1、 中考数学（安徽专用）第四章 图形的认识4.5特殊的平行四边形考点一矩形 20162020年全国中考题组1.(2018新疆,7,5分)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为()A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm答案答案 D由题意可知,BE=AB=6 cm,CE=BC-BE=8-6=2 cm.故选D.2.(2019重庆A卷,5,4分)下列命题正确的是()A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.四条边相等的四边形是矩形C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形D.对角线相等的四边形是矩形
2、答案答案 A有一个角是直角的平行四边形是矩形,A选项正确;四条边相等的四边形是菱形,B选项错误;有一组邻边相等的平行四边形是菱形,C选项错误;对角线相等的平行四边形是矩形,D选项错误.故选A.3.(2020内蒙古呼和浩特,10,3分)如图,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A,D点的对称点为D,若FPG=90,SAEP=8,SDPH=2,则矩形ABCD的长为()A.6+10 B.6+5 C.3+10 D.3+5 51025102答案答案 D由折叠可得,APF=B=90,DPG=C=90,FPG=90
3、,APD=90,APE+DPH=APE+AEP=90,AEP=DPH,又A=D=90,AEPDPH,四边形ABCD是矩形,AB=CD,AD=BC,设AB=CD=x(x0),由折叠可知PA=AB=x,PD=CD=x,AEP的面积为8,DPH的面积为2,且AEPDPH,AP DH=2,PA=x,DH=x,SDPH=xx=2,121212x=2(舍去负根).AB=CD=2,AE=4,DH=,PE=2,PH=,AD=4+2+=5+3.222222(2 2)(4 2)1022(2)(2 2)10210102210方法指导方法指导在翻折过程中,注意等量关系,运用多种性质、定理,从等量关系中寻找相似或全等,
4、利用参数解决问题.4.(2017安徽,10,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足SPAB=S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为()A.B.C.5 D.132934241答案答案 D如图,过P点作MN,使MNAB,作A点关于MN的对称点A1,连接PA1,A1B,则PA1=PA,设点P到AB的距离为h,由AB=5,AD=3,SPAB=S矩形ABCD可得h=2,则AA1=4,因为PA+PB=PA1+PBA1B,所以当P为A1B与MN的交点时,PA+PB最小,其最小值为=,故选D.13224541疑难突破疑难突破本题的突破口是根据SPAB=S矩形ABC
5、D推出P点是在平行于AB的线段上运动,从而想到利用轴对称的性质将问题转化.135.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为 .答案答案3或 65解析解析在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD=10,ABAD,根据PBEDBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,PB=2,由相似可得=PE=;当AP=PD时,P点为BD的中点,PE=CD=3,故答案为3或.2268PECDBPBD210651265思路分析思路分析根据AB0),在RtABD中,BD=4
6、x,在RtCDF中,CF=CDsinFDC=CDsin 60=2x=x,sinABBDA212x323DF=CDcosFDC=CDcos 60=2x=x,在RtABE中,BE=ABcosABE=2x=x,EF=BD-BE-DF=4x-x-x=2x,在RtCEF中,tanDEC=.1212FCEF32xx327.(2016安徽,14,5分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10.点E在CD上,将BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处.点G在AF上,将ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论:EBG=45;DEFABG;SABG=SFGH;AG+DF=FG.其中正
