1、第3节等腰三角形课标要求考情概览1.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理,探索并掌握等腰三角形的判定定理.2.探索等边三角形的性质定理及判定定理.3.探索并证明角平分线的性质定理和判定定理.4.理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.2020年10题 等边三角形的性质2019年13题等边三角形的判定与性质2018年14题 等腰三角形的性质23题等边三角形的判定和性质2016年23题等边三角形的判定和性质一、等腰三角形与等边三角形知 识 梳 理等腰三角形定义有相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边
2、的夹角叫做底角性质(1)两个底角相等(简称 );(2)顶角平分线、底边上的、底边上的高相互重合(简称“三线合一”);(3)是轴对称图形,有条对称轴两边等边对等角中线1等腰三角形判定(1)在ABC中,AB=ACABC是等腰三角形(定义);(2)在ABC中,B=CABC是等腰三角形面积（续表）等边三角形定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形性质(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于;(2)等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点重合;(3)等边三角形是轴对称图形,有条对称轴（续表）603（续表）等边三角形判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义);(2)三个
3、角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形面积二、垂直平分线、角平分线名称图形性质及判定垂直平分线若lAB于点O,OA=OB,则AP=BP线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等若PA=PB,OA=OB,则lAB到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上角平分线由1=2,PEOA,PFOB可得PE=PF角平分线上的点到角两边的距离相等由PEOA,PFOB,PE=PF可得1=2到角两边距离相等的点在这个角的平分线上1.已知等腰三角形的一个底角的度数为70,则另外两个内角的度数分别是()A.55,55B.70,40C.55,55或70,40D.
4、以上都不对B对 点 演 练题组一必会题图17-1答案 C解析在等腰三角形ABC中,BD为ABC的平分线,A=36,ABC=C=2ABD=72,ABD=36=A,BD=AD,BDC=A+ABD=72=C,BD=BC,AB=AC=a,BC=b,CD=AC-AD=a-b.3.如图17-2,等边三角形ABC与互相平行的直线a,b相交.若1=25,则2的大小为()A.25B.35C.45D.55图17-2B图17-3答案 C5.如图17-4,ABC中,DG垂直平分AB交AB于点D,交BC于点M,EF垂直平分AC交AC于点E,交BC于点N,且点M在点N的左侧,连接AM,AN,若BC=12 cm,则AMN的
5、周长是()A.10 cmB.12 cmC.14 cmD.16 cmB图17-4题组二易错题【失分点】腰与底不确定时忽视分类讨论;分类讨论时忘记三角形三边关系;顶角与底角不确定时忽视分类讨论造成漏解.6.若一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则这个等腰三角形的周长为()A.8B.10C.8或10D.6或12B7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25,则顶角的度数为.答案 115或65解析如图,当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部.根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角的度数是90+25=115;如图,当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,故顶角的度数是9
6、0-25=65.考向一等腰三角形的性质及判定例1 2019重庆A卷如图17-5,在ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分ABC交AC于点E,过点E作EFBC交AB于点F.(1)若C=36,求BAD的度数;(2)求证:FB=FE.图17-5例1 2019重庆A卷如图17-5,在ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分ABC交AC于点E,过点E作EFBC交AB于点F.(2)求证:FB=FE.图17-5解：(2)证明:BE平分ABC,ABE=CBE.EFBC,FEB=CBE.ABE=FEB.FB=FE.【方法点析】等腰三角形的性质为我们探究线段相等或角相等提
7、供了重要的依据,它是沟通题中边角关系的重要桥梁,把边的关系转化成角的关系(如等边对等角,等腰三角形“三线合一”)是等腰三角形性质的本质所在,需要添加辅助线时,一般添加顶角的平分线或底边上的高或底边上的中线.考向精练1.2019衢州“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图17-6所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动.C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若BDE=75,则CDE的度数是()A.60B.65C.75D.80图17-6答案D解析 OC=CD=DE,O=CDO,DCE=CED.DCE
8、=2O,EDB=3O=75,O=25,CED=ECD=50,CDE=180-CED-ECD=180-50-50=80,故选D.2.已知:如图17-7,ABC中,BO,CO分别是ABC和ACB的平分线,过O点的直线分别交AB,AC于点D,E,且DEBC.若AB=6 cm,AC=8 cm,则ADE的周长为cm.图17-7答案 14解析BO平分ABC,且DEBC,BD=DO,同理OE=EC,ADE的周长为AD+DO+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=14 cm.考向二等边三角形的性质及判定图17-8答案B例3教材母题沪科八上P140已知:如图17-9,点C为线段AB上一点,ACM和CB
9、N是等边三角形,AN交CM于点E,BM交CN于点F.求证:(1)CE=CF;(2)EFAB.图17-9证明:(1)ACM,CBN是等边三角形,AC=MC,CN=CB,ACM=NCB=60,MCN=60,ACN=MCB,ACN MCB,CAN=CMB,ACE MCF,CE=CF.(2)CE=CF,ECF=60,CEF是等边三角形,EFC=NCB=60,EFAB.考向精练D4.2020宁波BDE和FGH是两个全等的等边三角形,将它们按如图17-10的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长,则只需知道()A.ABC的周长B.AFH的周长C.四边形FBGH的周长D.四边形ADEC的周
10、长图17-10答案A解析 GFH为等边三角形,FH=GH,FHG=60,AHF+GHC=120,ABC为等边三角形,AB=BC=AC,ACB=A=60,GHC+HGC=120,AHF=HGC,AFH CHG(AAS),AF=CH.BDE和FGH是两个全等的等边三角形,BE=FH,五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF=(BD+DF+AF)+(CE+BE)=AB+BC.只需知道ABC的周长即可.5.如图17-11,在边长为2的等边三角形ABC中,D为BC的中点,E是AC边上一点,则BE+DE的最小值为.图17-11考向三垂直平分线和角平分线图17-12
11、(2)2019南充如图17-13,在ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则ACE的周长为()A.8B.11C.16D.17图17-13答案 A图17-12答案 B解析DE垂直平分AB,AE=BE,ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11,故选B.例4(2)2019南充如图17-13,在ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则ACE的周长为()A.8B.11C.16D.17图17-13 考向精练6.2019梧州如图17-14,DE是ABC的边AB的垂直平分线,D为垂足,DE交AC于点E,且AC=8,BC=5,则BEC的周长是()A.12B.13C.14D.15图17-14答案 B解析DE是ABC的边AB的垂直平分线,AE=BE,AC=8,BC=5,BEC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=13.故选B.7.2019湖州如图17-15,已知在四边形ABCD中,BCD=90,BD平分ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.42答案 B图17-15
