1、高三：三角函数专题讲义目录5.1 三角函数的定义25.1 三角函数的定义【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1：设为锐角，为小于的角，为第一象限角，为小于的正角，则下列等式中成立的是A.B. C.D.2：下面四个命题中正确的是（ ）A.第一象限的角必是锐角B.锐角必是第一象限的角C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第一象限角【知识点一】:角的概念与推广一、正角、负角、零角：1.正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；2.负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；3.零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角二、象限角与轴线角：1.象限角：在
2、直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角例：第一象限角或 2.轴线角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为轴线角例：终边落在轴上的角： =或 【典型例题】考点一： 角的概念及推广例1已知,求的范围 练1：设为锐角，为小于的角，为第一象限角，为小于的正角，则下列等式中成立的是A.B. C.D.练2：下面四个命题中正确的是（ ）A.第一象限的角必是锐角B.锐角必是第一象限的角C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第一象限角考点二： 终边相同的角例1. 若的终边与角的终边相同，在内写出终边与角的终边相同的角练
3、1：已知角a3000,则与a终边相同的最小的正角是_练2：已知a1910(1)把角a写成()的形式，指出它是第几象限的角；(2)求出的值，使与a的终边相同，且. 【知识点二】：角度与弧度制的转换一、 弧度制：1.定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角2.弧度与角度的换算: ， ， 二、弧长与扇形面积公式:1. 弧长公式：2. 扇形面积公式：【典型例题】考点一： 弧度制概念的理解例1. 下列命题中，真命题的是A.一弧度是一度的圆心角所对的弧长；B.一弧度是长度为半径长得弧；C.一弧度是一度的弧与一度的角之和；D.一弧度是长度等于半径长得弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位练1.下列说
4、法正确的有“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 的角是周角的 ,的角是周角的 的角比的角大用弧度度量角时,角的大小与圆的半径有关考点二： 弧度与角度相互转化例1：半径为的圆内，弧长为的弧所对的圆心角的度数为_练1：若，则角的终边在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【知识点三】：任意角的三角函数值及其符号一、三角函数的概念1.定义:在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么比值叫做的正弦，记作，即；比值叫做的余弦，记作，即；比值叫做的正切，记作，即；比值叫做的余切，记作，即；2.符号:由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号
5、，我们可以得知：正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值由三角函数的定义：“全是天才”（3）特殊角的三角函数：对于一些常见的、特殊角的三角函数值需要熟练记忆，如：角不存在不存在【典型例题】考点一：已知终边上一点，求三角函数值例1.已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值练1：已知点是角终边上一点，则下列三角函数值中正确的是()ABCD例2：已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边
6、上一点，且，则y_练2：在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则.考点二：判断三角函数值符号例1：已知且，则的终边落在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限练1：已知，那么角是A第一或第二象限角 B第二或第三象限角C第三或第四象限角 D第一或第四象限角练2：角满足条件,则角在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限练3：已知,则的终边落在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限练4：已知则所在的象限A.第一或第二象限 B.第二或第四象限 C.第二或第三象限 D.第一或第三象限【知识点四】：三角函数线的定义与应用一、三角函数线：1.单位圆：半径等于单位
7、长的圆叫做单位圆设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与轴交点分别为，而与轴的交点分别为，由三角函数的定义可知，点的坐标为 2.有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向具有方向的线段叫做有向线段规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负3.三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点我们就分别称有向线段，为正弦线、余弦线、正切线二、方法清单1.方向与坐标轴正方向一致的有向线段为正，此时相应的二角函数值为正；方向与坐标轴正方向相反的有向线段为负，此时
8、相应的三角函数值为负2.角的终边在x轴上时，正切线、正弦线变为一个点；角a的终边在y轴上时，余弦线变为一个点，正切线不存在3.若0，则sin tan 此结论在比较三角函数值大小时常使用【典型例题】考点一：利用三角函数线比大小例1.若，则下式中正确的是（ ）A.B. C.D.练1：的大小关系是A.B. C.D.练2：如果角的正弦线和余弦线相等，则在内的取值是()A BC或 D以上都不对练3：若，则的大小关系是()ABCD例2：已知:，求证：练1：已知，求证：【知识点五】：同角三角函数基本关系设是一个任意大小的角，的终边上任意一点 的坐标是，它与原点的距离是，则，在单位圆中我们可以得到三角函数基本
9、关系：； 同角三角函数的基本关系的应用极为广泛它们还有如下等价形式：sin2=1cos2，sin =costan .在应用平方关系时，常用到平方根、算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取【典型例题】考点一： 同角三角函数关系式应用例1.已知,且则（A）（B）（C）（D）例2已知，则_练1已知，求的值。 考点二： 弦切互化例1. 若则_.=_.练1已知,求下列各式的值.（1）（2）【知识点六】：三角函数诱导公式，奇变偶不变，符号看象限看 的三角函数值：（1）当为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号（2）当为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐
10、角时原三角函数值的符号【典型例题】考点一： 诱导公式直接使用例1 若角的终边过点,则.例2=.练1已知则. 练2化简：得A.B.C.D.练3已知函数是偶函数,则下列结论可能成立的是A.B.C.D.考点二：诱导公式与三角恒等变换相结合构造角问题例1 若,且,则_.练1若平面向量,且,则的值是.【小试牛刀】1.已知半径为的扇形的弧长为,则这个扇形的圆心角的弧度数为_用弧度制表示：终边在轴上的角的集合终边在轴上的角的集合终边在坐标轴上的角的集合2.与终边相同的角是ABCD3.如果,且,则在第几象限A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.设分别是第二、三、四象限角，则点分别在第_、_、_象
11、限 5.若角的终边经过点,则的值为A.B.C.D.6.设是第二象限角则_7.如果，且为第四象限角，那么 _8. ，则=.9.已知和的终边关于轴对称，则下列各式中正确的是A.B. C.D. 10.已知且,则_11.，则 AB CD12.已知角的终边经过点，则_；_13.如图，角以为始边，它的终边与单位圆O相交于点，且点的横坐标为，则的值为（A）（B）（C）（D）14.则的值为A.B.C.D.15.在平面直角坐标系中,角以为始边,终边与单位圆交于点,则的值为（A）（B）（C）（D）16.若为整数，则代数式的化简结果是A.B.C.D.【巩固练习基础篇】1.若一个扇形的弧长是,半径是,则该扇形的圆心角
12、为A.B.C. D.2.已知，那么角是A第一或第二象限角B第二或第三象限角 C第三或第四象限角D第一或第四象限角3.已知点在角的终边上,且,则的值为A.B.C.D.4.若是第二象限的角,为其终边上的一点,且,则A.B.（C）（D）5.“”是“”的A.充分不必要条 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.设是第二象限角则_7.如果，且为第四象限角，那么 _8.若角的终边过点,则 .9.已知和的终边关于轴对称，则下列各式中正确的是A.B. C.D. 【巩固练习提高篇】1.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.设命题p:“若，则”，命题q:“若，则”，则A.“”为真命题B. “”为假命题C.“”为假命题D.以上都不对3.若角的终边相同，则的终边在A.轴的非负半轴上B.轴的非负半轴上C.轴的非正半轴上D.轴的非正半轴上4.已知,且,则A.B.C.D.5.若,则等于A.0B.1C.2D.36.已知则的值是_7.下列关系式中正确的是A.B.C.D.8.已知,则等于A.B.C.D.9.已知,求的值.10.记,那么等于A.B.C.D.11.，则_.阳光总在风雨后！
