1、1.了解因式分解的定义.2.掌握因式分解(提公因式法,公式法).第第3 3讲讲 因式分解因式分解【问题】给出三个多项式：x2x1，x23x1，x2x.(1)请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式；(2)结合以上解题的体验，回答因式分解有哪些方法，一般步骤怎样？212121【解析】(1)（x2x-1）（x23x+1）x24xx(x4)；（x2x-1）（x2-x）x21(x1)(x1)；（x23x+1）（x2-x）x22x1(x1)2；(2)因式分解的方法：提公因式法；公式法因式分解的步骤：一提、二套、三查【解后感悟】检查因式分解的最后结果:是否产生新的公因式;高次的,是否还能继续分解因式
2、;相同因式写成幂的形式.类型一类型一因式分解的意义因式分解的意义例1下列式子从左到右变形是因式分解的是()Aa24a21a(a4)21Ba24a21(a3)(a7)C(a3)(a7)a24a21Da24a21(a2)225B【解后感悟】正确把握因式分解的意义是解题关键1下面的多项式中，能因式分解的是()Am2nBm2m1Cm2nDm22m1D2把多项式x2axb分解因式，得(x1)(x3)，则a，b的值分别是()Aa2，b3Ba2，b3Ca2，b3Da2，b3B类型二因式分解的几何性因式分解的几何性例2 如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2
3、，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是_ _a2b2(ab)(ab)【解后感悟】利用图形的面积来解释代数式的恒等变形，是数形结合思想的具体应用3如图1所示,用两块ab型长方形和aa型、bb型正方形硬纸片拼成一个新的正方形.(1)用两种不同的方法计算如图中正方形的面积.(2)如图2所示,用若干块ab型长方形和aa型、bb型正方形硬纸片拼成一个新的长方形.试由图形推出2a2+3ab+b2因式分解的结果.(3)请你用拼图等方法推出3a2+5ab+2b2因式分解的结果,画出你的拼图.【答案】(1)从整体上看,图1是边长(a+b)的正方形,其面积为(a+b)2,各个部分的面积之和:a2+2a
4、b+b2.(2)根据计算图2面积的不同计算方法可得,2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b).(3)3a2+5ab+2b2=(a+b)(3a+2b).类型三因式分解的方法类型三因式分解的方法例3 分解因式：(1)(2019杭州)1x2 ；(2)(2019温州)m24m4_；(3)ax26ax9a_；(4)(x1)29 ；(5)(2018杭州)(ab)2(ba)(1x)(1x)(m2)2a(x3)2(x2)(x4)(ab)(ab1)【解后感悟】2项平方差公式；3项完全平方和差公式或十字相乘法；4项分组分解法4(选学)利用十字相乘法因式分解(1)x2x6；(2)2x2x6；(3)x2(a6)x
5、6a.【答案】(1)(x3)(x2)；(2)(2x3)(x2)；(3)(x6)(xa)类型四因式分解的应用类型四因式分解的应用例4 (1)(2018吉林)若ab4，ab1，则a2bab2_；(2)已知x22x30，则2x24x的值为_；(3)(2018苏州)若ab4，ab1，则(a1)2(b1)2的值为_4612【解后感悟】将所求式子进行适当的变形是解本题的关键5仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24xm有一个因式是(x3)，求另一个因式以及m的值解：设另一个因式为(xn)，得x24xm(x3)(xn)，则x24xmx2(n3)x3n，解得：另一个因式为(x7)，m的值为21.
6、问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x23xk有一个因式是(2x5)，求另一个因式以及k的值-43n3nm-7n21-m【答案】设另一个因式为(xa)，得2x23xk(2x5)(xa)，则2x23xk2x2(2a5)x5a，解得：故另一个因式为(x4)，k的值为20.【阅读理解题】在乘法公式的学习中,我们采用了构造几何图形的方法研究问题,通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式,我们把这种方法称为等面积法.类似地,通过不同的方法求同一个立体图形的体积,我们称为等体积法.根据课堂学习的经验,解决下列问题:在一个边长为a的正方体中挖出一个边长为b的正方体(如
7、图1),然后利用切割的方法把剩余的立体图形(如图2)分成三部分(如图3),这三部分长方体的体积依次为b2(a-b),ab(a-b),a2(a-b).(1)分解因式:a2(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b)=_.(2)请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积:(用含有a,b的代数式表示)_._.思考:类比平方差公式,你能得到的等式为_.(3)应用:利用在(2)中所得到的等式进行因式分解:x3-125.(4)拓展:已知a-2b=6,ab=-2,你能求出代数式a4b-8ab4的值为_.(a-b)(a2+ab+b2)a3-b3b2(a-b)+ab(a-b)+a2(a-b)a3-b3=(a-b)
8、(a2+ab+b2)-288【解析】(3)x3-125=x3-53=(x-5)(x2+5x+25).(4)a4b-8ab4=ab(a3-8b3)=ab(a-2b)(a2+2ab+4b2)=ab(a-2b)(a-2b)2+6ab,当a-2b=6,ab=-2时,原式=-26(36-12)=-288.故答案为:-288.【方法与对策】解题从等面积类比到等体积,最后一空需要公式变形.警示点4：因式分解不彻底因式分解：(1)a316a；(2)4x216y2【答案】(1)a(a4)(a4)；(2)4(x2y)(x2y)1下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()A2x31 Bx21Cx21 Dx212当n为自然数时,(n+1)2-(n-3)2一定能()A.被5整除 B.被6整除C.被7整除 D.被8整除3多项式2ax212axy中，应提取的公因式是_.4若x2kx24(x12)(x2)，则k的值是_.DD2ax105(1)若x2mx16是完全平方式，则m的值等于_；(2)若4x2xk是完全平方式，则k的值等于_6若3a2a20，则52a6a2_7分解因式：(1)x24 ；(2)a39a ；(3)2p(mn)nm 【提示】课后请完成配套作业本A“课后练习3”18(x2)(x2)a(a3)(a3)(2p1)(mn)
