1、 中考数学（湖南专用）3.4二次函数A组20162020年湖南中考题组考点一二次函数的图象与性质1.(2020湖南常德,7,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论:b2-4ac0;abc0.其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1答案答案B由题中图象知,抛物线与x轴有两个交点,方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根,b2-4ac0,故正确;由图象知,抛物线的开口向下,a0,又抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,c0,abc0,故正确;由图象知,抛物线的对称轴为直线x=2,-=2,4a+b=0,故正确;由图象知,当x=-2时,y0,4a-2b+c
2、0,故错误.正确的结论有3个,故选B.2ba2.(2020湖南娄底,12,3分)二次函数y=(x-a)(x-b)-2,(ab)的图象与x轴交点的横坐标为m,n,且mn,则a,b,m,n的大小关系是()A.amnbB.ambnC.mabnD.manb答案答案C二次函数y=(x-a)(x-b)的图象与x轴交点的横坐标为a、b,向下平移2个单位长度得到二次函数y=(x-a)(x-b)-2的图象,如图所示.观察图象,可知mab0;b-2a0;a+bn(an+b),n1;2c3b.正确的是()A.B.C.D.答案答案D抛物线开口向下,a0,抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上,c0,abc0,错误;由图象可
3、得当x=-1时,y=a-b+can2+bn+c,即a+bn(an+b),n1,正确;由对称性易知当x=3时,函数值小于0,y=9a+3b+c0,由b=-2a得a=-,代入9a+3b+c0,得9+3b+c0,2ba2b-2b整理得2c3b,正确.故选D.4.(2020湖南株洲,10,4分)二次函数y=ax2+bx+c,若ab0,点A(x1,y1),B(x2,y2)在该二次函数的图象上,其中x1y2C.y10,b20,a0.又ab0,b0.x1x2,x1+x2=0,x2=-x1,x10,y1y2.故选B.21x22x21x5.(2017湖南长沙,8,3分)抛物线y=2(x-3)2+4的顶点坐标是(
4、)A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(2,4)答案答案A根据抛物线y=a(x-h)2+k(a0)的顶点坐标为(h,k),可知该抛物线的顶点坐标为(3,4).易错警示易错警示容易把顶点的横坐标写成-h.6.(2016湖南益阳,7,5分)关于抛物线y=x2-2x+1,下列说法的是()A.开口向上B.与x轴有两个重合的交点C.对称轴是直线x=1D.当x1时,y随x的增大而减小错误答案答案Da=10,抛物线的开口向上,故A正确;当y=0时,x2-2x+1=0,易得=(-2)2-411=0,故该抛物线与x轴有两个重合的交点,故B正确;-=-=1,该抛物线的对称轴是直线x=1,故C正确;抛
5、物线的开口向上,且抛物线的对称轴为直线x=1,当x1时,y随x的增大而增大,故D错误.故选D.2ba-22 1思路分析思路分析结合二次函数的图象及性质逐项分析.评析评析本题考查了二次函数的图象及性质.7.(2018湖南岳阳,8,3分)在同一直角坐标系中,二次函数y=x2与反比例函数y=(x0)的图象如图所示,若两个函数图象上有三个不同的点A(x1,m),B(x2,m),C(x3,m),其中m为常数,令=x1+x2+x3,则的值为()A.1B.mC.m2D.1x1m答案答案D设点A、B在二次函数y=x2的图象上,点C在反比例函数y=(x0)的图象上.因为A,B两点纵坐标相同,则A、B关于y轴对称
6、,故x1+x2=0,因为点C(x3,m)在反比例函数y=(x0)的图象上,则x3=,所以=x1+x2+x3=x3=.故选D.1x1x1m1m8.(2018湖南永州,9,4分)在同一平面直角坐标系中,反比例函数y=(b0)与二次函数y=ax2+bx(a0)的图象大致是()bx答案答案DA.抛物线y=ax2+bx开口方向向上,则a0,对称轴位于y轴的右侧,则a、b异号,即b0,对称轴位于y轴的左侧,则a、b同号,即b0,所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限,故本选项错误;C.抛物线y=ax2+bx开口方向向下,则a0,所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限,故本选项错误.D项正确.故选D.b
7、xbxbx解题关键解题关键此题主要考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象,熟练掌握二次函数,反比例函数中系数与图象位置之间的关系是解决本题的关键.9.(2019湖南株洲,11,3分)若二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,则a0(填“=”或“”或“”).答案答案解析解析二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,a0时,抛物线开口向上;当a0时,抛物线开口向下.|a|越大,开口就越小,|a|越小,开口就越大.考点二二次函数与一元二次方程的联系1.(2020湖南岳阳,8,3分)对于一个函数,自变量x取c时,函数值y等于0,则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数y=-x2-10 x+m(m0)