7、确的是 .(把所有正确结论的序号都选上)32答案答案解析解析ABG=HBG,FBE=CBE,ABC=90,EBG=45,故正确;AB=6,BF=BC=10,AF=8,FD=AD-AF=10-8=2.设DE=x,则EF=CE=6-x,在RtDEF中,DF2+DE2=EF2,22+x2=(6-x)2,x=,即DE=,EF=,BH=AB=6,HF=BF-BH=10-6=4,又易知RtDEFRtHFG,=,即=,8383103EDHFEFGF834103GFGF=5,AG=3,若DEFABG,则=,但,故不正确;BH=6,HF=4,SBGH=SFGH,ABG HBG,SABG=SFGH,故正确;FHG
8、EDF,=,=,FG=5,AG+DF=5,AG+DF=FG,故正确.DEABDFAG836233232FGEFHFDE103FG483方法指导方法指导对于以矩形为背景的相关计算,可采取以下思路:(1)矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形分成两个直角三角形,可用勾股定理或三角函数求线段的长;(2)矩形的对角线相等且互相平分,故可借助对角线的关系得到全等三角形;(3)矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形;(4)当已知条件中有一个角为30时,应联想到“在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质.8.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边
9、BC上,且BE=a.连接AE,将ABE沿AE折叠,若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为 .35答案答案 或 5353解析解析在矩形ABCD中,AB=CD=1,AD=BC=a,B=C=D=90,由折叠得BE=BE=a,ABE=90.当点B落在边AD上时,易证四边形ABEB是正方形,BE=AB,即a=1,a=;当点B落在边CD上时,如图.3535531+2=2+3=90,1=3,又D=C=90,BCEADB,=.在RtADB中,由勾股定理得BD=,=,a=.综上所述,满足条件的a的值为或.ECEBBDAB22-BA AD21-a2321-a535353解题关键解题关键本题是以矩形为背
10、景的折叠型题目,由于未指明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是解决本题的关键.根据题意得,当点B在矩形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正方形可求a的值;当点B在边CD上时,由“K字模型”中的相似三角形性质结合勾股定理可求a的值.9.(2018新疆,19,8分)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O.E,F是AC上的两点,并且AE=CF,连接DE,BF.(1)求证:DOE BOF;(2)若BD=EF,连接EB,DF.判断四边形EBFD的形状,并说明理由.解析解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,OB=OD,OA=OC.又AE=CF,OA-AE=OC-CF,即O
11、E=OF.在DOE和BOF中,DOE BOF.(5分)(2)四边形EBFD是矩形.理由如下:BD,EF相交于点O,OD=OB,OE=OF,四边形EBFD是平行四边形.又BD=EF,四边形EBFD是矩形.(8分),OEOFDOEBOFODOB 10.(2020安徽,23,14分)如图1,已知四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,AE=AD.EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB.(1)求证:BDEC;(2)若AB=1,求AE的长;(3)如图2,连接AG,求证:EG-DG=AG.2解析解析(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,所以EAF=DAB=90.又AE
12、=AD,AF=AB,所以AEF ADB,所以AEF=ADB.所以GEB+GBE=ADB+ABD=90,即EGB=90,故BDEC.(5分)(2)由矩形性质知AECD,所以AEF=DCE,EAF=CDF,所以AEFDCF,所以=,即AEDF=AFDC.设AE=AD=a(a0),则有a(a-1)=1,化简得a2-a-1=0.解得a=或(舍),所以AE的长为.(10分)(3)证法一:如图1,在线段EG上取点P,使得EP=DG.在AEP与ADG中,AE=AD,AEP=ADG,EP=DG,所以AEP ADG,所以AP=AG,EAP=DAG.所以PAG=PAD+DAG=PAD+EAP=DAE=90,所以P
