1、四三四三 角角 形形第第1717课时课时几何图形几何图形初步、相交线与平行线初步、相交线与平行线1.了解直线、射线、线段、角的概念及性质;会比较线段的长短,理 解线段的和、差及线段中点的意义;会计算角的和、差,会对度、分、秒进行简单的换算.2.了解余角、补角、对顶角、垂线、垂线段、点到直线的距离的概 念,理解等角(或同角)的余角(或补角)相等,理解垂线的性质.3.能识别同位角、内错角、同旁内角,理解平行线的性质和判定,会 运用相关知识进行作图、计算及推理.4.了解平行于同一条直线的两条直线平行.5.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理、角平分线的性质 定理及其逆定理.6.通过具体实例,了解
2、定义、命题、定理、推论的意义.7.结合具体实例,会区分命题的条件和结论,了解原命题及其逆命题 的概念;会识别两个互逆的命题,知道原命题成立,其逆命题不一 定成立.一条一条线段相等知识点知识点2 2角的有关概念及性质角的有关概念及性质概念概念定义1有公共端点的两条组成的图形叫做角 定义2一条绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角 度、分、度、分、秒转换秒转换1周角=360,1平角=180,1=60,1=60,角的度、分、秒是60进制的角的角的表示表示 射线射线分类分类(1)若090,则为锐角;(2)若90c,则能构成三角形;反之,则不能构成三角形.设这根小木棒的长为xcm.由三
3、角形三边关系,得6-3x6+3,x的取值范围是3x9,只有选项D符合题意.故选D.例例2 2(2022宿迁)若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长是 ()A.8cm B.13cm C.8cm或13cm D.11cm或13cm 思路点拨思路点拨 条件给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要运用三角形的三边关系验证能否组成三角形.非常点评非常点评 当已知等腰三角形的两边长时,若没有明确边的类型,要分已知边是底边还是腰两种情况进行分类讨论,再根据三角形三边关系(三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边)
4、验证能否构成三角形.当3cm是腰长时,长为3cm,3cm,5cm的三边能组成三角形,当5cm是腰长时,长为5cm,5cm,3cm的三边能组成三角形.这个等腰三角形的周长为11cm或13cm.故选D.考点二三角形的内角和定理考点二三角形的内角和定理例例3 3(2022扬州)将一副直角三角尺按如图所示的方式放置.已知E=60,C=45,EFBC,则BND=.非常点评非常点评 在一个三角形中,已知任意两个角的度数便可求出第三个角的度数,或在一个三角形中,已知两个角的度数和也可以求出第三个角的度数.E=60,C=45,F=30,B=45.EFBC,NDB=F=30.BND=180-B-NDB=180-
5、45-30=105.考点三三角形的外角性质考点三三角形的外角性质例例4 4(2022杭州)如图,ABCD,点E在线段AD上(不与点A,D重合),连接CE.若C=20,AEC=50,则A的度数为 ()A.10 B.20 C.30 D.40 思路点拨思路点拨 由AEC为CED的外角,利用外角性质求出D的度数,再利用两直线平行,内错角相等即可求出A的度数.非常点评非常点评 在解决求角度相关的问题时,常常要用到三角形内角和等于180、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质及平行线的性质,这些是解决求角度相关问题的重要工具.AEC为CED的外角,且C=20,AEC=50,AEC=C+D,即5
6、0=20+D.D=30.ABCD,A=D=30.故选C.设这个多边形的边数为n.(n-2)180=900,解得n=7.故选A.例例6 6(2021扬州)如图,点A,B,C,D,E在同一平面内,连接AB,BC,CD,DE,EA.若BCD=100,则A+B+D+E的度数为 ()A.220B.240C.260D.280 思路点拨思路点拨 连接BD,根据三角形内角和定理求出CBD+CDB的度数,再利用四边形内角和减去CBD+CDB的度数,即可得到结果.非常点评非常点评 三角形中已知一个角的度数可求出另外两个角的度数和,四边形中已知两个角的度数也可以求出另外两个角的度数和,熟练掌握多边形内角和公式及角的
7、和差关系是解题的关键.连接BD.BCD=100,CBD+CDB=180-100=80.A+ABC+CDE+E=360-(CBD+CDB)=360-80=280.故选D.1.(2022凉山州)下列长度的三条线段能组成三角形的是 ()A.3,4,8B.5,6,11 C.5,6,10D.5,5,102.(2022广东)下列图形中具有稳定性的是 ()A.平行四边形B.三角形 C.矩形D.正方形3.(2022杭州)如图,在ABC中,ABC是钝角,过点C作CDAB交AB的延 长线于点D,则 ()A.线段CD是ABC的边AC上的高 B.线段CD是ABC的边AB上的高 C.线段AD是ABC的边BC上的高 D.
