1、 中考数学（北京专用）2.2分式方程北京中考题组(2015北京,21,5分)为解决“最后一公里”的交通接驳问题,北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年年底,全市已有公租自行车25 000辆,租赁点600个.预计到2015年年底,全市将有公租自行车50 000辆,并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年年底,全市将有租赁点多少个?解析解析设预计到2015年年底,全市将有租赁点x个.由题意,得1.2=.解得x=1 000.经检验,x=1 000是原方程的解,且符合题意.答:预计到2015年年底,全市将有租赁点1 000
2、个.25 00060050 000 x思路分析思路分析先分别表示出2013年年底和2015年年底平均每个租赁点的公租自行车的数量,再根据倍数关系列方程求解.评析评析此题主要考查了分式方程的应用,根据题意找到等量关系是解题的关键.教师专用题组考点一分式方程及其解法1.(2019四川成都,7,3分)分式方程+=1的解为()A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=-251xx2x答案答案A原方程去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1),解得x=-1,检验:当x=-1时,x(x-1)0,所以x=-1是原分式方程的解,故选A.2.(2018四川成都,8,3分)分式方程+=1的解是()A.x
3、=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-31xx12x答案答案A +=1,(x+1)(x-2)+x=x(x-2),x2-x-2+x=x2-2x,x=1,检验,当x=1时,x(x-2)0.所以x=1是原分式方程的解.故选A.1xx12x3.(2017黑龙江哈尔滨,6,3分)方程=的解为()A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.x=-523x11x答案答案C方程两边同时乘(x+3)(x-1),得2(x-1)=x+3,解得x=5,经检验,x=5是原分式方程的解.故选C.4.(2017河南,4,3分)解分式方程-2=,去分母得()A.1-2(x-1)=-3 B.1-2(x-1)=3C.1-2x-2
4、=-3 D.1-2x+2=311x31x答案答案A分式方程两边同乘(x-1),得1-2(x-1)=-3.故选A.5.(2020广东广州,13,3分)方程=的解是 .1xx322x答案答案 x=32解析解析 =两边同乘(x+1),得x=.经检验,x=是原方程的解.1xx32(1)x 32326.(2017四川绵阳,14,3分)关于x的分式方程-=的解是 .21x11x11x答案答案 x=-2解析解析-=,-=-,2(x+1)-(x-1)=-(x+1),2x+2-x+1=-x-1,2x=-4,x=-2.检验:当x=-2时,(x+1)(x-1)0,x=-2是原分式方程的解.21x11x11x21x1
5、1x11x考点二列分式方程解应用题1.(2020福建,8,4分)我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽?设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是()A.3(x-1)=B.=3C.3x-1=D.=36 210 x6 2101x6 210 x6 210 x答案答案A根据题意可列出方程=3(x-1).故选A.6 210 x2.(2018云南昆明,13,4分)甲、乙两船从
6、相距300 km的A,B两地同时出发相向而行,甲船从A地顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度为6 km/h,若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h,则求两船在静水中的速度可列方程为()A.=B.=C.=D.=1806x1206x1806x1206x1806x120 x180 x1206x答案答案A甲船航行的速度为(x+6)km/h,航行180 km用时 h,乙船航行的速度为(x-6)km/h,航行了300-180=120 km,用时 h,两船航行时间相同,则可列方程为=,故选A.1806x1206x1806x1206x3.(2017新疆乌鲁木齐,7,4分)2017年
7、,在创建文明城市的进程中,乌鲁木齐市为美化城市环境,计划种植树木30万棵,由于志愿者的加入,实际每天植树比原计划多20%,结果提前5天完成任务,设原计划每天植树x万棵,可列方程是()A.-=5 B.-=5C.+5=D.-=530 x30(120%)x30 x3020%x3020%x30 x30(120%)x30 x答案答案A原计划每天植树x万棵,则实际每天植树(1+20%)x万棵,根据“实际比原计划提前5天完成”可列方程:-=5,故选A.30 x30(120%)x4.(2019江西,11,3分)斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文明程度.如图,某路口的斑马线