8、有两个不相等的零点x1,x2(x1x2),关于x的方程x2+10 x-m-2=0有两个不相等的非零实数根x3,x4(x3x4),则下列关系式一定正确的是()A.01C.0113xx13xx24xx24xx答案答案Ay=-x2-10 x+m=-(x+5)2+25+m,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-5.方程x2+10 x-m-2=0可化为-x2-10 x+m=-2,方程x2+10 x-m-2=0的两根可看作是抛物线y=-x2-10 x+m与直线y=-2的交点的横坐标.二次函数y=-x2-10 x+m的图象,以及它与直线y=-2的交点情况可能如下图.由图可知,x10,x3|x1|,x2,x4的符
9、号不确定.01一定不成立;0可能成立,01可能不成立.故选A.13xx13xx24xx24xx24xx2.(2019湖南岳阳,8,3分)对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x11x2,则c的取值范围是()A.c-3B.c-2C.cD.c114答案答案B由题意知两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等实数根,整理得x2+x+c=0,又x11x2,解得c-2.故选B.1-40,1 10.cc 3.(2018湖南衡阳,12,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(
10、-1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:3a+b0;-1a-;对于任意实数m,a+bam2+bm总成立;关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个23答案答案D抛物线的对称轴为直线x=-=1,b=-2a(i),3a+b=3a-2a=a,由抛物线开口向下知a0,正确;抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),x=-1时,y=0,即a-b+c=0(ii),结合(i)(ii)知3a+c=0,由题意知2c3,2-3a3,-1a-,正确;抛物线的顶点坐标为(1,
11、n),x=1时,二次函数有最大值n,2ba23对于任意实数m,a+b+cam2+bm+c,即a+bam2+bm,正确;抛物线的顶点坐标为(1,n),抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点,关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根,正确.思路分析思路分析根据抛物线的对称轴和开口方向即可判断正确,根据抛物线与x轴交于点A得到a,b,c的关系式,再结合抛物线的对称轴方程得关于a、c的关系式,再结合c的取值范围可判断正确,根据抛物线的顶点坐标可判断正确,根据抛物线与直线的交点个数判断正确.解后反思解后反思判断多个结论是否正确的题目较为复杂,计算量较大,由图象可得-=1,2
12、c3等多个结论,再进一步转化,确定所给结论是否正确.2ba考点三二次函数的应用1.(2020湖南长沙,12,3分)“闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃.臭豆腐虽小,但制作流程却比较复杂,其中在进行加工煎炸臭豆腐时,我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位:分钟)近似满足的函数关系为:p=at2+bt+c(a0,a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据,可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为()A.3.50分钟B.4.05分钟C.3.75分钟D.4.25分钟答案答案C由题图可知函数图象经过点(3
13、,0.8),(4,0.9),(5,0.6),则解得故p=-0.2t2+1.5t-1.9,其图象的对称轴为直线t=-=3.75,所以加工煎炸臭豆腐的最佳时间为3.75分钟.故选C.930.8,1640.9,2550.6,abcabcabc-0.2,1.5,-1.9,abc2ba2.(2016湖南郴州,21,8分)某商店原来平均每天可销售某种水果200千克,每千克可盈利6元,为减少库存,经市场调查,如果这种水果每千克降价1元,则每天可多售出20千克.(1)设每千克水果降价x元,平均每天盈利y元,试写出y关于x的函数表达式;(2)若要平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元?解析解析(1)y=(2
14、00+20 x)(6-x),即y=-20 x2-80 x+1200.(4分)(2)令y=960,得-20 x2-80 x+1200=960,(6分)即x2+4x-12=0,解得x=2或x=-6(舍去).(7分)答:要平均每天盈利960元,则每千克应降价2元.(8分)思路分析思路分析(1)根据数量关系列出函数关系式;(2)把y=960代入函数关系式得出关于x的一元二次方程,解方程即可.解题关键解题关键本题属于基础题,难度不大,解答该题时利用等量关系列出函数关系式是关键.3.(2020湖南衡阳,25,10分)在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(-1,0),(2,