8、线段AD是ABC的边AC上的高CBB4.(2022湘西州)一个正六边形的内角和的度数为 ()A.1080 B.720 C.540 D.3605.(2021宿迁)如图,在ABC中,A=70,C=30,BD平分ABC交 AC于点D,DEAB,交BC于点E,则BDE的度数是 ()A.30 B.40 C.50 D.606.(2022泸州)如图,直线ab,直线c分别交a,b于点A,C,点B在直线b 上,ABAC.若1=130,则2的度数是 ()A.30 B.40 C.50 D.70BBB7.三角形的三边长为2,a,5,如果这个三角形中有两条边相等,那么它的 周长是.8.(2021常州)如图,在ABC中,
9、点D,E分别在边BC,AC上,B=40,C=60.若DEAB,则AED=.121009.如图,D为ABC的边BC上一点,ADC=BAC.(1)求证:DAC=B;(2)若AE平分BAD,在图中找出与EAC相等的角,并加以证明.(1)ADC是ABD的外角,ADC=BAD+B.BAC=BAD+DAC,ADC=BAC,DAC=B(2)AEC=EAC AEC是ABE的外角,AEC=BAE+B.AE平分BAD,BAE=EAD.由(1),可知DAC=B,易得AEC=EAC第9题10.在四边形ABCD中,A=90,ABC,ADC的平分线分别交直线CD,AB于点E,F.(1)如图,若C=90,求证:EBDF;(
10、2)如图,若线段DF,EB交于点P,BPF=20,求C的度数.(1)A=C=90,A+ABC+C+ADC=360,ABC+ADC=360-90-90=180.BE平分ABC,DF平分ADC,ABC=2ABE,ADC=2ADF.2ABE+2ADF=180.ABE+ADF=90.A=90,AFD+ADF=90.AFD=ABE.EBDF第第1919课时课时全等三角形全等三角形1.通过画图和试验了解全等三角形的概念;能识别全等三角形中的 对应边、对应角.掌握全等三角形的性质,能利用全等三角形的性 质进行计算或推理.2.能灵活运用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”来判定两个三 角形全等.3
11、.能运用全等三角形的性质与判定和等腰三角形的性质与判定进行 证明和计算.知识点知识点1 1全等三角形及其性质全等三角形及其性质1.全等三角形:能够 的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质:(1)全等三角形的相等;(2)全等三角形的相等;(3)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高等),周长 ,面积.完全重合对应角对应边相等相等相等知识点知识点2 2全等三角形的判定全等三角形的判定1.三角形全等的判定:种类种类对应对应相等的相等的元素元素三角形是否三角形是否全等全等一般三角形两边一角两边及其 全等(SAS)两边及其中一边的 不一定全等两角一边两角及其夹边全等(ASA)两角及其中一角的
12、 全等(AAS)三角不一定全等三边全等(SSS)直角三角形斜边、直角边全等(HL)夹角对角对边 温馨提示温馨提示 在判定三角形全等时,还要注意的问题:(1)根据已知条件与结论认真分析图形;(2)准确无误地确定每个三角形的六个元素;(3)根据条件,确定对应元素,即找出相等的角或边;(4)对照判定方法,看看还需什么条件两个三角形就全等;(5)想办法找出所需条件.2.判定三角形全等的技巧:已知对应相等已知对应相等的两的两个元素个元素寻找第三个对寻找第三个对应相等的元素应相等的元素判定判定方法方法的选择的选择温馨提示温馨提示两角任意一边“ASA”或“AAS”不能找第三个角对应相等两边两边的夹角或第三边
13、“SAS”或“SSS”不能找已对应相等的边的对角对应相等一角及其对边任意一角“AAS”不能再找边对应相等一角及其一邻边任意一角或另一邻边“AAS”或“ASA”或“SAS”不能找已对应相等的角的对边对应相等直角及直角边斜边“HL”只适合直角三角形3.全等三角形常见模型:(1)平移型:如图,它们可看成由对应边在一直线上移动所构成的,故 该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和差得到.(2)对称型:如图,它们的特征是可沿某一直线对折,直线两旁的部分 能完全重合(轴对称图形),重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.(3)旋转型:如图,它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所 构成的,故一般有一对相
