1、 直线直线(0,3)(1,1)(0,3)yxO3减小减小下下3正比例正比例 增大增大3原点原点xy6yxOAB或二、四象限的角平分线或二、四象限的角平分线或一、三象限的角平分线或一、三象限的角平分线 例例3 已知二次函数已知二次函数y=-3x2+12x-9，回答下列问题回答下列问题（1）化为顶点式是）化为顶点式是 ，化为交点式是化为交点式是 。（2）图象的顶点坐标是）图象的顶点坐标是 ，对称轴是对称轴是 ，当，当x 时时y随随x的增大而增大。当的增大而增大。当x=时时y有有最最 值是值是 。若将抛物线向上平。若将抛物线向上平移移2个单位，向左平移个单位，向左平移6个单位，得个单位，得到的抛物线
2、解析式为到的抛物线解析式为 。（3）图象与）图象与y轴的交点坐标轴的交点坐标是是 ，与，与x轴的交点坐标轴的交点坐标是是 。(2,3)直线直线x=2c=0(-1,0)b=0b2-4ac=04ac-b24a二次函数基本性质：二次函数基本性质：1、抛物线是轴对称图形，对称轴是直线、抛物线是轴对称图形，对称轴是直线x=-b/2a；2、由顶点式可以解决顶点坐标，对称轴，最大、由顶点式可以解决顶点坐标，对称轴，最大（小）值，增减性，平移等问题。（小）值，增减性，平移等问题。3、抛物线与、抛物线与x轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)是关于对是关于对称轴对称的；称轴对称的；4、b2-4ac的
3、值决定了抛物线与的值决定了抛物线与x轴的交点个数；轴的交点个数；5、b=0时顶点在时顶点在y轴上，轴上，=0时顶点在时顶点在x轴上，轴上，c=0时图象过原点；时图象过原点；6、平移时、平移时“上加下减，左加右减上加下减，左加右减”。许多函数问题利用其图象来解决，许多函数问题利用其图象来解决，显得灵活、直观、简便。画图多多，好显得灵活、直观、简便。画图多多，好处多多。处多多。例例5 5 反比例函数反比例函数 和一次函数和一次函数y=x+b的图象交于的图象交于A A、B B两点，两点，A A点的横坐标是点的横坐标是2 2，则则B B点的坐标是点的坐标是 xy2AB21-2-1(-1,-2)例例6
4、抛物线抛物线 与与x轴交于轴交于A、B两两点，顶点为点，顶点为C，为使，为使ABC成为直角三成为直角三角形，必须将抛物线向上平移几个单位角形，必须将抛物线向上平移几个单位 （）A、7 B、6 C、5 D、4 8212xyABCO设平移后的抛物线为设平移后的抛物线为y=0.5x2+c，则，则C的坐的坐标为标为(0,c)，所以，所以A的的坐标为坐标为(-c,0）,代入得代入得0.5c2+c=0，解出，解出c=-2（舍零）（舍零）,由由-8到到-2，应选应选B。B 12312ABCD抛物线过抛物线过C点是最低位置，此时点是最低位置，此时C(3,1)代入得，代入得，9a-6a-1+a=1，a=1/2。
5、抛物线过抛物线过A点是最高位置，此时点是最高位置，此时A(2,2)代入得，代入得，4a-4a-1+a=2，a=3。a3对已经给出的函数图象，要求我们对已经给出的函数图象，要求我们能看懂图中的有用信息，达到解决问题能看懂图中的有用信息，达到解决问题的目的。这与函数性质的掌握有直接的的目的。这与函数性质的掌握有直接的关系。关系。例例8 已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如的图象如图所示，图所示，OAOB，有下列，有下列5个结论：个结论：abc0；ba+c；4a+2b+c0；2a+b0；ac+b+1=0，其中正，其中正确的结论有（确的结论有（）2个个B.3个个C.4个个D.5个个 a
