1、第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录思维导图思维导图返回目录返回目录*切线长定理直线与圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内性质判定三角形的内切圆与圆有关的位置关系概念角度关系圆心性质点与圆的位置关系切线的性质与判定第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录考点精讲考点精讲【对接教材】【对接教材】人教人教：九上第二十四章九上第二十四章P92-P104；北师：北师：九下第三章九下第三章P66、P89-P96.第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录点与圆的位置点与圆的位置
2、关系关系点在圆外点在圆外dr点在圆上点在圆上d=r（设圆的半径为（设圆的半径为r，点到圆心的距离为，点到圆心的距离为d）点在圆内点在圆内d_r直线与圆的位直线与圆的位置关系置关系直线直线l和和O相交相交dr直线直线l和和O相切相切d=r（设圆的半径为（设圆的半径为r,圆心到直线圆心到直线l的距离为的距离为d）直线直线l和和O相离相离d_r第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录切线的性切线的性质与判定质与判定性质：圆的切线性质：圆的切线_于过切点的半径（或直径）于过切点的半径（或直径）1.过半径外端且过半径外端且_于半径的直线是圆的切线于半径的
3、直线是圆的切线2.和圆只有和圆只有_公共点的直线是圆的切线公共点的直线是圆的切线3.如果圆心到一条直线的距离如果圆心到一条直线的距离_圆的半径，那么这条圆的半径，那么这条直线是圆的切线直线是圆的切线判定判定垂直垂直垂直垂直一个一个等于等于第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录*切线长定理：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图如图1，PA、PB分别切分别切O于于A、B两点，则两点，则PAPB，AP
4、O=_=APB.12BPO第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录三角形三角形的内切的内切圆圆概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，如图概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，如图2圆心：三角形三个内角的圆心：三角形三个内角的_的交点的交点性质：三角形的内心到三角形的三条边的距离性质：三角形的内心到三角形的三条边的距离_角度关系：角度关系：BOC=90+A12平分线平分线相等相等直角三角形内切圆半径直角三角形内切圆半径r=(a、b是直角三角形两条直角边，是直角三角形两条直角边，c是斜边是斜边)拓展延伸拓展延伸-2a+b c第二节第
5、二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录重难点突破重难点突破突破设问突破设问1 切线的判定切线的判定类型一类型一 切点确定，连半径，证垂直切点确定，连半径，证垂直方法方法1 利用平行证垂直利用平行证垂直当题干中有与当题干中有与“要证的切线垂直要证的切线垂直”的直线，则连接圆心与切点，证明半径与该的直线，则连接圆心与切点，证明半径与该直线平行直线平行.满 分 技 法满 分 技 法第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录例例1 如图，如图，AB是是O的直径，点的直径，点E是是O上一点，上一点，EAB的平分线的平分线AC交交O于点于点C，过点，过点C作作C
6、DAE交交AE的延长线于点的延长线于点D.求证：求证：CD是是O的切线的切线例1题图例例1证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC，AC平分平分DAB，DACOAC.OAOC，OCAOAC，DACOCA，DAOC.ADDC，ADC90，OCD90，即，即OCDC.OC为为O的半径，的半径，CD是是O的切线的切线.第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录例例2 如图，如图，AB是是的直径，的直径，AD是弦，延长是弦，延长AD至点至点C，使使ADDC，连接，连接BC，过点过点D作作DEBC于点于点E 求证：求证：DE是是O的切线的切线 例2题图 例例2证明：如解图，连接证
7、明：如解图，连接OD，ADDC，OAOB，OD是是ABC的中位线，的中位线，ODBC.DEBC，DEOD.又又OD为为O的半径，的半径，DE是是O的切线的切线第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录方法方法2 利用等角转换证垂直利用等角转换证垂直通过互余的两个角之间的等量代换通过互余的两个角之间的等量代换.满 分 技 法满 分 技 法第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录例例3 如图，在如图，在O中，中，AB是是O的直径，的直径，D是是O上的点，点上的点，点C在直径在直径AB的延长线的延长线上，上，ABDC.求证：求证：CD是是O的切线的切
8、线例3题图 例例3证明：如解图，连接证明：如解图，连接OD，AB为为O的直径，的直径，ADB90，即，即AABD90.又又ODOB，ABDODB.ABDC，BDCODB90，即即ODC90.OD是是O的半径，的半径，CD是是O的切线的切线第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录21例例4 如图，以如图，以ABC的边的边AB为直径作为直径作O，与，与BC交于点交于点D，E是是 的中点，连的中点，连接接AE交交BC于点于点F，ACB2BAE.求证：求证：AC是是O的切线的切线例4题图 BD例例4证明：如解图，连接证明：如解图，连接AD,E是是 的中点，的中点，.12.BA
