1、教材同步复习第一部分 第五章四边形第第22讲讲矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形知识要点知识要点 归纳归纳人教：八下第十八章人教：八下第十八章P52P69；北师大：九上第一章北师大：九上第一章P1P29.1性质知识点知识点1矩形的性质及判定矩形的性质及判定平行平行 性性质质1边：对边边：对边_且相等且相等2角：四个角都是角：四个角都是_3对角线：对角线互相平分且对角线：对角线互相平分且_4既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有_条对称条对称轴轴直角(或90)相等相等 2 直角直角(或或90)判定判定1.有一个角是有一个角是_的平行四边形是矩形的平行四边形
2、是矩形2有三个角都是有三个角都是_的四边形是矩形的四边形是矩形3对角线对角线_的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形4对角线相等且互相平分的四边形是矩形对角线相等且互相平分的四边形是矩形(证明过程中不证明过程中不能直接应用，可转换到判定能直接应用，可转换到判定3)面积计算面积计算 S_(a，b分别表示矩形的长和宽分别表示矩形的长和宽)直角直角(或或90)相等相等 ab 知识点知识点2菱形的性质及判定菱形的性质及判定相等相等 性性质质1.边：对边平行，四边都边：对边平行，四边都_2角：对角角：对角_3对角线：对角线互相对角线：对角线互相_，对角线对角线_一组对角一组对角4既是轴对称图形，又是中心对
3、称图形，它有既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有_条对称轴条对称轴相等相等 垂直且平分垂直且平分 平分平分 2 相等 判定判定1有一组邻边有一组邻边_的平行四边形是菱形的平行四边形是菱形2四条边四条边_的四边形是菱形的四边形是菱形3对角线互相垂直的对角线互相垂直的_是菱形是菱形4对角线互相垂直且平分的四边形是菱形对角线互相垂直且平分的四边形是菱形(证明过程中证明过程中不能直接应用，可转换到判定不能直接应用，可转换到判定3)面积计算面积计算S_(l1,l2分别表示两条对角线的长分别表示两条对角线的长)都相等都相等 平行四边形平行四边形 知识点知识点3正方形的性质及判定正方形的性质及判定相等相等
4、 性性质质1.边：对边平行，四边都边：对边平行，四边都_2角：四个角都是角：四个角都是_3对角线：对角线互相对角线：对角线互相_且相等，每条对角线平且相等，每条对角线平分一组对角分一组对角4正方形既是轴对称图形，正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有又是中心对称图形，它有_条对称轴条对称轴判判定定1有一个角是有一个角是_的菱形是正方形的菱形是正方形2两条对角线两条对角线_的菱形是正方形的菱形是正方形直角直角(或或90)垂直平分垂直平分 4 直角(或90)相等相等 邻边邻边 判定判定3有一组有一组_相等的矩形是正方形相等的矩形是正方形4对角线互相对角线互相_的矩形是正方形的矩形是正方形5两
5、条对角线相等且互相两条对角线相等且互相_的平行四边形是的平行四边形是正方形正方形(证明过程不能直接应用，可转换到判定证明过程不能直接应用，可转换到判定2)6两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形(证证明过程中不能直接应用，可转换到判定明过程中不能直接应用，可转换到判定2,3,4)面积计算面积计算S_(a表示边长表示边长)_(l表示对角线的长表示对角线的长)垂直垂直 垂直平分垂直平分 a2 知识点知识点4平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系五年真题五年真题 精选精选1(2016昆明5题3分)如图
6、，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB6，BC8，则四边形EFGH的面积是_.命题点命题点1矩形的性质与判定矩形的性质与判定24 2(2016曲靖13题3分)如图，在矩形ABCD中，AD10，CD6，E是CD边上一点，沿AE折叠ADE，使点D恰好落在BC边上的点F处，M是AF的中点，连接BM，则sinABM_.4(2016云南18题6分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，ABC BAD12，BEAC，CEBD(1)求tanDBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形(2)证明：四边形ABCD是菱形，ACBD，即BOC90.BEAC，CEBD，BEOC，CEOB，四边形O
7、BEC是平行四边形BOC90，四边形OBEC是矩形5(2019云南20题8分)如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AOOC，BOOD，且AOB2OAD(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AOBODC43，求ADO的度数(1)证明：AOOC，BOOD，四边形ABCD是平行四边形又AOB2OAD，AOBOADADO，OADADO，AOODACAOOC2AO，BDBOOD2OD，ACBD，四边形ABCD是矩形(2)解：设AOB4x，ODC3x，则ODCOCD3x.在ODC中，DOCOCDCDO180，4x3x3x180，解得x18，ODC31854，ADO90ODC905436
8、.6(2017云南20题8分)如图，ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E，F分别是AB，AC的中点(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.命题点命题点2菱形的性质与判定菱形的性质与判定7(2020云南22题9分)如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CEAB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CFAD，垂足为F，(1)若BAD60，求证：四边形CEHF是菱形；(2)若CE4，ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积8.(2016昆明14题4分)如图，在正方形AB
9、CD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EFAD，与AC，DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH.有下列结论：命题点命题点3正方形的性质正方形的性质D重点难点重点难点 突破突破例1如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O.重难点重难点1矩形的相关证明及计算矩形的相关证明及计算(重点重点)(1)如图1，以下几个条件中，可以使平行四边形ABCD为矩形的是_(填序号)；BAD90；ACBD；ACBD；OAOC，OBOD(2)如图2，过点B作BEAC交DC的延长线于点E.若BEBD求证：平行四边形ABCD为矩形；【解答】BEAC，ABCE，四边形AB
