1、 复习课复习课(1)若若a=101，b=99，则则a2b2=；(2)若若a=99,b=1,则则a22ab+b2=；(3)若若 ，则，则5x(2x+y)3y(2x+y)=a2-b2=(a+b)(a-b)a2_2ab+b2=(a-b)223532yxyx-65x(2x+y)3y(2x+y)=（2x+y)(5x-3y)复习目标：1.了解因式分解概念2.掌握因式分解基本方法和一 般步骤3.领略因式分解的综合应用【基础知识回顾】【基础知识回顾】一、因式分解的定义。一、因式分解的定义。1、把一个、把一个 式化为几个整式式化为几个整式 的形式，叫做的形式，叫做把这个多项式分解因式。把这个多项式分解因式。多项
2、式多项式积积2、因式分解与整式乘法是、因式分解与整式乘法是 运算，运算，互逆互逆多项式多项式 整式的积整式的积因式分解因式分解整式乘法整式乘法【提醒提醒】：判断是否是因式分解或判断因式分解是否：判断是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为正确，关键看等号右边是否为积积的形式。的形式。考点一：分解因式的概念考点一：分解因式的概念【重点考点例析】【重点考点例析】例例1 1：(2022(2022济宁济宁)下列式子变形是因式分解的是（）下列式子变形是因式分解的是（）A Ax x2 2-5x+6=x(x-5)+6 B-5x+6=x(x-5)+6 Bx x2 2-5x+6=(x-2)(x
3、-3)-5x+6=(x-2)(x-3)C C(x-2)(x-3)=x(x-2)(x-3)=x2 2-5x+6 D-5x+6 Dx x2 2-5x+6=(x+2)(x+3)-5x+6=(x+2)(x+3)B B例例2:(20222:(2022安徽安徽)下面的多项式中，能因式分解的是（）下面的多项式中，能因式分解的是（）A Am m2 2+n B+n Bm m2 2-m+1 C-m+1 Cm m2 2-n D-n Dm m2 2-2m+1-2m+1D D例例3:(20223:(2022凉山州凉山州)下列多项式能分解因式的是（）下列多项式能分解因式的是（）A Ax x2 2+y+y2 2 B B-x
4、-x2 2-y-y2 2 C C-x-x2 2+2xy-y+2xy-y2 2 D Dx x2-2-xy+yxy+y2 2C C （二）分解因式的方法：（二）分解因式的方法：（1）、提取公因式法提取公因式法（2）、）、运用公式法运用公式法（4 4）、）、分组分解法分组分解法（3 3）、）、十字相乘法十字相乘法【基础知识回顾】二、因式分解常用方法：二、因式分解常用方法：1、提公因式法：、提公因式法：公因式公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。多项式各项的公因式。提公因式法分解因式可表示为：提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc=。m(a
5、+b+c)【提醒提醒】：(1)公因式的选择可以是公因式的选择可以是单项式单项式，也可以是，也可以是多项式多项式，都遵，都遵循原则：取系数的循原则：取系数的最大公因数最大公因数，相同字母的，相同字母的最低次幂最低次幂。(2)提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为1，不能漏掉。不能漏掉。(3)提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要要变号变号。考点二：分解因式考点二：分解因式 例例2 2：把下
6、列各式分解因式：把下列各式分解因式 6x6x3 3y y2 2-9x-9x2 2y y3 3+3x+3x2 2y y2 2 p p（y-xy-x）-q-q（x-yx-y）(x-y)(x-y)2 2-y(y-x)-y(y-x)2 2【重点考点例析】【重点考点例析】解：原式=3x2y2(2x-3y+1)解：原式=p(y-x)+q(y-x)=(y-x)(p+q)解：原式=(x-y)2(1-y)例例1:(20221:(2022天门天门)分解因式：分解因式：3a3a2 2b+6abb+6ab2 2=3ab(a+2b)【基础知识回顾】2、运用公式法：、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式
7、进行将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。因式分解，这种方法叫做公式法。平方差公式：平方差公式：a2-b2=,完全平方公式：完全平方公式：a22ab+b2=。(a+b)(a-b)(ab)2【提醒提醒】：】：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面形式特点，找准里面a与与b。例例5:(20225:(2022广元）分解因式：广元）分解因式：3m3m3 3-18m-18m2 2n+27mnn+27mn2 2解：原式解：原式=3m=3m（m m2 2-6mn+9n-6mn+9n2 2）=3m=3m
8、（m-3nm-3n）2 2考点二：分解因式考点二：分解因式【重点考点例析】【重点考点例析】例例3:(2022沈阳沈阳)分解因式：分解因式：m2-6m+9=(m-3)2 例例4:(2022北海北海)因式分解：因式分解：-m2+n2=(n+m)(n-m)例例6 6：(2022(2022黔西南州黔西南州)分解因式：分解因式：a a4 4-16a-16a2 2解：原式解：原式=a=a2 2(a(a2 2-16)-16)=a =a2 2(a+4)(a-4)(a+4)(a-4)3 3、简单的、简单的“十字相乘十字相乘”：()()xp xq2()xpq xpq整式的乘法：整式的乘法：因式分解：因式分解：2(
9、)xpq xpq()()xp xq二次项系数是二次项系数是1常数项是两个数的积常数项是两个数的积一次项系数是常数项的两个因数之和一次项系数是常数项的两个因数之和考点二：分解因式考点二：分解因式【重点考点例析】【重点考点例析】27718m例：(1)m2-2x15(2)x(9)(2)mm(5)(3)xx例例8：（：（2022潍坊）分解因式：潍坊）分解因式：x3-4x2-12x解：原式解：原式=x(x=x(x2 2-4x-12)-4x-12)=x(x+2)(x-6)=x(x+2)(x-6)4、分组分解法：分组的原则：分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去分组后要能使因式分解继续下去分组后可以分组后