9、D21.ACB2BAE21，CBAD.AB为为O的直径，的直径，ADBADC90.DACC90.CBAD,DACBAD90.BAC90，即，即ABAC.AB是是O的直径，的直径，AC是是O的切线的切线BDBEDE第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录方法方法3 利用三角形全等证垂直利用三角形全等证垂直通过证明切线和其他两边围成的三角形与通过证明切线和其他两边围成的三角形与含含90的三角形全等的三角形全等.满 分 技 法满 分 技 法第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录例例5 如图，在如图，在RtOCE中，中，C90，以，以OC为半径作为
10、半径作O，CO的延长线交的延长线交O于点于点A，D为为O上一点，且上一点，且OEAD，连接，连接DE.求证：求证：ED是是O的切线的切线.例5题图 例例5证明：如解图，连接证明：如解图，连接OD，OAOD，DAOADO.OEAD，COEDAC，DOEADO.COEDOE.在在COE和和DOE中，中，OCODCOEDOEOEOE=COEDOE(SAS)，ODEOCE90，OD为为O的半径，的半径，ED是是O的切线的切线第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录类型二类型二 切点不确定，作垂直，证半径切点不确定，作垂直，证半径当切点不确定时当切点不确定时,常用的方法有常用的
11、方法有:1.当有角平分线时当有角平分线时,可利用角平分线的性质可利用角平分线的性质,来证明所作垂线等于半径来证明所作垂线等于半径;2.当存在线段相等当存在线段相等,角相等等条件时角相等等条件时,通过构造直角三角形通过构造直角三角形,利用全等三角形的性利用全等三角形的性质质,来证明所作垂线等于半径来证明所作垂线等于半径.满 分 技 法满 分 技 法第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录例例6 如图，在如图，在RtABC中，中，BAC90，BD是是ABC的平分线，以点的平分线，以点D为圆为圆心，心，DA为半径作为半径作D 求证：求证：BC是是D的切线的切线例6题图 例例
12、6证明：如解图，过点证明：如解图，过点D作作DFBC于点于点F，BD平分平分ABC，ABDFBD.BAD90，BDBD，ABDFBD(AAS)，ADDF.DF是是D的半径，的半径，DFBC，BC是是D的切线的切线F第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录例例7 如图，在如图，在ABC中，中，O为为AC上一点，以点上一点，以点O为圆心，为圆心，OC为半径作圆，与为半径作圆，与BC相切于点相切于点C，过点，过点A作作ADBO交交BO的延长线于点的延长线于点D，且，且AODBAD求证：求证：AB为为的切线的切线例7题图 例例7证明：证明：如解图，过点如解图，过点O作作OEA
13、B于点于点E,ADBO，D90.BADABD90，AODOAD90.AODBAD,ABDOAD.又又BC为为O的切线，的切线，ACBC.BOCOBC90.BOCAOD,OBCOADABD.E第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录在在BOE和和BOC中，中，BOEBOC(AAS)EOCO，即，即EO为为O的半径的半径.OEAB，AB为为O的切线的切线例7题解图 EEBOCBOOEBOCBOBOB=第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录突破设问突破设问2 求线段长求线段长圆的综合题第圆的综合题第2问在涉及求线段长的问题时，因题图中多含直角三角
14、形，因此问在涉及求线段长的问题时，因题图中多含直角三角形，因此可以考虑从以下方面来找突破口：可以考虑从以下方面来找突破口：1.勾股定理；勾股定理；2.锐角三角函数；锐角三角函数；3.相似三角相似三角形形.若题目中含有若题目中含有30，45，60或者三角函数值时，常考虑用三角函数求或者三角函数值时，常考虑用三角函数求解；若不含，常考虑用相似三角形求解解；若不含，常考虑用相似三角形求解.满 分 技 法满 分 技 法第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录例例8 如图，已知如图，已知AB是是O的直径，点的直径，点D在在O上，过点上，过点D作作O的切线交的切线交BA的延的延长
15、线于点长线于点P，延长，延长PD至点至点E，使得，使得BE与与O相切于点相切于点B.若若E=60，PD=，求求AP的长的长.例8题图 3例例8解法一：如解图，连接解法一：如解图，连接OD，BE是是O的切线，的切线，E60，P30.PD是是O的切线，的切线，ODP90.设设O的半径为的半径为r，在在RtOPD中，中，P30，OP2OD2r.在在RtOPD中，中，OP2OD2PD2，(2r)2r2()2，解得解得r1.OP2，OA1，APOPOA1.3第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录解法二：如解图，连接解法二：如解图，连接OD，BE是是O的切线，的切线，E60，P
16、30.PD是是O的切线，的切线，ODP90.在在RtOPD中，中，tanOPD ，OAOD PD1.又又P30，在在RtOPD中，中，OP2OD2.APOPOA1.3333OPPD例8题图 第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录例例9 如图，如图，AB是是O的直径，点的直径，点C在在O上，上，PB是是O的切线，切点为的切线，切点为B，过点，过点O作作ODBC于点于点D，交，交PB于点于点P.若若O的直径为的直径为10，AC=AC=6，求，求PB的长的长.例9题图 解法一：解法一：O的直径为的直径为10，AC6，在在RtABC中，由勾股定理得中，由勾股定理得BC8.O