13、AG为等腰直角三角形.AEDCAFDF1521-52152于是EG-DG=EG-EP=PG=AG.(14分)证法二:如图2,过点A作AG的垂线,与DB的延长线交于点Q.在AEG与ADQ中,AE=AD,AEG=ADQ,EAG=90+DAG=DAQ,2所以AEG ADQ,所以EG=DQ,AG=AQ,所以AGQ为等腰直角三角形.于是EG-DG=DQ-DG=QG=AG.(14分)2思路分析思路分析(1)先利用SAS证明AEF ADB,再利用互余性质得出EGB=90,问题解决;(2)先根据矩形性质可证AEFDCF,得到AEDF=AFDC,再设AE=AD=a(a0),则DF=a-1,解方程即可;(3)两种
14、证法:在线段EG上截取线段EP=DG,然后证明AEP ADG(SAS),得到AP=AG,EAP=DAG,再证PAG=90,利用等腰直角三角形的性质得出结论;作AQAG交DB的延长线于点Q,然后利用(1)的结论及已知证明AEG ADQ,得到EG=DQ,AG=AQ,再由等腰直角三角形的性质得出结论.难点突破难点突破解决第(3)问的突破口是构造AEP ADG(或AEG ADQ),将问题转化为求证PG=AG(或QG=AG),体现了转化与化归的思想.22考点二菱形 1.(2019河北,5,3分)如图,菱形ABCD中,D=150,则1=()A.30 B.25 C.20 D.15答案答案 D四边形ABCD是
15、菱形,D+BAD=180,AC平分BAD,D=150,BAD=30,1=15,故选D.2.(2019内蒙古呼和浩特,4,3分)已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角线的长为()A.2 B.2 C.4 D.2 25210答案答案 C因为菱形的对角线互相垂直且平分,所以两条对角线的一半与菱形的边形成直角三角形,根据勾股定理可得,较长对角线长的一半=2,故较长对角线的长为4,故选C.223-1223.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是()A
16、.AB=EF B.AB=EFC.AB=2EF D.AB=EF235答案答案 D如图,连接AC、BD交于O,四边形ABCD是菱形,ACBD,OA=OC,OB=OD,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,EF=AC,EH=BD,EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA,AB=OA,121222OBOA5易知OA=EF,AB=EF,故选D.54.(2018新疆,9,5分)如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边上的中点,则MP+PN的最小值是()A.B.1 C.D.2122答案答案 B如图,取AD的中点M,连接MN,MP,则有MP=MP.M
17、P+PN的最小值为线段MN的长,即菱形边长1.故选B.5.(2020广东,15,4分)如图,在菱形ABCD中,A=30,取大于AB的长为半径,分别以点A,B为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则EBD的度数为 .12答案答案45解析解析根据作图可知虚线为线段AB的垂直平分线,AE=BE,EBA=A=30.四边形ABCD是菱形,ADBC,ABD=CBD.A=30,ABC=180-30=150,ABD=ABC=75,EBD=75-30=45.126.(2020新疆,18,8分)如图,四边形ABCD是平行四边形,DEBF,且分别交对角线AC于点E,
18、F,连接BE,DF.(1)求证:AE=CF;(2)若BE=DE,求证:四边形EBFD为菱形.AD=BC且ADBC,DAE=BCF,在ADE和CBF中,ADE CBF(AAS).AE=CF.(2)由(1)可知ADE CBF,DE=BF,又DEBF,四边形EBFD为平行四边形,又BE=DE,平行四边形EBFD为菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).,AEDCFBDAEBCFADCB 证明证明(1)DEBF,DEF=BFE,AED=BFC(等角的补角相等),又四边形ABCD为平行四边形,思路分析思路分析(1)由DEBF证出DEF=BFE,可得AED=BFC;由四边形ABCD是平行四边形可证得AD=