14、等的角隐含在对顶角中或某些角的和差中.考点一全等三角形的性质考点一全等三角形的性质例例1 1(2021哈尔滨)如图,ABCDEC,过点A作AFCD,垂足为F.若BCE=65,求CAF的度数.思路点拨思路点拨 由全等三角形的性质可求得ACD=65,由垂直可得CAF+ACD=90,进而可求得CAF的度数.ABCDEC,ACB=DCE.BCE+ACE=ACD+ACE,即BCE=ACD.BCE=65,ACD=65.AFCD,AFC=90.CAF+ACD=90.CAF=90-65=25.误区警示误区警示 全等三角形的性质是全等三角形的对应角、对应边相等,运用全等三角形的性质的关键是“对应”.考点二全等三
15、角形的判定考点二全等三角形的判定例例2 2(2022云南)如图,OB平分AOC,D,E,F分别是射线OA,射线OB,射线OC上的点,且不与点O重合,连接ED,EF.若添加下列条件中的某一个,就能使DOEFOE,则要添加的那个条件是 ()A.OD=OEB.OE=OFC.ODE=OEDD.ODE=OFE OB平分AOC,DOE=FOE.又 OE=OE,若ODE=OFE,则根据AAS可得DOEFOE,故选项D符合题意.添加OD=OE不能得到DOEFOE,故选项A不符合题意.添加OE=OF不能得到DOEFOE,故选项B不符合题意.添加ODE=OED不能得到DOEFOE,故选项C不符合题意.故选D.非常
16、点评非常点评 (1)要证三角形全等,至少要有一组“边”的条件,因此一般情况下,我们先找对应边.(2)在有一组对应边相等的前提下,我们通常找任意两组对应角相等即可;在有两组对应边分别相等的前提下,可以找第三组对应边相等,或找两组对应边的夹角相等,注意必须是夹角;若有三组对应边分别相等,则可以直接根据边边边(SSS)求解.(3)要证直角三角形全等,通常先考虑斜边、直角边定理(HL).考点三全等三角形的性质与判定的综合应用考点三全等三角形的性质与判定的综合应用例例3 3(2022陕西)如图,在ABC中,点D在边BC上,CD=AB,DEAB,DCE=A.求证:DE=BC.思路点拨思路点拨 利用平行线的
17、性质得EDC=B,再利用ASA证明CDEABC,从而可得结论.非常点评非常点评 证明三角形全等主要去找边和角,根据已知条件得出两个三角形的对应边和对应角相等,用“SAS,ASA,AAS,SSS,HL”来证明两个三角形全等,从而可根据全等三角形的性质得出对应边、角的等量关系.考点四考点四全等三角形全等三角形中的开放中的开放题题例例4 4(2022柳州)如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF.有下列条件:AC=DF;ABC=DEF;ACB=DFE.(1)请在上述条件中选取一个条件,使得ABCDEF.你选取的条件为(填序号),你判定ABCDEF的依据是(填“SSS”“SAS”“
18、ASA”或“AAS”).(2)利用(1)的结论ABCDEF.求证:ABDE.思路点拨思路点拨 (1)答案不唯一,若选,则根据SSS即可证明ABCDEF,即可解决问题;(2)根据全等三角形的性质可得A=EDF,再根据平行线的判定即可解决问题.非常点评非常点评 添加条件判定三角形全等的问题的求解方法:所添加的条件一般是直接用于判定三角形全等的条件,求解时应从结论出发,结合已知条件并依据三角形全等的四种判定方法“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”寻找突破口,判定直角三角形全等还可以依据“HL”寻找答案.1.如图,在ABC中,BC=10,点D,E在BC上,DE=4.若ABDACE,则BE的 长为
19、()A.2.5 B.3 C.3.5 D.42.(2021攀枝花)如图,一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三 块,他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形 模具,最省事的是带 ()A.B.C.D.BC3.(2022南通)如图,点B,F,C,E在一条直线上,ABED,ACFD,要使 ABCDEF,只需添加一个条件,则这个条件可以是_ .答案不唯一,如AB=DE4.(2022广安)如图,D是ABC外一点,连接BD,AD,AD与BC交于点O.有下列三个等式:BC=AD;ABC=BAD;AC=BD.请从这三个等式中,任选两个作为已知条件,剩下的一个作为结论,组成一个真命题,将你选择的