17、DBC，ACB90，O是是AB的中点，的中点，BDCD BC4，OD AC3.PB是是O的切线，的切线，PBO90，PBDOBD90.1212OBDBOD90，PDBBDO90，PBDBOD，PDBBDO，即，即 ，PB .BPPBDODB5PB34203第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录解法二：解法二：O的直径为的直径为10，AC6，在在RtABC中，中，由勾股定理得由勾股定理得BC8，ODBC，ACB90，O是是AB中点，中点，BDCD BC4，OD AC3，BO5.PB是是O的切线，的切线，PBO90.在在RtBDO中，中，tanBOD ，在在RtPBO中
18、，中，tanBOPtanBOD ，PB .1212BDOD4343PBBO203第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录突破设问突破设问3 证明线段位置、数量关系证明线段位置、数量关系1.证明切线垂直于非半径的线段的方法：易证连切点的半径垂直于切线，根证明切线垂直于非半径的线段的方法：易证连切点的半径垂直于切线，根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补先证得连切点的半径平行于非半据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补先证得连切点的半径平行于非半径的线段，再根据平行线的性质证得切线与非半径的线段夹角为径的线段，再根据平行线的性质证得切线与非半径的线段夹角为90，从而，从
19、而得证得证.满 分 技 法满 分 技 法第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录2.证明两线段相等的方法：证明两线段相等的方法：（1）若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形三线合一或直角三角形）若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形三线合一或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明；斜边上的中线等于斜边的一半来证明；（2）若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，）若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰或等边三角形等角对等边来证明；利用等腰或等边三角形等角对等边来证明；（3）若所证两线段不共线但在有公共边的
20、两个三角形中，则可以考虑利用全）若所证两线段不共线但在有公共边的两个三角形中，则可以考虑利用全等三角形来证明等三角形来证明;（4）若所证两线段平行，则可以考虑利用平行四边形对边相等来证明）若所证两线段平行，则可以考虑利用平行四边形对边相等来证明.满 分 技 法满 分 技 法第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录例例10 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，以，以AB为直径的为直径的O交交BC于点于点D，过点，过点D作作O的切线的切线DE交交AC于于E 求证：求证：DEAC例10题图 证明：证明：OBOD，ABCODB.ABAC，ABCACB，ODBACB，ODA
21、C.DE是是O的切线，的切线，OD是是O的半径，的半径，DEOD，DEAC.第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录例例11 如图，如图，AB是是O的直径，的直径，E是是BA延长线上一点，延长线上一点，DE是是O的切线，切点为的切线，切点为C，连接，连接OD、BC，OD与与BC相交于点相交于点F，且，且ABC=D.求证：求证：CF=BF.例11题图 例例11证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC，DE是是O的切线，的切线，OCDE，DCO90，DCOD90.OCOB，OBCOCB.ABCD，OCBD，BCODOC90，CFO90，OFBC.OF经过圆心，经过圆心，O
22、F垂直平分垂直平分BC，F是是BC的中点，即的中点，即CFBF.第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录突破设问突破设问4 与角度有关的问题与角度有关的问题证明两角相等的方法：证明两角相等的方法：1.在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等来证明；在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等来证明；2.利用半径相等，转化到等腰三角形中利用等边对等角来证明利用半径相等，转化到等腰三角形中利用等边对等角来证明.满 分 技 法满 分 技 法第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录例例12 如图，如图，O是是ABD的外接圆，的外接圆，AB是是O的直径
23、，过点的直径，过点A作作AC=AB,交交BD的的延长线于点延长线于点C,过点过点D作作O的切线交的切线交AC于点于点E.求证：求证：ABD=ADE.例12题图 例例12证明：如解图，连接证明：如解图，连接OD，DE为为O的切线，的切线，ODDE，ADOADE90.AB为为O的直径，的直径，ADB90，ADOODB90，ADEODB，OBOD，OBDODB，ABDADE.第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录例例13 如图，如图，PA、PB是是O的切线，的切线，A、B为切点，为切点，APB60，连接，连接PO并延并延长与长与O交于点交于点C，连接，连接AC、BC.求求