19、BC且ADBC,从而有DAE=BCF,利用AAS得出ADE CBF,即得AE=CF.(2)由(1)中的ADE CBF可得到DE=BF,从而证得四边形EBFD为平行四边形,结合BE=DE可证得结论.7.(2020北京,21,6分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EFAB,OGEF.(1)求证:四边形OEFG是矩形;(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.解析解析(1)证明:菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DO=BO,E是AD的中点,EOAB,EFOG,四边形OEFG是平行四边形,EFAB,EFB=90,四边形OEFG是矩形.(3
20、分)(2)四边形ABCD是菱形,ACBD,AB=AD=10.在RtAOD中,E为AD的中点,AE=AD=5,OE=AD=5.EF=4,1212在RtAFE中,AF=3.四边形OEFG是矩形,FG=EO=5,BG=AB-AF-FG=2.(6分)22-AE EF225-4思路分析思路分析本题第(1)问首先需要借助中位线定理推出OEAB,然后利用有一个角是90的平行四边形是矩形来判定;第(2)问需要利用勾股定理及矩形和菱形的性质求解.解题关键解题关键解决本题的关键是发现题目中有多个中点(点E是AD的中点,点O是BD的中点),同时利用与中点有关的性质(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,中位线定理)来
21、解决.8.(2017云南,20,8分)如图,ABC是以BC为底的等腰三角形,AD是边BC上的高,点E、F分别是AB、AC的中点.(1)求证:四边形AEDF是菱形;(2)如果四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEDF的面积S.解析解析(1)证明:ABC是等腰三角形,AD是边BC上的高,点D为BC的中点,点E是AB的中点,DEAC,同理,DFAB,四边形AEDF是平行四边形,点E、F分别是AB、AC的中点,AB=AC,AE=AF,四边形AEDF是菱形.(2)连接EF交AD于点O,菱形AEDF的周长为12,AE=3,设AO=x,EO=y,菱形AEDF的两条对角线的和等于7,x
22、+y=.在RtAEO中,由勾股定理得AO2+EO2=AE2,即x2+y2=32,72变形得(x+y)2-2xy=9,即-2xy=9,解得xy=,四边形AEDF的面积S=xy4=2xy=.27213812134考点三正方形 1.(2018重庆,6,4分)下列命题正确的是()A.平行四边形的对角线互相垂直平分B.矩形的对角线互相垂直平分C.菱形的对角线互相平分且相等D.正方形的对角线互相垂直平分 答案答案 D平行四边形的对角线互相平分,不一定垂直,选项A错误;矩形的对角线互相平分且相等,不一定垂直,选项B错误;菱形的对角线互相垂直平分,不一定相等,选项C错误;正方形的对角线互相垂直平分,选项D正确
23、.故选D.2.(2020广东,9,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,EFD=60.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为()A.1 B.C.D.223答案答案 D四边形ABCD是正方形,CDAB,EFD=FEB=60.由折叠的性质可知FEB=FEB=60,AEB=180-FEB-FEB=60,ABE=30,BE=2AE.设AE=x,则BE=BE=2x,AB=AE+BE=3x=3,x=1,BE=2x=2,故选D.思路分析思路分析由CDAB得到EFD=FEB=60,进而由折叠的性质得到FEB=FEB=60,则AEB=60,然后根据直
24、角三角形中30角所对的直角边长等于斜边长的一半得出AE与BE的倍数关系即可求解.3.(2019内蒙古包头,11,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E、F分别在边BC和CD上,AE=AF,EAF=60,则CF的长是()A.B.C.-1 D.31432323答案答案 C如图,连接EF,在正方形ABCD中,AB=AD,B=D=90,又AE=AF,RtABE RtADF,BE=DF,又BC=CD,CE=CF.EAF=60,AEF是等边三角形.设CE=x(0 x1),C=90,EF=x,则AE=x.在RtABE中,12+(1-x)2=(x)2,化简得x2+2x-2=0,解得x=-1或x=-1-