8、路段ABC横穿双向行驶车道,其中AB=BC=6米,在绿灯亮时,小明共用11秒通过AC,其中通过BC的速度是通过AB的速度的1.2倍,求小明通过AB时的速度.设小明通过AB时的速度是x米/秒,根据题意列方程得:.答案答案 +=116x61.2x解析解析因为通过AB时的速度为x米/秒,所以通过BC时的速度为1.2x米/秒.因为通过AB所用的时间为秒,通过BC所用的时间为秒.由题意得+=11.6x61.2x6x61.2x5.(2019湖北黄冈,20,7分)为了对学生进行革命传统教育,红旗中学开展了“清明节祭扫”活动.全校学生从学校同时出发,步行4 000米到达烈士纪念馆.学校要求九(1)班提前到达目
9、的地,做好活动的准备工作.行走过程中,九(1)班步行的平均速度是其他班的1.25倍,结果比其他班提前10分钟到达.分别求九(1)班、其他班步行的平均速度.解析解析设其他班步行的平均速度为x米/分,则九(1)班步行的平均速度为1.25x米/分,依题意得-=10,解得x=80.经检验,x=80是所列方程的解且符合题意.此时,1.25x=1.2580=100.答:九(1)班步行的平均速度为100米/分,其他班步行的平均速度为80米/分.4 000 x4 0001.25x思路分析思路分析可设其他班的平均速度,然后根据九(1)班比其他班提前10分钟到达建立等量关系.6.(2019云南,18,6分)为进一
10、步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围,推进平安校园建设,甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生,分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发,前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动.已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍,甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地,分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.解析解析设甲校师生所乘大巴车的平均速度为x km/h,则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x km/h.根据题意得-=1,(3分)解得x=60.经检验,x=60是原分式方程的解.x=60,1.5x=90.答:甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度
11、分别为60 km/h和90 km/h.(6分)240 x2701.5x易错警示易错警示 解分式方程的应用题时要对结果进行检验.A组20182020年模拟基础题组考点一分式方程及其解法1.(2018北京海淀一模,12)写出一个解为1的分式方程:.答案答案 =1(答案不唯一)1x解析解析只要是解为1的分式方程即可,例如=1,答案不唯一.1x2.(2020北京西城二模,18)解方程:+1=.1xx233xx解析解析方程两边乘3(x-1),得3x+3(x-1)=2x.解得x=.检验:当x=时,3(x-1)0.所以,原方程的解为x=.3434343.(2020北京丰台二模,19)解分式方程:-=.239
12、x 23x13x解析解析3-2(x+3)=x-3.3-2x-6=x-3.-3x=0.x=0.经检验,x=0是原方程的解.原方程的解是x=0.4.(2019北京朝阳一模,18)解分式方程:-=.32x24xx12解析解析去分母,得6-x=x-2.(2分)整理,得2x=8.(3分)解得x=4.(4分)经检验,x=4是原方程的解.(5分)考点二列分式方程解应用题1.(2019北京顺义二模,5)为迎接“六一”儿童节,某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具,其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多5元,经调查:用1 000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同.设甲类玩具的进价为x元/
13、个,根据题意可列方程为()A.=B.=C.=D.=1 000 x7505x1 0005x750 x1 000 x7505x1 0005x750 x答案答案A购进甲类玩具的数量是个,购进乙类玩具的数量是个,因为购进数量相同,所以=.故选A.1 000 x7505x1 000 x7505x2.(2019北京密云一模,13)新能源汽车环保节能,越来越受到消费者的喜爱.某品牌新能源汽车2017年销售总额为500万元,2018年销售总额为960万元,2018年每辆车的销售价格比2017年降低1万元,2018年销售量是2017年销售量的2倍.求2018年每辆车的销售价格是多少万元?若设2018年每辆车的销