10、可以提公因式、提公因式、或或运运用公式法用公式法或或用十字相乘法用十字相乘法继继续分解因式。续分解因式。例题例题9：把下列各式分解因式：把下列各式分解因式 3x+x2-y2-3y x2-2x-4y2+1解：原式=(x2-y2)+(3x-3y)=(x+y)(x-y)+3(x-y)=(x-y)(x+y+3)解：原式=x2-2x+1-4y2 =(x-1)2-(2y)2 =(x-1+2y)(x-1-2y)【重点考点例析】【重点考点例析】例例10:10:(20212021年广东中山年广东中山)因式分解：因式分解：x x2 2y y2 23 3x x3 3y y=解：原式22()(33)xyxy()()3
11、()xy xyxy()()3xyxy()3xyxy【基础知识回顾】三、因式分解的一般步骤：三、因式分解的一般步骤：一提一提：对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。二二套套：对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于三项式，考虑应用完对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于三项式，考虑应用完 全平方公式或十字相乘法分解。全平方公式或十字相乘法分解。三三分分：再考虑分组分解法再考虑分组分解法 四查四查：检查：特别看看多项式因式是否分解彻底检查：特别看看多项式因式是否分解彻底 分解因式必须进行到每一个因式都不能继续分解为止。分解因式必须进行到每
12、一个因式都不能继续分解为止。【提醒提醒】：】：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两次分解，做题时要特中的因式分解题目一般为两次分解，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验。式乘法来检验。因式分解应进行到底因式分解应进行到底.如：如：1.1.分解因式分解因式：x x4 4-4=(x-4=(x2 2+2)(x+2)(x2 2-2)-2)=(x =(x2 2+2)(x+)(x-).+2)(x+)(x-).应在应在实数实数范围内将它分解到底范围内将它分解到底.又如
13、又如 2 2、分解因式分解因式:2:2x2 2-6x-8-6x-8 =2(x =2(x2 2-3x-4)-3x-4)=2(x-4)(x+3)=2(x-4)(x+3)222.2.不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原.如如:(a:(a2 2+b+b2 2)-4a-4a2 2b b2 2 =(a =(a2 2+b+b2 2+2ab)(a+2ab)(a2 2+b+b2 2-2ab)-2ab)=(a+b)=(a+b)2 2(a-b)(a-b)2 2 =(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)2 2 =(a =(a2 2-b-b2 2)2 2 =a =a
14、4 4-2a-2a2 2b b2 2+b+b4 4实际该题到第实际该题到第2 2个等于号就分解到底了，不能再向下个等于号就分解到底了，不能再向下计算了计算了!例例1.1.已知已知x-y=1,xy=2x-y=1,xy=2，求，求x x3 3y-2xy-2x2 2y y2 2+xy+xy3 3的值的值.因式分解是进行因式分解是进行代数式恒等变形代数式恒等变形的重要手段之一的重要手段之一.考点（三）：因式分解的综合应用考点（三）：因式分解的综合应用【重点考点例析】【重点考点例析】练练.（1）已知，）已知，x(x-2)-(x2-2y)+4=0，求代求代 数式数式 x2-2xy+y2 的值的值.（2）已
15、知：）已知：x2-4xy+4y2=0求代数式求代数式 的值的值 （三）因式分解的应用（三）因式分解的应用22223232yxyx探究：解方程探究：解方程（1 1）（）（2x+3)(2x-1)=02x+3)(2x-1)=0（2）x3-x=0（3）x2-6x+9=0 是什么？是什么？怎么做？怎么做？为什么？为什么？把一个多项式把一个多项式化成了整式乘化成了整式乘积的形式积的形式把一个因式看成一个整体把一个因式看成一个整体简化运算，条件求值，降次简化运算，条件求值，降次归纳小结归纳小结四种方法四种方法把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：-x-x3 3y y3 3-2x-2x2 2y y2 2-x
16、y-xy(1)4x(1)4x2 2-16y-16y2 2 (2)x (2)x2 2+xy+y+xy+y2 2.(4)81a(4)81a4 4-b-b4 4 （6)(x-y)2-6x+6y+9(2x+y)(2x+y)2 2-2(2x+y)+1(2x+y)+1 x x2 2y y2 2+xy-12+xy-12(8)(x+1)(x+5）+4解:原式=4(x2-4y2)=4(x+2y)(x-2y)解:原式 =(x2+2xy+y2)=(x+y)2解:原式=-xy(x2y2+2xy+1)=-xy(xy+1)2解:原式=(9a2+b2)(9a2-b2)=(9a2+b2)(3a+b)(3a-b)解：原式=(2
17、x+y-1)2解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2解：原式=(xy-4)(xy+3)解：原式=x2+6x+5+4 =(x+3)2能力提升：课堂检测：3.(20223.(2022遵义中考遵义中考)已知已知a a2 2-a-1=0-a-1=0，则，则a a2 2-a+2 009=_.-a+2 009=_.【解析解析】a a2 2-a+2 009=a-a+2 009=a2 2-a-1+2 010=0+2 010=2 010.-a-1+2 010=0+2 010=2 010.答案：答案：2 0102 0104.(20224.(2022芜湖中考芜湖中考)因式分解因式分解9x9x2 2-y-y2 2-4y-4=_-4y-4=_【解析解析】原式原式9x9x2 2-(y-(y2 2+4y+4)=+4y+4)=3x+(y+2)3x+(y+2)3x-(y+2)3x-(y+2)(3x+y+2)(3x-y-2)(3x+y+2)(3x-y-2)答案：答案：(3x+y+2)(3x-y-2)(3x+y+2)(3x-y-2)