20、等式填在下面对应的横线上,然后对该真命题进行证明.已知:,.求证:.第4题答案不唯一,如BC=ADABC=BADAC=BD5.如图,在四边形ABCD中,ABCD,ADBC,E,F是对角线AC上两点,且AE=CF,连接BE,DF.(1)求证:ABCCDA;(2)若AEB=85,求AFD的度数.第5题第第2020课时课时等腰三角形与直角三角形等腰三角形与直角三角形1.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理与判 定定理;探索等边三角形的性质定理与判定定理,并会进行有关证 明和计算.2.了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质与判定定 理.3.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们
21、解决一些简单的实际问 题.知识点知识点1 1等腰三角形的概念与等腰三角形的概念与性质性质1.定义:有相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫腰,第 三边为底.2.性质:(1)轴对称性:等腰三角形是轴对称图形,有条对称轴.(2)定理1:等腰三角形的两个底角相等(简称为).(3)定理2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合,简称 .两边1等边对等角三线合一3.常见结论:(1)等腰三角形两腰上的高相等;(2)等腰三角形两腰上的中线相等;(3)等腰三角形两底角的平分线相等;(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半;(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.知识点知识点
22、2 2等腰三角形的判定等腰三角形的判定1.有两条边相等的三角形是等腰三角形.2.在一个三角形中,若有两个角相等,则这两个角所对的边 ,简称 .知识点知识点3 3等边三角形的性质与等边三角形的性质与判定判定1.定义:三边相等的三角形叫做等边三角形.2.性质:(1)等边三角形的各角都,并且每一个角都等于;(2)等边三角形是轴对称图形,有条对称轴.3.判定:(1)三条边都的三角形是等边三角形;(2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形.相等等角对等边相等603相等60知识点知识点4 4直角三角形的概念、性质与直角三角形的概念、性质与判定判定1.定义:有一个角是的三角形叫做直角三角形.2.性质:(1)
23、直角三角形的两个锐角;(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的;(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的.3.判定:(1)两个内角的三角形是直角三角形;(2)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.直角互余一半一半互余 温馨提示温馨提示 已知直角三角形斜边的中点时,常添加辅助线为“作斜边的中线”,利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”进行求解.知识点知识点5 5勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理勾股定理勾股定理直角三角形两直角边长a,b的平方和等于斜边长c的平方,即 勾股定理的勾股定理的逆定理逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那
24、么这个三角形是 勾股数勾股数满足关系式a2+b2=c2的3个正整数a,b,c称为勾股数a2+b2=c2直角三角形考点一等腰三角形的性质与判定考点一等腰三角形的性质与判定例例1 1(2022泰安)如图,l1l2,点A在直线l1上,点B在直线l2上,AB=BC,C=25,1=60,则2的度数是 ()A.70B.65C.60D.55 思路点拨思路点拨 利用等腰三角形的性质得到BAC的度数,利用平行线的性质得到BEA的度数,最后根据三角形外角的性质即可求解.AB=BC,C=25,BAC=C=25.l1l2,1=60,BEA=180-60-25=95.BEA=C+2,2=95-25=70.故选A.非常点