6、0,c0,x=-1时时,y0,a-b+ca+c,x=2时时,y0,4a+2b+c0,对称轴在对称轴在x=1的左边的左边,-b/2a1,a2a即即2a+bOB,在在OA之间之间有一点有一点C使使OC=OB。B(0,c),D(c,y),且且y0将其代入得将其代入得ac2+bc+c0,即即ac+b+10,ACD例例9 在同一坐标系中一次函数在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（的图象可能为（）Oxy OxyOxy OxyABCD方法方法1、看直线和抛物线中的、看直线和抛物线中的a、b是否是否有矛盾有矛盾方法方法2、看抛物线是否过原点、看抛物线是否过原点A
7、方法方法3、找直线和抛物线与、找直线和抛物线与x轴的交点轴的交点一次函数一次函数y=kx+b与二次函数与二次函数y=ax2+bx+c中字母的符号规律中字母的符号规律 一次函数中，一次函数中，k决定直线的方向，决定直线的方向，b决定直决定直线与线与y轴的交点轴的交点 二次函数中，二次函数中，a决定抛物线的开口，决定抛物线的开口，c决定决定抛物线与抛物线与y轴的交点轴的交点 二次函数中，对称轴在二次函数中，对称轴在y轴左侧时，轴左侧时，a、b同同号，反之号，反之a、b异号（简称异号（简称“左同右异左同右异”）例例10 看图写结论看图写结论（1）已知二次函数）已知二次函数 的部分图的部分图象如图所示
8、，则关于象如图所示，则关于x的一元二次方程的一元二次方程 的解为的解为 22yxxm 220 xxm将将(3,0)代入，得代入，得m=3,则则-x2+2x+3=0,即即x2-2x-3=0，x1=3,x2=-1x1=3,x2=-1 例例10 看图写结论看图写结论 yxa=-1 例例10 看图写结论看图写结论 xmy-3 例例11 （1）直线）直线y=2x-1与直线与直线y=-x+5的的交点坐标是交点坐标是 。（2）方程）方程 的根的个数，的根的个数，与我们学过的哪两个函数图象的交点个与我们学过的哪两个函数图象的交点个数相同？通过画图，确定这个方程根的数相同？通过画图，确定这个方程根的个数。个数。
9、xxx4652两条直线的交点坐标同时满足两个解析式两条直线的交点坐标同时满足两个解析式可以解方程组来获得交点坐标可以解方程组来获得交点坐标512xyxy32yx(2,3)从第从第(1)题我们已经看到，方程组的解可以题我们已经看到，方程组的解可以决定两个函数图象的交点，而决定两个函数图象的交点，而(2)中的方程中的方程解的个数就是右解的个数就是右面方程组解的个数面方程组解的个数xyxxy6542这个方程组的解又与二次这个方程组的解又与二次函数函数y=x2+4x-5和反比例函数和反比例函数 图象的交点有直接的图象的交点有直接的联系，我们画出两个图象如联系，我们画出两个图象如右图：右图：xy6从第从
10、第(1)题我们已经看到，方程组的解可以题我们已经看到，方程组的解可以决定两个函数图象的交点，而决定两个函数图象的交点，而(2)中的方程中的方程解的个数就是右解的个数就是右面方程组解的个数面方程组解的个数xyxxy6542例例11 （1）直线）直线y=2x-1与直线与直线y=-x+5的的交点坐标是交点坐标是 。（2）方程）方程 的根的个数，的根的个数，与我们学过的哪两个函数图象的交点个与我们学过的哪两个函数图象的交点个数相同？通过画图，确定这个方程根的数相同？通过画图，确定这个方程根的个数。个数。xxx4652(2,3)解：这个方程根的个数与二次函数解：这个方程根的个数与二次函数y=x2+4x-
11、5和反比例函数和反比例函数 图象图象的交点个数相同。通过画图可知，的交点个数相同。通过画图可知，共有共有3个根。个根。例例12 （1）直线）直线y=-3x+2上有一动点上有一动点A(x,y)，设经过，设经过点点(0,8)且平行于且平行于x轴的直线为轴的直线为m，经过点，经过点(0,-1)且平且平行于行于x轴的直线为轴的直线为n，当，当x取值范围是取值范围是 时，时，点点A在直线在直线m、n之间。之间。（2）不等式）不等式x2-2x-30的解，相当于函数的解，相当于函数 的图象在的图象在x轴轴 方的方的x取值范围。取值范围。-2x1 先画出大致图象，我们从先画出大致图象，我们从图中发现：图中发现