15、0).(1)求这个二次函数的表达式;(2)求当-2x1时,y的最大值与最小值的差;(3)一次函数y=(2-m)x+2-m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a30,化简得m2-10m+250,即(m-5)20,解得m5.a33,m1.m的取值范围为m0,解不等式,并由a3b得到a,b的值,进而得出m的取值范围.12124.(2020湖南娄底,26,10分)如图,抛物线经过点A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)点P(m,n)是抛物线上的动点,当-3m0时,试确定m的值,使得PAC的面积最大;(3)抛物线上是否存在不同于点B的点
16、D,满足DA2-DC2=6?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解析解析(1)据题意,可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),a0,将点C(0,3)代入,可得a=-1.抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,k0,将A(-3,0)、C(0,3)代入得解得直线AC的解析式为y=x+3.当-3m0时,点P(m,n)在直线AC上方,过点P作x轴的垂线与线段AC相交于点Q.0-3,3,kbb1,3.kb将x=m分别代入y=-x2-2x+3和y=x+3,得P(m,-m2-2m+3),Q(m,m+3),PQ=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3
17、m=-+,232m94-3m0,当且仅当m=-时,PQ取得最大值,此时SPAC=PQAO=PQ最大,m=-.(3)由A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)得AB=4,OB=1,CO=3,AO=3,BC2=10,CAO=45,BA2-BC2=6.连接BC,过点B作AC的垂线交抛物线于点D,交AC于点H,32123232则AHB=90,DBA=CAO=45,DA2-DC2=DH2+HA2-(DH2+HC2)=HA2-HC2=(BA2-BH2)-(BC2-BH2)=BA2-BC2=6,CAO=DBA,BD与AC关于线段AB的垂直平分线对称,即关于抛物线的对称轴直线x=-1对称,点D与点C关于抛物
18、线的对称轴直线x=-1对称,C(0,3),点D的坐标为(-2,3).5.(2020湖南湘潭,26,10分)如图,抛物线y=-x2+bx+5与x轴交于A,B两点.(1)若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴.求抛物线的解析式;对称轴上是否存在一点P,使点B关于直线OP的对称点B恰好落在对称轴上?若存在,请求出点P的坐标.若不存在,请说明理由;(2)当b4,0 x2时,函数值y的最大值满足3y15,求b的取值范围.解析解析(1)抛物线y=-x2+bx+5的对称轴为直线x=-=,若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴,则=2,解得b=4,y=-x2+4x+5.存在.如图,若点P在x轴上方,点B关于OP对
19、称的点B在对称轴上,连接OB、PB,2(-1)b2b2b则OB=OB,PB=PB,对于y=-x2+4x+5,令y=0,则-x2+4x+5=0,解得x1=-1,x2=5,A(-1,0),B(5,0),OB=OB=5,CB=,B(2,).设点P(2,m),由PB=PB可得-m=,解得m=,P.同理,当点P在x轴下方时,P.22-OBOC25-421212122(5-2)m 2 2172 212,72 212,-7综上所述,点P的坐标为或.(2)抛物线y=-x2+bx+5的对称轴为直线x=-=,当b4时,x=2,抛物线开口向下,在对称轴左边,y随x的增大而增大,当0 x2时,取x=2,y有最大值,最
20、大值为-4+2b+5=2b+1,32b+115,解得1b7,又b4,4b7.2 212,72 212,-72(-1)b2b2b思路分析思路分析(1)根据抛物线的对称轴方程即可求出解析式;若点P在x轴上方,点B关于OP对称的点B在对称轴上,连接OB、PB,根据轴对称得到OB=OB,PB=PB,求出点B的坐标,利用勾股定理得到B(2,),再根据PB=PB,列方程解答,同理得到点P在x轴下方时的坐标;(2)当b4时,确定对称轴的位置,再结合开口方向,确定当0 x2时,y随x的增大而增大,从而得到当x=2时,函数取最大值,结合函数值y的最大值的范围即可解答.216.(2019湖南常德,25,10分)如
21、图,已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于B、C、D三点,且B点的坐标为(-1,0).(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧,过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值;(3)当矩形MNHG的周长最大时,能否在二次函数图象上找到一点P,使PNC的面积是矩形MNHG面积的?若存在,求出该点的横坐标;若不存在,请说明理由.916解析解析(1)设二次函数表达式为y=a(x-1)2+4(a0),将B点的坐标代入得0=4a+4,解得a=-1,故二次函数的解析式为y=-x2+2x+3.