25、评非常点评 在遇到等腰三角形背景下的求角度问题时,一般常用等边对等角及三角形内角和定理或外角性质来解决,若有平行线还可以利用平行线的性质解题.例例2 2(2022温州)如图,BD是ABC的角平分线,DEBC,交AB于点E.(1)求证:EBD=EDB;(2)当AB=AC时,请判断CD与DE的大小关系,并说明理由.思路点拨思路点拨 (1)利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论;(2)利用平行线的性质可得ADE=AED,则AD=AE,从而有CD=BE,由(1)知EBD=EDB,等角对等边再等量代换即可.(1)BD是ABC的角平分线,CBD=EBD.DEBC,CBD=EDB.EBD=EDB.(2)C
26、D=DE.理由:AB=AC,C=ABC.DEBC,ADE=C,AED=ABC.ADE=AED.AD=AE.CD=BE.由(1),知EBD=EDB,BE=DE.CD=DE.方法归纳方法归纳 证明证明三角形两边相等的一般方法三角形两边相等的一般方法 (1)通过等角对等边得到两边相等;(2)通过三角形全等得到两边相等;(3)利用垂直平分线的性质得到两边相等;(4)通过等量代换得到,即若a=b,b=c,则a=c.考点二等边三角形的性质与判定考点二等边三角形的性质与判定例例3 3(2022海南)如图,直线mn,ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F.若1=140,则2的度
27、数是 ()A.80 B.100 C.120 D.140 思路点拨思路点拨 先根据等边三角形的性质可得A=60,由三角形外角的性质可得AEF的度数,最后由对顶角相等及平行线的性质求得2的度数.非常点评非常点评 本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质及三角形外角的性质,本题还可以利用平行线中的“拐点模型”求得CBn的度数,再根据平角的定义求出2的度数.如图,ABC是等边三角形,A=60.1=A+AEF=140,AEF=140-60=80.DEB=AEF=80.mn,2+DEB=180.2=180-80=100.故选B.非常点评非常点评 本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三
28、角形的判定和性质,解答本题的关键是明确题意,熟练利用这些性质解决问题.例例5 5(2021广州)如图,在ABC中,C=90,A=30,线段AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接BD.若CD=1,则AD的长为.非常点评非常点评 含30角的直角三角形的性质主要用来计算线段长度或证明线段的倍数关系.当直角三角形出现30角或60角时应该联想此性质来解决问题.DE垂直平分线段AB,AD=BD.A=ABD.A=30,ABD=30.BDC=A+ABD=30+30=60.C=90,CBD=30.CD=1,易得BD=2CD=2.AD=2.考点四勾股定理及其应用考点四勾股定理及其应用例例6 6(2021
29、襄阳)我国古代数学著作九章算术中记载了一个问题:“今有池方一丈,葭(ji)生其中,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深几何?”其大意如下:有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺(如图).如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度是多少(丈、尺是长度单位,1丈=10尺)?根据题意,水的深度为 ()A.10尺 B.11尺 C.12尺 D.13尺 非常点评非常点评 本题主要考查勾股定理在实际生活中的应用,熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键.设水的深度为h尺,则芦苇长为(h+1)尺.由勾股定理,得(h+1)2=h2+(102)2,