12、：-1y8,即即-1-3x+28，-2x0（1）当）当m=1时，求点时，求点A、B、C、D的坐标；的坐标；（2）当）当m为何值时，四边形为何值时，四边形ABCD的两条对角线互的两条对角线互相垂直；相垂直；（3）猜想线段）猜想线段AB与与CD之间的数量关系，之间的数量关系，并证明你的结论并证明你的结论 214yx218yx AxyB C OD（1）当）当m=1时，求点时，求点A、B、C、D的坐标；的坐标；解：将解：将x=1代入代入y=1/4x2，得得y=1/4，由，由ABCD得得AOBCOD，故，故DF=4FO,设设D(4y,-y)，得，得-y=-1/8(4y)2，y=1/2(舍零舍零)，Axy
13、B C ODEF故故A(1,1/4),B(-1,1/4),C(-2,-1/2),D(2,-1/2)（2）当）当m为何值时，四边形为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；的两条对角线互相垂直；解：由解：由A在抛物线上可知，在抛物线上可知，AE=m，EO=1/4m2，因因AOBO，AO=BO，故故EO=AE，1/4m2=m，m=4(舍零舍零).AxyB C ODEF（3）猜想线段）猜想线段AB与与CD之之间的数量关系，并证明你的间的数量关系，并证明你的结论结论 猜想：猜想：CD=2AB.DF=4/mFO,设设D(4y,-my)，得，得-my=-1/8(4y)2，AxyB C ODEF故故y=
14、m/2，DF=2m，DF=2AE，即，即CD=2AB.证明：由证明：由A在抛物线上可知，在抛物线上可知，AE=m，EO=1/4m2，由由ABCD得得AOBCOD，许多实际问题有两个变量，往往许多实际问题有两个变量，往往就有函数关系存在。利用函数关系式就有函数关系存在。利用函数关系式可以解决实际问题中的数量关系和最可以解决实际问题中的数量关系和最值问题。值问题。例例14 陈琳从甲地匀速前往乙地，陈琳从甲地匀速前往乙地，3h后距后距离乙地离乙地110km，5h后距离乙地后距离乙地50km。问几。问几h后到达乙地？后到达乙地？解：设解：设x(h)后距离乙地后距离乙地y(km)，陈琳速度为陈琳速度为v
15、(km/h)，甲乙两地相距，甲乙两地相距a(km)，由已知，得由已知，得y=a-vx，将将x=3,y=110和和x=5,y=50代入，得代入，得 vava5503110解得解得 所以，所以，y=200-30 x20030av当当y=0时陈琳到达乙地，即时陈琳到达乙地，即200-30 x=0，326x答：陈琳行了答：陈琳行了 h到达乙地。到达乙地。326 例例15 一学生推铅球，在距地面一学生推铅球，在距地面 m的的A处推出铅球，铅处推出铅球，铅球经过的路线呈抛物线状（如图建立平面直角坐标系），球经过的路线呈抛物线状（如图建立平面直角坐标系），如果抛物线的最高点如果抛物线的最高点M离离y轴距离轴
16、距离4m，距地面高度为，距地面高度为3m，求该学生推铅球的成绩。求该学生推铅球的成绩。解：由已知，解：由已知，A(0,5/3)，顶点，顶点M(4,3)设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3将将A点坐标代入上述解析式，得点坐标代入上述解析式，得16a+3=5/3，a=-1/12，所以所以y=-1/12(x-4)2+3，令令y=0，则，则-1/12(x-4)2+3=0,35解得解得x=10(舍负舍负),答：该学生推铅球的成绩为答：该学生推铅球的成绩为10米。米。例例16 有一种螃蟹，放养在塘内，可以延长存活时有一种螃蟹，放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，