25、(舍),CF=CE=-1.故选C.2223334.(2018天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()A.AB B.DE C.BD D.AF答案答案 D在正方形ABCD中,连接CE、PC.点A与点C关于直线BD对称,AP=CP,AP+EP的最小值为EC的长.E,F分别为AD,BC的中点,DE=BF=AD.AB=CD,ABF=ADC=90,ABF CDE.12AF=CE.故选D.5.(2019安徽,10,4分)如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12.点P在正方形的边上
26、,则满足PE+PF=9的点P的个数是()A.0 B.4 C.6 D.8答案答案 D如图,作E,F关于AD的对称点E1,F1,连接E1F,EF1,交AD于H点,连接EE1,FF1,过点F作FOEE1,交E1E的延长线于点O,当P点在H点时,PE+PF取得最小值,由已知得AE=EF=CF=4,四边形ABCD是正方形,易求OE=EM=ME1=2,OF=OE=2,OE1=6,由勾股定理可得EF1=E1F=9,在AH和HD上各存在一点P,使得PE+PF=9,同理在AB、BC、CD上各存在2个这样的P点,一共有8个这样的P点,故选D.22222(2 2)(6 2)80思路分析思路分析因为正方形具有对称性,
27、所以只需找出正方形一条边上满足条件的个数,然后乘4即可,由E,F为定点且为AC的三等分点,分别作E,F关于AD的对称点,这样可求出PE+PF的最小值为9,从而可得AD上满足条件的点有两个,问题解决.80难点突破难点突破确定PE+PF的最小值是解答本题的突破口.6.(2020宁夏,16,3分)2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1),且大正方形的面积是15,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b.如果将四个全等的直角三角形按图2的形式摆放,那么图2中的大正
28、方形的面积为 .答案答案27解析解析由题图1可得直角三角形的面积为=3,大正方形的边长为,题图2中的大正方形的面积为34+()2=27.15-341515思路分析思路分析先根据题图1求出直角三角形的面积和大正方形的边长,然后求出题图2中的大正方形的面积.7.(2019天津,17,3分)如图,正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落在AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=5,则GE的长为 .答案答案 4913解析解析根据题意可知DAE+BAE=90,BFAE,BAE+ABF=90,DAE=ABF,四边形ABCD是正方形,AD=
29、AB,BAF=D=90,AFB DEA,AF=DE=5,AD=12,根据勾股定理得AE=13.设AE与BF交于点H,易知AFHAED,=,即=,AH=,AG=2AH=,GE=AE-AG=.AHADAFAE12AH5136013120134913思路分析思路分析首先根据题意确定BFAE,进而根据正方形的性质得出AFB DEA,故AF=DE=5,然后根据两角对应相等,两三角形相似得出AFHAED,求得AH=,最后得出GE的长.6013解题关键解题关键本题考查正方形的性质,相似三角形的判定与性质,解题的关键是确定BFAE.8.(2018北京,27,7分)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点
30、(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长线于点H,连接BH.(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.解析解析(1)证明:如图,连接DF.四边形ABCD为正方形,DA=DC=AB,A=C=ADC=90.又点A关于直线DE的对称点为F,ADE FDE,DA=DF=DC,DFE=A=90,DFG=90.在RtDFG和RtDCG中,RtDFG RtDCG(HL),GF=GC.(2)线段BH与AE的数量关系:BH=AE.证明:在线段AD上截取AM,使AM=AE,连接ME.,DGDGD
31、FDC2AD=AB,DM=BE.由(1)得1=2,3=4,ADC=90,1+2+3+4=90,22+23=90,2+3=45,EDH=45.EHDE,DE=EH,DEH=90,A=90,1+AED=90,5+AED=90,1=5.在DME和EBH中,DME EBH(SAS),ME=BH.A=90,AM=AE,ME=AE,BH=AE.,15,DMEBDEEH 22疑难突破疑难突破通过截取线段AM=AE从而将问题转化到证明DME EBH是解答本题的突破口.9.(2020海南,21,13分)四边形ABCD是边长为2的正方形,E是AB的中点,连接DE,点F是射线BC上一动点(不与点B重合),连接AF,