30、解得h=12.水的深度为12尺.故选C.DBDA76.(2021绍兴)如图,在ABC中,A=40,点D,E分别在边AB,AC上,BD =BC=CE,连接CD,BE.(1)若ABC=80,求BDC,ABE的度数;(2)写出BEC与BDC之间的关系,并说明理由.第6题第第2121课时课时图形的相似图形的相似1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段.2.通过具体实例认识图形的相似,了解相似多边形和相似比.3.了解相似三角形的判定定理与性质定理,并利用它们进行计算或 推理.4.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.长度比比例中项bc成比例知识点知识点2 2相似三角形相似三角形1.概念:对应角,
31、对应边成的两个三角形叫做相似三 角形.相似三角形对应边的比叫做.2.相似三角形的性质:(1)相似三角形的对应角,对应边 ;(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比等 于 ;(3)相似三角形的周长之比等于 ,面积之比等于 .相等比例相似比相等成比例相似比相似比相似比的平方3.相似三角形的判定方法:(1)一般三角形:两角对应相等,两个三角形相似;两边对应成 比例,且相等,两个三角形相似;三边对应 ,两 个三角形相似.(2)直角三角形:一组 对应相等,两个直角三角形相似;两组直角边对应成比例,两个直角三角形相似.夹角成比例锐角4.相似三角形的判定思路:已知条件已知条件可供选择的判定
32、方法可供选择的判定方法有平行线截线用平行线的性质找等角有一对等角另一对等角或角的两条邻边对应成比例有两边对应成比例夹角相等或第三边也对应成比例直角三角形一对锐角相等或两组直角边对应成比例等腰三角形顶角相等或一对底角相等5.相似三角形常见的基本类型:(1)“平行线型”ABCADE (2)“斜交型”(需满足1=2)ADEABC(3)“垂直型”(其中图需满足1=2)知识点知识点3 3相似多边形及其性质相似多边形及其性质1.定义:两个边数相同的多边形,如果它们的对应角,对应边 ,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形_ 的比叫做相似比.2.性质:(1)相似多边形的对应角,对应边 ;(2)相似多边形
33、对应边的比、周长的比等于 ,面积的比等 于 .相等成比例对应边相等成比例相似比相似比的平方 非常点评非常点评 本题主要考查了平行线分线段成比例定理的应用,通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键.运用此定理时,要看清平行线组,找准被平行线组截得的对应线段.为了便于记忆,可用口诀“上对上,下对下,全对全”.考点二相似三角形的判定考点二相似三角形的判定例例2 2(2022菏泽)如图,在RtABC中,ABC=90,E是边AC上一点,且BE=BC,过点A作BE的垂线,交BE的延长线于点D,求证:ADEABC.BE=BC,C=CEB.CEB=AED,AED=C.ADBE,D=ABC=90.AD
34、EABC.方法归纳方法归纳 判定判定相似三角形的关键点相似三角形的关键点 (1)判定两个三角形相似的常规思路:先找两组对应角相等;若只能找到一组对应角相等,则判断夹相等角的两边是否对应成比例;若找不到角相等,则判断三边是否对应成比例;若均不可行,则可考虑相似三角形的“传递性”等.(2)借助图形找三角形相似:有平行线的可围绕平行线找相似;有公共角或相等角的可再找其他相等的角或成比例的对应边(夹相等角的两边);有公共边的可将图形旋转或翻折,观察其特征,找出相等的角或成比例的对应边.考点三相似三角形的性质考点三相似三角形的性质例例3 3(2022连云港)ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相
35、似的DEF,其最长边为12,则DEF的周长是 ()A.54 B.36 C.27 D.21 非常点评非常点评 相似三角形的周长之比等于相似比,本题还可以设2对应的边是x,3对应的边是y,根据相似三角形的对应边成比例列方程求解.考点四相似三角形的性质与判定的综合应用考点四相似三角形的性质与判定的综合应用例例5 5(2022甘肃)如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=9cm,点E,F分别在边AB,BC上,AE=2cm,BD,EF交于点G.若G是EF的中点,则BG的长为cm.思路点拨思路点拨 根据矩形的性质可得ABC=C=90,由G是EF的中点,利用直角三角形斜边上的中线可得BG=FG,得GBF