24、ACB的大小的大小.例13题图 解：如解图，连接解：如解图，连接OA、OB，PA、PB是是O的切线，的切线，OAPOBP90，AOB180APB120，ACB60.第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录1.如图，由同弧所对的圆周角相等，易得如图，由同弧所对的圆周角相等，易得PACPDB；2.如图，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得如图，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得ABDAEC；3.如图，已知如图，已知AB切切O于点于点A,易证易证ABDCBA.突破设问突破设问5 证明三角形相似证明三角形相似满 分 技 法满 分 技 法第二节第二节 与圆
25、有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录例例14 如图，如图，ABC内接于内接于O，AD是是O的直径，过点的直径，过点A的切线与的切线与CB的延长线交的延长线交于点于点E.求证：求证：BAEACE.例14题图 证明：如解图，连接证明：如解图，连接BD，AE是是O的切线，的切线，AD为为O的直径，的直径，EAD90，ABD90，即，即EABBAD90，BADADB90.EABADB.又又ADBC，EABC.E是公共角，是公共角，BAEACE.第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录例例15 如图，在如图，在O中，弦中，弦AC、BD交于点交于点E，=2 .求证：求
26、证：AB2=AEAC.例15题图 BDAB证明：如解图，连接证明：如解图，连接BC，2 ，ABDACB，CABCAB，ABEACB，AB2AEAC.BDABABADABACAEAB第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录解：解：AHBC，AH3，NH1，HCNH1.在在RtABH中，中，AH3，BHBNNH ，由勾股定理得由勾股定理得AB ，在，在RtACH中，中，AH3，HC1，由勾股定理得由勾股定理得AC .BMNAMNAMNBCA，BMNBCA.在在BMN和和BCA中，由中，由BB，BMNBCA，可得，可得BMNBCA，即，即 ，MN .例例16 如图，在如图，
27、在ABC中，中，AHBC，O是线段是线段AH上一点，以上一点，以O为圆心，为圆心，OA长为长为半径作圆，半径作圆，O经过点经过点C，分别交，分别交AB、BC于点于点M、N，连接，连接MN.若若AH=3，NH=1，BN=，求，求MN的长的长.例16题图 549415410 MNCABNBA 10MN10354154第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录1.（数学文化）九章算术是东方数学思想之源，该书中记载：（数学文化）九章算术是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何股一十五步，问勾中容圆径几何.”其意思是：其意思是：“今有
28、直角三角形，勾今有直角三角形，勾(短直角边短直角边)长为长为8步，股步，股(长直角边长直角边)长为长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步.”该该问题的答案是问题的答案是_步步.全国视野全国视野 核心素养提升核心素养提升6第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录2.（2020嘉兴嘉兴）已知：如图，在已知：如图，在OAB中，中，OA=OB,O与与AB相切于点相切于点C，求证：，求证：AC=BC.小明同学的证明过程如下框：小明同学的证明过程如下框：第2题图 证明：连接证明：连接OC，OA=OB,A=B,又又OC=OC,OACOB
29、C,AC=BC.第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录小明的证法是否正确？若正确，请在框内打小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“”;“”;若错误，请写出你的证明过若错误，请写出你的证明过程程.第2题解图解：证法错误解：证法错误证明：如解图，证明：如解图，连接连接OC.O与与AB相切于点相切于点C.OCAB.OAOB.ACBC.第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录3.（2020昆明五华区一模昆明五华区一模）如图所示，在平面内，给定不在同一直线上的点如图所示，在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，射线，射线BP是是ABC的平分线，
30、点的平分线，点O到点到点A，B，C的距离均等于的距离均等于a(a为常数为常数)，到点到点O的距离等于的距离等于a的所有点组成图形的所有点组成图形G,图形图形G交射线交射线BP于点于点D,连接连接AD,CD.第3题图 第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录第3题解图(1)证明：如解图，由题意知图形证明：如解图，由题意知图形G为为ABC的外接圆的外接圆O，ABDCBD，ADCD；ADCD(1)求证：求证：AD=CD;第二节第二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系返回目录返回目录(2)过点过点D作直线作直线AB的垂线的垂线DE,垂足为垂足为E,作作DFBC于点于点F,延长延长DF交图形交图形G于点于点M,连接连接CM若若ADCM,求直线求直线DE与图形与图形G的公共点个数的公共点个数第3题解图(2)解：如解图，连接解：如解图，连接OD，ADCM，.，.又又BCDM，BC是是O的直径，的直径，BAC90.ADADCDCDCMCM ，ODAC，ABOD.DEAB，DEOD，OD是是O的半径，的半径，DE是是O的切线，的切线，直线直线DE与图形与图形G的公共点个数是的公共点个数是1个个ADCD