32、交DE于点G.(1)如图1,当点F是BC边的中点时,求证:ABF DAE;(2)如图2,当点F与点C重合时,求AG的长;(3)在点F运动的过程中,当线段BF为何值时,AG=AE?请说明理由.解析解析(1)证明:四边形ABCD是正方形,B=DAE=90,AB=AD=BC,(2分)点E、F分别是AB、BC的中点,AE=AB,BF=BC,AE=BF,(3分)ABF DAE.(4分)(2)在正方形ABCD中,ADC=90,AD=CD=2,AC=2,(5分)ABCD,AGECGD,(6分)=,即=,(7分)AG=.(8分)121222ADCD22222AGCGAECD2 2-AGAG122 23(3)当
33、BF=时,AG=AE.理由如下:由(2)知,当点F与点C重合(即BF=2)时,AG=2),如图所示,设AF交CD于点M,若使AG=AE=1,则有1=2,ABCD,1=4,又2=3,3=4,DM=MG.(9分)在RtADM中,AM2-DM2=AD2,832 23即(DM+1)2-DM2=22,DM=,CM=CD-DM=2-=,(10分)ABCD,ABFMCF,(11分)=,即=,(12分)BF=,故当BF=时,AG=AE.(13分)323212BFCFABMC-2BFBF2128383一题多解一题多解(3)取线段BC的中点H,连接AH交ED于N,由(1)得DAE ABH,BAH=ADE,BAD=
34、BAH+DAH=90,ADE+DAH=90,AND=90,即ANDE,AE=AG,ANDE,BAH=GAH,ADE=GAH,ADBC,DAG=AFB,DAGAFH,=,=,化简得3CF2+4CF-4=0,解得CF=或CF=-2(舍去),所以BF=2+=.AGFHADAF11CF2222(2)CF232383考点一矩形 教师专用题组1.(2020海南,12,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E、F在AD边上,BF和CE交于点G,若EF=AD,则图中阴影部分的面积为()A.25 B.30 C.35 D.4012答案答案 C过点G作GPBC于P,延长PG交EF于Q,ADBC,EF
35、GCBG,PG GQ=BC EF=ADAD=2 1,又PQ=AB=6,PG=4,GQ=2,SBCG=104=20,SEFG=52=5,S矩形ABCD=610=60,S阴影=60-20-5=35.故选C.121212解后反思解后反思本题主要考查了相似三角形的性质,求不规则图形的面积常常将其转化为几个规则图形的面积的和或差来解决.2.(2019河北,16,2分)对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为12、宽为6的矩形,它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长x,再取最小整数
36、n.图1甲:如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去;结果取n=13.图2乙:如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取n=14.图3丙:如图4,思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去;结果取n=13.图4下列正确的是()A.甲的思路错,他的n值对B.乙的思路和他的n值都对C.甲和丙的n值都对D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对22答案答案 B当x为矩形对角线长时,根据勾股定理得x=13,最小整数n应为14,所以甲的思路正确,他的n值错误;当x为矩形外接圆直径长(即矩形对角线长)时,x=13,最小整数n应为14,所以乙的思路正确,他的n值正确;根据丙的思路,x=(6
37、+12)=913,所以丙的思路错误,他的n值错误.故选B.22612180180222思路分析思路分析分别按甲、乙、丙三人的思路求出各自x的值,根据题意确定各自所取n的值并与矩形对角线长进行比较即可得解.易错警示易错警示三者思路的正误及n值的判断取决于x值不能小于矩形对角线长.3.(2018浙江杭州,8,3分)如图,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设PAD=1,PBA=2,PCB=3,PDC=4.若APB=80,CPD=50,则()A.(1+4)-(2+3)=30 B.(2+4)-(1+3)=40C.(1+2)-(3+4)=70 D.(1+2)+(3+4)=180 答案答案 A过P作