10、EC是平行四边形，ACBE.BEBD，ACBD，平行四边形ABCD为矩形判定矩形所用的方法是_.对角线相等的平行四边形是矩形 取BE的中点P，连接OP，试判断OP与BC的位置关系，并说明理由；【解答】OPBC理由如下：点O，P分别为BD，BE的中点，OP为BDE的中位线，OPDE.四边形ABCD为矩形，BCDE，OPBC连接OE.若AB6，BE10，求OE的长方法指导方法指导根据矩形的对角线相等且互相平分，可借助对角线的关系得到全根据矩形的对角线相等且互相平分，可借助对角线的关系得到全等三角形；等三角形；矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质的相矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰
11、三角形，在矩形性质的相关计算和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等关计算和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系量关系(3)矩形中的折叠问题矩形中的折叠问题折叠的性质：折叠的性质：a.位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；b.满足满足折叠性质，即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、折叠性质，即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积等均相等；面积等均相等；c.折叠之后，对应点的连线被折痕垂直平分折叠之后，对应点的连线被折痕垂直平分找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系找出隐含的折叠前后的位置关
12、系和数量关系一般运用三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识及方程思一般运用三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识及方程思想，设出恰当的未知数，列方程来求线段长想，设出恰当的未知数，列方程来求线段长例2如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC16，BD12.重难点重难点2菱形的相关证明及计算菱形的相关证明及计算(重点重点)B(1)若四边形ABCD为平行四边形，添加下列条件后，仍不能判定图1中四边形ABCD为菱形的是()AABADBACBDCACBDDABOCBO(2)如图1，若OBOD，ACBD，请添加一个条件_，使四边形ABCD为菱形；如图1，若BCAD，ABCD，请添加一个条
13、件_，使四边形ABCD为菱形；如图1，若ABOCDO，CBDBDA，请添加一个条件_，使四边形ABCD为菱形OAOC(答案不唯一答案不唯一)ABAD(答案不唯一答案不唯一)ACBD(答案不唯一答案不唯一)(3)如图2，若四边形ABCD为平行四边形，已知点A，点C关于直线BD对称，点H为BC上一点在四边形ABCD中，BCD为_三角形，对角线AC，BD的位置关系为_；四边形ABCD的面积为_；四边形ABCD的周长为_；连接OH，若OHBC于点H，求cosCOH的值等腰 ACBD 96 40(1)菱形判定的一般思路：首先判定其是平行四边形，然后根据平行菱形判定的一般思路：首先判定其是平行四边形，然后
14、根据平行四边形的邻边相等来判定其是菱形，这是判定菱形最基本的思路，同时四边形的邻边相等来判定其是菱形，这是判定菱形最基本的思路，同时也可以考虑其他判定方法，如四条边相等或对角线互相垂直平分也可以考虑其他判定方法，如四条边相等或对角线互相垂直平分；方法指导方法指导(2)与菱形有关的计算常涉及下面几种：与菱形有关的计算常涉及下面几种：求长度求长度(线段长或者周长线段长或者周长)时，应注意使用等腰三角形的性质；若时，应注意使用等腰三角形的性质；若菱形中存在一个顶角为菱形中存在一个顶角为60，则菱形被连接另外两点的对角线所割的两，则菱形被连接另外两点的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可
15、借助等边三角形的性质，同时个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；特殊角的直角三角形等进行计算；求面积时，可利用菱形的两条对角求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于两对角线之积的一半进行计算线互相垂直，面积等于两对角线之积的一半进行计算例3重难点重难点3正方形的相关证明与计算正方形的相关证明与计算(难点难点)CB(1)正方形判定的一般思路正方形判定的一般思路若四边形是平行四边形，则需要证一个角是直角和一组邻边
16、相若四边形是平行四边形，则需要证一个角是直角和一组邻边相等；等；若四边形是矩形，则需要证一组邻边相等或者对角线互相垂直；若四边形是矩形，则需要证一组邻边相等或者对角线互相垂直；若四边形是菱形，则需要证一个内角是直角或者对角线相等；若四边形是菱形，则需要证一个内角是直角或者对角线相等；若已知一个四边形，要先证明其为平行四边形，再证明其为正方若已知一个四边形，要先证明其为平行四边形，再证明其为正方形；也可以直接证明其既是矩形又是菱形形；也可以直接证明其既是矩形又是菱形方法指导方法指导20212021权威权威 预测预测1如图，在正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE.将ADE沿AE对
17、折至AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，CF.有下列结论：ABGAFG；BGCG；AGCF；SEGCSAFE；AGBAED145.其中正确的个数是()A2B3C4D5C2(北师大九上P27第11题改编)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AEBD，过点D作EDAC，使AE，DE相交于点E.(1)求证：AE DE；(2)连接BE交AC于点F.若BEED于点E，求AOD的度数(2)解：连接OE，如答图，由(1)得，四边形AODE是菱形，AEOAOBAEBD，答图四边形AEOB是平行四边形BEED，EDAC，BEAC，四边形AEOB是菱形，AEABOB，ABOBOA，AOB是等边三角形，AOB60，AOD18060120.