22、(2)设点M的坐标为(x,-x2+2x+3),则点N的坐标为(2-x,-x2+2x+3),则MN=x-2+x=2x-2,GM=-x2+2x+3,矩形MNHG的周长C=2MN+2GM=2(2x-2)+2(-x2+2x+3)=-2x2+8x+2,-20,当x=-=2时,C取得最大值,最大值为10,故矩形周长的最大值为10.(3)存在.当矩形周长取得最大值时,x=2,则N(0,3),与D(0,3)重合.PNC的面积是矩形MNHG面积的,2ba916SPNC=MNGM=23=.连接DC,在CD的上下方等距离处作CD的平行线m、n,过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G,即PH=GH,过点P作PK
23、CD于点K,设直线CD的解析式为y=kx+b(k0).916916278将C(3,0)、D(0,3)代入并解得k=-1,b=3.直线CD的表达式为y=-x+3,OC=OD,COD=90,OCD=ODC=45=PHK,CD=3,设点P(x,-x2+2x+3),则点H(x,-x+3),SPNC=PKCD=PHsin453,解得PH=,GH=.则PH=-x2+2x+3+x-3=,解得x=,故点P,直线n的表达式为y=-x+3-=-x+,联立解得x=,227812122949494323 15,2 494342-23,3-,4yxxyx33 22即点P、P的坐标分别为,、,.故点P坐标为,或,或.3-
24、3 22-36 2433 22-3-6 243215433 22-3-6 243-3 2-36 2,247.(2019湖南衡阳,25,10分)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.(1)求该抛物线的函数关系表达式;(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值;(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB.请问:MBN的面积是否存在最大值?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在
25、,请说明理由.解析解析(1)抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),把A、B两点坐标代入上式,得解得故抛物线的函数关系表达式为y=x2-2x-3.(2)A(-1,0),B(3,0),AB=OA+OB=1+3=4.正方形ABCD中,ABC=90,PCPE,OPE+CPB=90,CPB+PCB=90,OPE=PCB,又EOP=PBC=90,POECBP,=.设OP=x(0 x3),则PB=3-x,=,OE=(-x2+3x)=-+,-0,0 x3,1-0,930,bcbc-2,-3,bcBCPBOPOE43-xxOE141423-2x91614当x=时,线段OE的长取最大值,最大值
26、为.(3)存在.如图,过点M作MHy轴交BN于点H,抛物线的解析式为y=x2-2x-3,x=0时,y=-3,N点坐标为(0,-3).32916设直线BN的解析式为y=kx+b1,直线BN的解析式为y=x-3.设M(a,a2-2a-3)(0a3),则H(a,a-3),MH=a-3-(a2-2a-3)=-a2+3a,SMNB=SBMH+SMNH=MHOB=(-a2+3a)3=-+,-0,0a3,当a=时,MBN的面积取最大值,最大值是,此时M点的坐标为.130,-3,kbb11,-3,kb12123223-2a2783232278315,-24思路分析思路分析(1)将点A、B的坐标代入二次函数表达
27、式,解方程组即可求解;(2)设OP=x(0 xy1y2B.2y2y1C.y1y22D.y2y12答案答案A由y=-(x+1)2+2知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,y的最大值为2,在对称轴右侧y随x的增大而减小,又1y1y2,故选A.2.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是()A.图象的对称轴在y轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)D.y的最小值为-9答案答案D图象的对称轴为直线x=-=-1,在y轴的左侧,故A错;当x=0时,y=-8,图象与y轴的交点坐标为(0,-8),故B错;y=x
28、2+2x-8=(x+4)(x-2),图象与x轴的交点坐标为(-4,0)和(2,0),故C错;y=x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)20,(x+1)2-9-9,y的最小值为-9,故D正确.223.(2019内蒙古呼和浩特,3,3分)二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是()答案答案D直线y=ax+a=a(x+1)恒过点(-1,0),选项C,D可能正确,选项C中,抛物线y=ax2开口向下,则a0,矛盾,选项C错.故选D.解题关键解题关键得到直线y=ax+a恒过点(-1,0)是解本题的关键.4.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+