38、PQAD,与AB交于点Q,ADBC,PQADBC,APQ=PAD,QPB=CBP,又APB=80,CBP=APB-DAP=80-1,ABC=2+80-1,又在CDP中,DCP=180-CPD-PDC=130-4,BCD=3+130-4,又在矩形ABCD中,ABC+BCD=180,2+80-1+3+130-4=180,即(1+4)-(2+3)=30,故选A.4.(2017新疆乌鲁木齐,9,4分)如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后,使点D恰好落在BC边上的G点处,若矩形面积为4且AFG=60,GE=2BG,则折痕EF的长为()A.1 B.C.2 D.2 33
39、3答案答案 C四边形ABCD是矩形,ADBC,H=D=FGH=C=90.由折叠知GFE=DFE,FD=FG.GFD=180-AFG=120,GFE=DFE=60.ADBC,FGE=AFG=60,FEG=DFE=60,GEF是等边三角形,FG=GE=FE.设BG=x,则GF=GE=EF=FD=2x.作GMAD,交AD于点M,则四边形ABGM是矩形,GM=GFsin 60=x,MF=GFcos 60=x,AD=AM+MF+FD=BG+MF+FD=4x,ADGM=4,4xx=4,解得x=1或x=-1(不符合题意,舍去),EF=2x=2,故选C.33335.(2017四川绵阳,9,3分)如图,矩形AB
40、CD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=2,AEO=120,则FC的长度为()A.1 B.2 C.D.323答案答案 A四边形ABCD是矩形,OA=OB=OC=AC=.ADBC,OFC=AEO=120,BFO=60.EFBD,BOF=90,OBF=OCB=30,COF=BFO-OCB=30,OF=FC.OF=OBtan 30=1,FC=1,故选A.1236.(2020江西,12,3分)矩形纸片ABCD,长AD=8 cm,宽AB=4 cm,折叠纸片,使折痕经过点B,交AD边于点E,点A落在点A处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA,EA,不再添加
41、其他线段.当图中存在30角时,AE的长为 cm.答案答案 或4或(8-4)4 3333解析解析分三种情况:当ABE=30时,在RtABE中,tan 30=,可得AE=;当AEB=30时,在RtABE中,tan 30=,可得AE=4;当AED=30时,如图,由折叠性质可得ABE ABE,AEB=AEB=75,ABE=15,在RtABE中,作FEB=FBE并交AB于点F,则AFE=30,BF=EF=2AE,AF=4-2AE,在RtAFE中,AE2+AF2=EF2,即AE2+(4-2AE)2=(2AE)2,化简得AE2-16AE+16=0,可求得AE=8-4或8+4(舍),AE的长为 cm或4 cm
42、或(8-4)cm.AEAB334 33ABAE333334 3333难点突破难点突破第种情况的突破口是构造等腰三角形EFB,从而应用勾股定理得到关于AE的一元二次方程.7.(2020四川成都,25,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E,F分别为AB,CD边的中点.动点P从点E出发沿EA向点A运动,同时,动点Q从点F出发沿FC向点C运动,连接PQ,过点B作BHPQ于点H,连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍,在点P从点E运动至点A的过程中,线段PQ长度的最大值为 ,线段DH长度的最小值为 .答案答案3;-2132解析解析如图所示,连接EF,作QGAB于G,则四边形EGQF为矩
43、形,EG=FQ,EF=QG=AD=BC.图PQ=,点P从点E运动至点A,点Q从点F运动至点C,在点P从点E运动至点A的过程中,当A、P重合时,PE+FQ最大,此时PE+FQ=AB+AB=3,22PGQG22()PEFQCB1214PQmax=3.如图,连接EF交PQ于M,则EF=BC=3,连接BM.DCAB,FMQEMP,图=,ME=EF=2.BE=AB=2,BM=2.2233182MEMFPEFQ21231222MEBE2FEB=BHM=90,点H和点E均在以BM为直径的圆上.设圆心为O,连接DO交O于点H1,依据点D在O外可知,当H运动到H1位置时,DH的长最小,过O作OKBE,OJBC,
