P的运动轨迹是的运动轨迹是 .AC例5题答图当当O，P，B共线时，共线时，PB长度最小，设长度最小，设OB交交AC于点于点D，如答图，如答图此时此时PAPC，OBAC，则则ADCD AC ，PACACP30，ABD ABC30，PDADtan 30 AD ，BD AD ，PBBDPD .12321233323 323 3322 310在ABC中，AB4，C60，AB，求BC长的取值范围解：解：作作ABC的外接圆，如答图的外接圆，如答图BACABC，AB4，当BAC90时，BC是直径最长，C60，ABC30，BC2AC，AB AC4，AC ，BC .4 338 333第10题答图当BACABC时，ABC是等边三角形，BCACAB4，BACABC，BC长的取值范围是4BC .8 33