14、售价格为x万元,则可列方程为 .答案答案 =960 x1 0001x解析解析由题目可知,2017年销售量为辆,2018年销售量为辆,根据2018年销售量是2017年销售量的2倍,可列方程为=2,即=.5001x960 x960 x5001x960 x1 0001x3.(2018北京丰台二模,13)“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米,提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟.已知从北京到上海全程约1 320千米,求“复兴号”的速度.设“复兴号”的速度为x千米/时,依题意,可列方程为 .答案答案 =-1 320 x1
15、 32050 x3060解析解析提速前、后需要的时间分别为小时和小时,由缩短了30分钟,可列方程为=-.B组20182020年模拟提升题组时间:10分钟分值:15分1 32050 x1 320 x1 320 x1 32050 x3060一、选择题(每小题2分,共2分)B组20182020年模拟提升题组时间:10分钟分值:15分1.(2019北京怀柔一模,7)九章算术中记载了这样一个数学问题:今有甲发长安,五日至齐;乙发齐,七日至长安.今乙发已先二日,甲仍发长安.问几何日相逢?译文:甲从长安出发,5日到齐国;乙从齐国出发,7日到长安.现乙先出发2日,甲才从长安出发.问甲,乙经过多少日相逢?设甲,
16、乙经过x日相逢,可列方程为()A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.=72x5x27x5x72x5x27x5x答案答案B由“甲从长安出发,5日到齐国;乙从齐国出发,7日到长安”可知甲,乙每天可以走总路程的,因为甲,乙经过x天相逢,所以甲一共走了x天,乙走了x+2天,所以+=1.故选B.151727x5x解题关键解题关键解决本题的关键是通过发现甲、乙每天行进速度进而表示“单位1”.二、填空题(每小题2分,共6分)2.(2019北京海淀一模,15)2019年2月,全球首个5G火车站在上海虹桥启动.虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍.在峰值速率下传输8千兆数据,5G网络比4G网
17、络快720秒,求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据,依题意,可列方程为 .答案答案-=7208x810 x解析解析设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据,则5G网络峰值速率为每秒传输10 x千兆数据.根据“速度时间=总数据”以及“5G网络比4G网络快720秒”,可列方程为-=720.8x810 x3.(2018北京门头沟一模,14)某小区购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境,购买银杏树用了12 000元,购买玉兰树用了9 000元.已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍,求银杏树和玉兰树的单价.设银杏树的单价为x元,可列方程为 .答案答案 +=15012
18、 000 x9 0001.5x解析解析银杏树的单价为x元,则玉兰树的单价为1.5x元,已知购买银杏树用了12 000元,则购买银杏树棵,同理,购买玉兰树棵,由银杏树和玉兰树共150棵可列方程为+=150.12 000 x9 0001.5x12 000 x9 0001.5x4.(2018北京海淀二模,13)2017年全球超级计算机500强名单公布,中国超级计算机“神威太湖之光”和“天河二号”夺得前两名.已知“神威太湖之光”的浮点运算速度是“天河二号”的2.74倍.这两种超级计算机分别进行100亿亿次浮点运算,“神威太湖之光”的运算时间比“天河二号”少18.75秒,求这两种超级计算机的浮点运算速度
19、.设“天河二号”的浮点运算速度为x亿亿次/秒,依题意,可列方程为 .答案答案 -=18.75100 x1002.74x解析解析“天河二号”和“神威太湖之光”进行100亿亿次运算所花的时间分别是秒和秒,根据运行时间的差可列方程为-=18.75.100 x1002.74x100 x1002.74x三、解答题(共7分)5.(2020北京东城一模,19)观察下面分式方程的求解过程,指出其中错误的步骤,说明错误的原因,并直接给出正确结果.解分式方程:1-=.解:去分母,得2x+2-(x-3)=3x.步骤1去括号,得2x+2-x-3=3x.步骤2移项,得2x-x-3x=2-3.步骤3合并同类项,得-2x=-1.步骤4解得x=.步骤5所以,原分式方程的解为x=.步骤6322xx31xx1212解析解析出错的步骤:步骤1:去分母时,方程两边同时乘2(x+1),等号右边应该是6x;步骤2:遇到负号去括号时要变号,等号左边-3改成+3;步骤3:移项要变号,等号右边是3-2;步骤6:分式方程的根要检验.正确结果:1-=.2x+2-(x-3)=6x.2x+2-x+3=6x.2x-x-6x=-2-3.-5x=-5.x=1.检验:当x=1时,2(x+1)0.所以原分式方程的解是x=1.322xx31xx易错警示易错警示解分式方程不要忘记检验.