36、=GFB,从而证得EBFDCB,利用相似三角形的性质可求出BF的长,最后在RtBEF中,利用勾股定理求出EF的长,即可解答.非常点评非常点评 在判定两个三角形相似时,当给出的两个三角形中的已知条件以角为主(或有平行)时,我们应首先考虑使用“两角对应相等”的判定方法.考点五相似的应用考点五相似的应用例例6 6(2022陕西)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16m,OA的影长OD为20m,小明的影长FG为2.4m,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且AOOD,EFFG.已知小明的
37、身高EF为1.8m,求旗杆的高AB.思路点拨思路点拨 先证明AODEFG,列比例式可得AO的长,再证明BOCAOD,可得OB的长,最后利用线段的和差解决问题.非常点评非常点评 本题考查了利用相似三角形的判定与性质求线段长,利用相似三角形对应边成比例的性质是求线段长的重要方法,运用相似求线段长时首先要根据相似三角形的判定条件找出相似三角形,再根据相似三角形对应边成比例的性质建立比例式,通过比例式搭建已知线段与所求线段间的关系.考点六相似与圆的综合应用考点六相似与圆的综合应用例例7 7(2022无锡)如图,边长为6的等边三角形ABC内接于O,D为AC上的动点(不与点A,C重合),BD的延长线交O于
38、点E,连接CE.(1)求证:CEDBAD;(2)当DC=2AD时,求CE的长.思路点拨思路点拨 (1)分别由对顶角相等及圆周角定理得到两组对应角相等,从而证得两个三角形相似;(2)过点D作DFEC于点F,由等边三角形的性质分别求出AD,DC的长,再由相似三角形的性质设参数,在CDF中利用勾股定理构建方程求解.非常点评非常点评 圆是相似三角形的重要知识背景,解与圆有关的题目时,相似是一种常见的解题手段,注意从同弧(等弧)所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是90出发,找出相似三角形,再根据对应边的关系以及勾股定理等性质,便可解决很多问题.BCBB5.(2022鞍山)如图,ABCD,AD,BC相交于
39、点E.若AEDE=12,AB=2.5,则CD的长为.6.(2022邵阳)如图,在ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,请添加一 个条件:,使ADEABC.7.(2022建邺一模)如图,在ABC中,B=30,D是AC上一点,过点D作 DEBC交AB于点E,DFAB交BC于点F.若AE=5,CF=4,则四边形BFDE的面 积为.答案不唯一,如ADE=B5108.(2022江西)如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,ACD=ABE.(1)求证:ABCAEB;(2)当AB=6,AC=4时,求AE的长.9.(2022仙桃)如图,正方形ABCD内接于O,E为AB的中点,连接CE交BD 于点
40、F,延长CE交O于点G,连接BG.(1)求证:BF2=EFGF;(2)若AB=6,求BF和EG的长.第9题第第2222课时课时锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用1.理解锐角三角函数(sin,cos,tan)的定义,会由已知条件 (图形或网格)求锐角三角函数值.2.熟记30,45,60角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角 函数值.3.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值 求它的对应锐角.4.能利用直角三角形中的边边、边角关系解直角三角形.5.能结合仰角、俯角、坡度等知识,运用锐角三角函数解决与直角 三角形有关的实际问题.温馨提示温馨提示 一个锐角的正弦、余弦、正切只与