44、ONAD,垂足分别为K,J,N,则N,O,J在同一直线上,且四边形AKON,KBJO均为矩形.易得OK=EM=1,OJ=BE=1,DN=DA-AN=DA-OK=2,ON=NJ-OJ=AB-OJ=3,DHmin=DH1=-BM=-.121222DNON12132方法指导方法指导在求解动态几何的最值问题时,一般采用数形结合与化动为静的思想,将不规则运动转换为规则运动,再讨论最值问题.8.(2019吉林,25,10分)如图,在矩形ABCD中,AD=4 cm,AB=3 cm,E为边BC上一点,BE=AB,连接AE.动点P,Q从点A同时出发,点P以 cm/s的速度沿AE向终点E运动;点Q以2 cm/s的
45、速度沿折线AD-DC向终点C运动.设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm2).(1)AE=cm,EAD=;(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)当PQ=cm时,直接写出x的值.254解析解析(1)3;45.(2分)(2)当0 x2时,如图.图过点P作PFAD于点F.AP=x cm,AQ=2x cm,PF=APsin 45=x cm.y=AQPF=2xx=x2,即y=x2.(4分)当2x3时,如图.连接PD,过点P作PFAD于点F.221212 图DQ=(2x-4)cm,DF=(4-x)cm,y=SDAP+SDPQ
46、=ADPF+DQDF=4x+(2x-4)(4-x)=-x2+8x-8,即y=-x2+8x-8.(6分)当3x时,如图.1212121272 图CQ=(7-2x)cm,EC=1 cm,y=S四边形AECD-SPCQ=(1+4)3-1(7-2x)=x+4,即y=x+4.(8分)(3)或.(10分)12125 28258提示:根据图,可列方程x=,x=.根据图,可列方程(4-x)=,x=4-,不符合题意,舍去.根据图,可列方程(7-2x)2+12=,x=.评分说明:自变量取值含0或不含均不扣分.2545 282545 2825425872一题多解(2)过点P作PFAD于点F.当0 x2时,y=SAP
47、Q=AQPF.AP=x,AQ=2x,PF=APsin 45=x,y=2xx=x2.当2x3时,y=S四边形APQD=SAPF+S梯形PFDQ=AFPF+(PF+DQ)DF.AF=x,PF=x,DQ=2x-4,DF=4-x,122121212y=xx+(x+2x-4)(4-x)=-x2+8x-8.当30),则DE=3k,EM=5k,AD=9k=DC,DF=6k.tan A=tanDFH=,则sinDFH=,DH=DF=k,CH=9k-k=k,43434545245245215cos C=cos A=,CN=CH=7k,BN=2k,=.CHNC3553BNCN27思路分析思路分析延长NF与DC交于
48、点H,由菱形的性质及翻折变换的性质得出NHDC,构造出RtNHC,在RtNHC和RtDHF中,利用边角关系求得相应线段的长,再求出BN,CN的长,得出答案.解题关键解题关键本题主要考查了菱形的性质,翻折变换以及解直角三角形,灵活运用锐角三角函数表示线段之间的关系是解题的关键.7.(2017北京,22,5分)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.解析解析(1)证明:E为AD的中点,AD=2ED.AD=2BC,ED=BC.ADBC,四边形B
49、CDE为平行四边形.又在ABD中,E为AD的中点,ABD=90,BE=ED,BCDE为菱形.(2)设AC与BE交于点H,如图.ADBC,DAC=ACB.AC平分BAD,BAC=DAC,BAC=ACB,BA=BC,由(1)可知,BE=AE=BC,AB=BE=AE,ABE为等边三角形,BAC=30,ACBE,AH=CH.在RtABH中,AH=ABcosBAH=,AC=2AH=.3238.(2020江西,21,9分)已知MPN的两边分别与O相切于点A,B,O的半径为r.(1)如图1,点C在点A,B之间的优弧上,MPN=80,求ACB的度数;(2)如图2,点C在圆上运动,当PC最大时,要使四边形APB
50、C为菱形,APB的度数应为多少?请说明理由;(3)若PC交O于点D,求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示).解析解析(1)如图1,连接OA,OB.PA,PB为O的切线,PAO=PBO=90.AOB+APB=180.APB=80,AOB=100.ACB=50.图1(2)如图2,当APB=60时,四边形APBC为菱形.连接OA,OB.由(1)可知AOB+APB=180.APB=60,AOB=120.ACB=60=APB.当PC经过圆心时,PC最大.PA,PB为O的切线,四边形APBC为轴对称图形.PA=PB,CA=CB,PC平分APB和ACB.APB=ACB=60,APO=BPO=