17、假定放养期内蟹间，但每天也有一定数量的蟹死去，假定放养期内蟹的个体重量基本不变。现有一经销商，按市场价收购的个体重量基本不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千千克放养在塘内，此时市场价为每千克克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升升1元。但是，放养一天需各种费用支出元。但是，放养一天需各种费用支出400元，且平元，且平均每天还有均每天还有10千克蟹死去。假定死蟹均于当天全部出千克蟹死去。假定死蟹均于当天全部出售，售价都是每千克售，售价都是每千克20元。元。(1)设设x天后每千克活蟹的市场
18、价为天后每千克活蟹的市场价为p元，写出元，写出p关于关于x的函的函数解析式；数解析式；(2)如果放养如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的千克蟹的销售总额为销售总额为Q元，写出元，写出Q关于关于x的函数解析式；的函数解析式；(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润润（利润=销售总额销售总额-收购成本收购成本-费用）？最大利润是费用）？最大利润是多少？多少？(1)设设x天后每千克活蟹的市场价为天后每千克活蟹的市场价为p元，写出元，写出p关于关于x的函的函数解析式；数解析式；解：解：p=30+
19、x(2)如果放养如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹千克蟹的销售总额为的销售总额为Q元，写出元，写出Q关于关于x的函数解析式；的函数解析式；解：解：Q=(1000-10 x)(30+x)+10 x20 Q=-10 x2+900 x+30000(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润润（利润=销售总额销售总额-收购成本收购成本-费用）？最大利润是多少？费用）？最大利润是多少？解：设利润为解：设利润为y元，则元，则y=(-10 x2+900 x+30000)-100030-400 xy=-10
20、 x2+500 x=-10(x-25)2+6250答：放养答：放养25天后可以获得最大利润，最大利润是天后可以获得最大利润，最大利润是6250元。元。条件摘录：活蟹条件摘录：活蟹1000千克千克,每千克每千克30元元,每天可上升每天可上升1元元,放养一天支出放养一天支出400元元,10千克蟹死去千克蟹死去,每千克每千克20元。元。例例17 某次数学考试，因试卷难度大而导致成绩普遍很差某次数学考试，因试卷难度大而导致成绩普遍很差,老师为了提高学生的分数，采用将每人分数先开方再乘以老师为了提高学生的分数，采用将每人分数先开方再乘以10的方法。如的方法。如36分的人计算方法是分的人计算方法是 分分,
21、即经过这即经过这样处理后的分数比原来高了样处理后的分数比原来高了24分。一个爱动脑筋的同学发分。一个爱动脑筋的同学发现：不同的成绩增加的分数不一样多。请问几分的人经过现：不同的成绩增加的分数不一样多。请问几分的人经过处理后加分最多？说明道理。处理后加分最多？说明道理。解：设原成绩为解：设原成绩为x2分，处理后增加的分数为分，处理后增加的分数为y分。分。由已知，得由已知，得y=10 x-x2,配方，得配方，得y=-(x-5)2+25，所以当所以当x=5时，时，y有最大值是有最大值是25.答：答：25分的人加分最多。分的人加分最多。603610则处理后的分数是则处理后的分数是10 x分分.例例18 如图，正方形如图，正方形ABCD边长为边长为2，E在在AB上，上，FEDE交交BC于于F，随着，随着E点从点从A向向B移动。移动。（1）BF的最大值是多少？（的最大值是多少？（2）F点是如何移动的？点是如何移动的？解：解：（1）设设AE=x，BF=y。由已知，容易证明由已知，容易证明ADEBEF,所以，所以，所以，所以，y=-1/2(x-1)2+1/2答：答：BF的最大值是的最大值是1/2。AEDCBF（2）如图由函数图象可知，）如图由函数图象可知，F点由点由B点先升到高度为点先升到高度为1/2处，处，再向再向B点移动直至与点移动直至与B重合。重合。