29、c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是()A.c0B.b2-4ac0C.a-b+c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y=a-b+c,由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x=3,选项D正确,故选D.1525.(2020山东青岛,8,3分)已知在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=的图象如图所示,则一次函数y=x-b的图象可能是()cxca答案答案B由二次函数的图象可知a0,由反比例函数的图象可知c0,0,-b0,一次函数y=x-b的图象与y轴负半轴相交且y随x的增大而减小.故选B.caca6.(
30、2020浙江杭州,8,3分)设函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是实数,a0),当x=1时,y=1;当x=8时,y=8,()A.若h=4,则a0C.若h=6,则a0答案答案C当x=1时,y=1;当x=8时,y=8,代入得-,得a(8-h)2-a(1-h)2=7,整理得a(9-2h)=1.A.若h=4,则a=1,故A错误;B.若h=5,则a=-1,故B错误;C.若h=6,则a=-,故C正确;D.若h=7,则a=-,故D错误.故选C.221(1-),8(8-),ahkahk 1315考点二二次函数与一元二次方程的联系1.(2017江苏苏州,8,3分)若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,
31、0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为()A.x1=0,x2=4B.x1=-2,x2=6C.x1=,x2=D.x1=-4,x2=03252答案答案A把(-2,0)代入二次函数解析式y=ax2+1中,解得a=-,把a=-代入a(x-2)2+1=0,解得x1=0,x2=4.14142.(2017甘肃兰州,5,4分)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:x11.11.21.31.4y-1-0.490.040.591.16那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是()A.1B.1.1C.1.2D.1.3答案答案C由表格中的数据可以看出最接近于0的y值是0.04,
32、它对应的x的值是1.2,故方程x2+3x-5=0的一个近似根是1.2,故选C.3.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:抛物线经过点(1,0);方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;-3a+b0.a0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3.-3a0,0b3.-3a+b0;3a+c0;当x0时,y随x的增大而增大;一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-,x2=;0;若m,n(mn)为方程a(x+3)(x-2)
33、+3=0的两个根,则m2.其中正确的结论有()1213122-44bacaA.3个B.4个C.5个D.6个答案答案C抛物线开口向下,a0,对称轴为直线x=-,-=-,b=a0,abc0,正确.抛物线经过点(-3,0),9a-3b+c=0,又b=a,c=-6a,3a+c=3a-6a=-3a0,正确.抛物线开口向下,对称轴为直线x=-,当x-时,y随x的增大而减小,错误.b=a,c=-6a,一元二次方程cx2+bx+a=0可化为一元二次方程-6ax2+ax+a=0,即6x2-x-1=0,解得x1=-,x2=,正确.122ba121212121312抛物线与x轴有2个交点,b2-4ac0,0,正确.
34、点(-3,0)关于直线x=-的对称点为(2,0),y=a(x+3)(x-2),方程a(x+3)(x-2)+3=0的两根即为直线y=-3与抛物线交点的横坐标,结合题图可知m2,正确.故选C.2-44baca12解后反思解后反思本题考查了二次函数图象与系数的关系,解题的关键是利用数形结合的思想将二次函数解析式与函数图象结合在一起.二次函数图象的开口方向,对称轴方程,与x轴、y轴的交点坐标以及顶点坐标等都是解题的突破口.5.(2020浙江杭州,10,3分)在平面直角坐标系中,已知函数y1=x2+ax+1,y2=x2+bx+2,y3=x2+cx+4,其中a,b,c是正实数,且满足b2=ac.设函数y1
35、,y2,y3的图象与x轴的交点个数分别为M1,M2,M3,()A.若M1=2,M2=2,则M3=0B.若M1=1,M2=0,则M3=0C.若M1=0,M2=2,则M3=0D.若M1=0,M2=0,则M3=0答案答案B令y1=0,y2=0,y3=0,它们的判别式分别为1,2,3,则1=a2-4,2=b2-8,3=c2-16.b2=ac,c=,c2=(a,b,c为正实数).A.若M1=2,M2=2,则1=a2-40,2=b2-80,a24,b464,c2=与16无法比较大小,无法判断3=c2-16与0的大小,故A错误.B.若M1=1,M2=0,则1=a2-4=0,2=b2-80,a2=4,0b46