41、边的比值或角的大小有关,而与三角形的大小无关.2.一些特殊角的三角函数值:3.三角函数的增减性:当角度在090范围内变化时,正弦函数值随角度的增大而,余弦函数值随角度的增大而,正切函数值随角度的增大而 .AA304560sin Asin A cos Acos A tan Atan A 1增大减小增大知识点知识点2 2解直角三角形解直角三角形1.解直角三角形的定义及常用关系:解直角解直角三角形三角形的定义的定义在直角三角形中,除直角外,共有5个元素,即3条边和2个锐角,由已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形解直角解直角三角形的三角形的常用关系常用关系在RtABC中,C=90,AB=c
42、,BC=a,AC=b,则(1)三边关系:a2+b2=;(2)两锐角关系:A+B=;(3)边与角的关系:sin A=cos B=,cos A=sin B=,tan A=;(4)sin2A+cos2A=1c2902.解直角三角形的常见类型和解法:已知条件已知条件图形图形解法解法已知一直角边和一锐角(a,A)已知斜边和一锐角(c,A)已知两直角边(a,b)已知斜边和一直角边(c,a)知识点知识点3 3解直角三角形应用的有关概念解直角三角形应用的有关概念概念概念定义定义图形图形仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角坡度(坡比)、坡角方向角一般指以观
43、测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表示成北(南)偏东(西)多少度,方向角的角度值在090之间.如图,点A,B,C关于点O的方向角分别是北偏东30,南偏东60,北偏西45(也称西北方向)非常点评非常点评 本题考查了如何在网格中构造直角三角形,从而求一个角的三角函数值.解决这类问题一般先将相应的角置于直角三角形中,当所求的角不能直接构造出直角三角形时,可以将角转换,即寻找相等的角,构造出相等的角所在的直角三角形,先求出相应的边的长度,进而结合定义解决问题.误区警示误区警示 利用特殊角的三角函数值进行计算时不能记错特殊角的三角函数值.非常点评非
44、常点评 本题考查了勾股定理、反比例函数与锐角三角函数,解决这类问题的关键是正确认识这些函数的定义与性质,熟练掌握将锐角三角函数转化为直角三角形中的边之间的关系.非常点评非常点评 锐角三角函数与圆是中考的热点,本题考查了切线的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、锐角三角函数的定义等知识,如果已知锐角三角函数值,那么可得相应直角三角形中各边的关系,从而可构造方程求线段长.考点五解直角三角形的应用考点五解直角三角形的应用例例5 5(2022南通)如图,B为地面上一点,测得点B到树底部C的距离为10m,在B处放置1m高的测角仪BD,测得树顶A的仰角为60,则树高AC为 m(结果保留根号).非常点评非
45、常点评 解直角三角形的应用问题是中考的热点,对于这类问题,一般需将条件转化为直角三角形中的边角元素,再选择合适的锐角三角函数解题即可.方法归纳方法归纳 解直角三角形实际应用题的一般方法解直角三角形实际应用题的一般方法 把实际问题转化为数学问题,即构造直角三角形模型,利用直角三角形的边角关系,通过勾股定理或者锐角三角函数求解.BBCC第6题(1)直线BC与O相切理由:如图,连接OB.OA=OB,A=OBA.CP=BC,CPB=CBP.APO=CPB,APO=CBP.OCOA,A+APO=90.OBA+CBP=90.OBC=90.OB为O的半径,直线BC与O相切.第7题8.(2022连云港)小明与
46、小亮要测量某宝塔的高度,如图,小明在点A处测得宝塔最高点C的仰角CAE=45,再沿正对宝塔方向前进至B处测得最高点C的仰角CBE=53,AB=10m;小亮在点G处竖立标杆FG,小亮的所在位置点D、标杆顶点F、宝塔最高点C在同一条直线上,FG=1.5m,GD=2m.求(结果精确到0.01m,参考数据:sin530.799,cos530.602,tan531.327):(1)宝塔的高度CE;(2)小亮与宝塔之间的距离ED.第8题9.某儿童医院门诊大厅收费处正上方的卡通雕塑有效缓解了就医小朋友 的紧张情绪.为了测量如图所示的卡通雕塑BE的长度,小莉在地面上F 处测得B处、E处的仰角分别为37,56.31.已知ABE=45,点F到 收费处OA的水平距离FC=16m,且点F与BE确定的平面与地面垂直.求卡 通雕塑BE的长度(参考数据:sin370.60,cos370.80,tan37 0.75,tan56.311.50).第9题