36、4,0c2=16,3=c2-160,M3=0,故B正确.2ba42ba42ba42ba3=c2-160,M3=0,故B正确.C.若M1=0,M2=2,则1=a2-40,0a264,c2=16,3=c2-160,M3=2,故C错误.42baD.若M1=0,M2=0,则1=a2-40,2=b2-80,0a24,0b40时,方程有两个不相等的实数根,函数图象与x轴有两个交点;(2)b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根,函数图象与x轴有一个交点;(3)b2-4ac0,一元二次方程2x2+2(k-1)x-k=0有两个不相等的实数根,对应的抛物线y=2x2+2(k-1)x-k(k为常数)与x轴交点的
37、个数是2.考点三二次函数的应用1.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t-t2.在飞机着陆滑行中,最后4s滑行的距离是m.32答案答案24解析解析y=60t-t2=-(t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离达到最大,此时滑行距离是600m.当t=16时,y=6016-162=576,所以最后4s滑行的距离为600-576=24m.3232322.(2020辽宁营口,24,12分)某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市
38、场行情,现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元),每天的销售量为y(瓶).(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元?解析解析(1)y=80+20,(3分)y=-40 x+880(x16).(4分)(2)设每天的销售利润为w元,(5分)w=(-40 x+880)(x-16)(7分)=-40(x-19)2+360.(8分)a=-400,二次函数图象开口向下,w有最大值.(10分)x=19时
39、,w最大,此时w最大=360.(11分)答:当销售单价为19元时,每天的销售利润最大,最大利润为360元.(12分)20-0.5x易错警示易错警示在解决第(2)问时,要检验x的取值是否在取值范围内,如果不在,要结合函数的增减性进行判断.3.(2019湖北黄冈,24,10分)某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召,决定成立草莓产销合作社,负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售,所获利润年底分红.经市场调研发现,草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的关系如图所示(0 x100).已知草莓的产销投入总成本p(万元)与产量x(吨)之间满足p=x+1.(1)直接写出草莓销售单价y(万元)与产量
40、x(吨)之间的函数关系式;(2)求该合作社所获利润w(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式;(3)为提高农民种植草莓的积极性,合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户.为确保合作社所获利润w不低于55万元,产量至少要达到多少吨?解析解析(1)y=(2)w=yx-p,当0 x30时,w=2.4x-(x+1)=1.4x-1,当30 x70时,w=(-0.01x+2.7)x-(x+1)=-0.01x2+1.7x-1=-0.01(x-85)2+71.25,当70 x100时,w=2x-(x+1)=x-1.综上所述,w=(3)由题意得w=当0 x30时,w随x的增大而增大,当x=30时,w最大
41、值=3255.2.4(030),-0.012.7(3070),2(70100).xxxx21.4-1(030),-0.01(-85)71.25(3070),-1(70100).xxxxxx21.1-1(030),-0.01(-70)48(3070),0.7-1(70100),xxxxxx当30 x70时,w=-0.01(x-70)2+48,当x=70时,w最大值=4855.当7055.由题意得0.7x-155,解得x80.故产量至少要达到80吨.思路分析思路分析(1)根据题图分别按0 x30,30 x70(用待定系数法求解),703,E(n,n-3),D(n,0),PE=n2-3n,DE=n-
42、3.(9分)点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍,以BE为底的BEP的面积是以BE为底的BED面积的5倍,即SBEP=5SBED.SBEP=PEBD,SBED=DEBD,1212PEBD=5DEBD,PE=5DE.(11分)n2-3n=5(n-3),即(n-3)(n-5)=0,解得n=3或n=5.n3,n=5,y=52-25-3=12,点P的坐标为(5,12).(12分)1212思路分析思路分析(1)用待定系数法可求出b、c的值;(2)运用轴对称及三角形相似可求得点F的坐标;(3)求出直线BC的解析式,设出点P,点E的坐标,再分别表示线段PE,DE的长,将题中的距离关系转化为三角形
43、的面积关系,可得SBEP=5SBED,进而得出PE=5DE,解方程求出点P的坐标.5.(2019黑龙江齐齐哈尔,24,14分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,OA=2,OC=6,连接AC和BC.(1)求抛物线的解析式;(2)点D在抛物线的对称轴上,当ACD的周长最小时,点D的坐标为;(3)点E是第四象限内抛物线上的动点,连接CE和BE.求BCE面积的最大值及此时点E的坐标;(4)若点M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解析解析(1)OA=2,OC=6,A(-
44、2,0),C(0,-6),(1分)(2分)y=x2-x-6.(3分)(2)D.(5分)详解:如图,点A关于对称轴对称的点为点B,直线BC与对称轴的交点即为点D,此时AD+CD最短,所以ACD周长最短.4-20,-6,bcc-1,-6.bc1,-52由y=x2-x-6可得B(3,0),对称轴为直线x=.设直线BC:y=kx+m(k0),则解得直线BC的解析式为y=2x-6,D点在对称轴x=上,xD=,1230,-6,kmm2,-6.km1212D点在直线BC上,yD=2-6=-5.D.(3)过点E作直线EGx轴于点G,交直线BC于点F,设点E坐标为(x,x2-x-6)(0 x3),则F(x,2x
45、-6),EF=(2x-6)-(x2-x-6)=-x2+3x,(6分)SBCE=SCEF+SBEF=EFOG+EFBG,SBCE=EFOB=(-x2+3x)3=-x2+x,(7分)121,-521212121232920 x0.抛物线的对称轴x=-在y轴右侧,-0,而a0,b0.当a0,b0时,反比例函数y=的图象经过第一、三象限,故选D.2ba2bacx4.(2020陕西,10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m1)沿y轴向下平移3个单位,则平移后得到的抛物线的顶点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案答案D解法一:将抛物线y=x2-(m-
46、1)x+m沿y轴向下平移3个单位后,得抛物线y=x2-(m-1)x+m-3=+,平移后得到的抛物线的顶点坐标为.m1,0,-m2+6m-13=-(m-3)2-40,即1,=b2-4ac=-(m-1)2-4(m-3)=(m-3)2+40.m1,0,对称轴在y轴右侧,又知抛物线开口向上,顶点在第四象限.故选D.2-1-2mx2-6-134mm2-1-6-13,24mmm-12m2-6-134mm-12m5.(2017贵州贵阳,9,3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,以下四个结论:a0;c0;b2-4ac0;-0,正确;二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上,c0,正确;
47、函数图象的对称轴在y轴的右侧,-0,错误.故选C.2ba思路分析思路分析根据二次函数图象的开口方向,可判断a的正负;根据二次函数图象与y轴的交点的位置,可判断c的正负;根据二次函数图象与x轴的交点个数,可判断b2-4ac的符号;根据二次函数图象对称轴的位置,可判断-的正负.2ba6.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或2答案答案Dy=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a+1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去
48、);当a+11,即a0时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而减小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去);当0a1时,函数y=x2-2x+1在x=1处取得最小值,最小值为0,不合题意.综上,a的值为-1或2,故选D.考点二二次函数与一元二次方程的联系1.(2018贵州贵阳,10,3分)已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示).当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是()A.-m3B.-m-2C.-2m3D
49、.-6m-2254254答案答案D易知抛物线y=-x2+x+6与x轴交于点(-2,0),(3,0),依题意知,新图象对应的函数解析式为y=如图,当直线y=-x+m经过点(-2,0)时,直线与新图象有3个交点,此时,m=-2.由方程组得x2-m-6=0,当该一元二次方程有两个相等的实数根时,=02-41(-m-6)=4m+24=0,解得m=-6,将m=-6代入方程组,解得方程组的解是故当直线y=-x+m经过点(0,-6)时,直线与新图象有3个交点,此时,m=-6.所以当-6m-2时,直线y=-x+m与新图象有4个交点,故选D.22-6(-23),-6(-23).xxxxx xx或2-,-6yxm
50、yx x0,-6.xy思路分析思路分析画出直线y=-x,然后平移,判断直线y=-x+m与新图象有4个交点的临界位置:一是直线经过点(-2,0),求得m=-2;二是直线与抛物线y=x2-x-6(-2x3)相切,这时,方程组只有一组解,即方程x2-m-6=0有两个相等的实数根,令根的判别式等于0,可以求得m=-6.结合图象可知,当-6m-1解析解析若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则=4+4k0,解得k-1.3.(2019湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是.答案答案x1=
