1、专题综合强化第二部分 专题七初高中知识衔接常考题型常考题型精讲精讲 例例1(2020自贡自贡)我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法例如：代数式|x2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离因为|x1|x(1)|，所以|x1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离(1)发现问题：代数式|x1|x2|的最小值是多少？典例精析典例精析(2)探究问题：如图1，点A，B，P分别表示数1,2，x，AB3.|x1|x2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P在线段AB上时，PAPB3，当点P在点A的左侧或点B
2、的右侧时，PAPB3，|x1|x2|的最小值是3.图图1 (3)解决问题：|x4|x2|的最小值是_.利用上述思想方法解不等式：|x3|x1|4；6图图2 【解答】【解答】如答图，如答图，|x3|x1|x(3)|x1|4，表示到，表示到3和和1距离之和大于距离之和大于4的范围，的范围，当点在当点在3和和1之间时，距离之和为之间时，距离之和为4，不满足题意；，不满足题意；当点在当点在3的左边或的左边或1的右边时，距离之和大于的右边时，距离之和大于4.不等式的解集为不等式的解集为x3或或x1.答图答图 当a为何值时，代数式|xa|x3|的最小值是2.【解答】【解答】|xa|x3|的几何意义是数轴上
3、的几何意义是数轴上x所对应的点与所对应的点与a及到及到3之间的距离的和之间的距离的和|xa|x3|的最小值是的最小值是2，a1或或a5，解得，解得a1或或a5.当当a1或或a5时，代数式时，代数式|xa|x3|的最小值是的最小值是2.针对训练针对训练 D解：解：当当5x6.5时，时，x50,2x130，|x5|2x13|x5(132x)3x18；当；当x6.5时，时，x50,2x130，|x5|2x13|x5(2x13)8x.5或54或44或41或32乘法公式乘法公式我们在初中已经学习过下列一些乘法公式：(1)平方差公式：(ab)(ab)a2b2；(2)完全平方公式：(ab)2a22abb2.
4、我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式：(ab)(a2abb2)a3b3；(2)立方差公式：(ab)(a2abb2)a3b3；(3)三数和平方公式：(abc)2a2b2c22(abbcac)；(4)两数和立方公式：(ab)3a33a2b3ab2b3；(5)两数差立方公式：(ab)3a33a2b3ab2b3.例例2计算：(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)【解答】【解答】解法一：解法一：原式原式(x21)(x21)2x2(x21)(x4x21)x61.解法二：解法二：原式原式(x1)(x2x1)(x1)(x2x1)(x31)(x31)x61.4 不 论 a，b 为 何 实
5、数，a2 b2 2 a 4 b 8 的 值()A总是正数B总是负数C可以是零D可以是正数也可以是负数【解析】【解析】原式a22a1b24b43(a1)2(b2)230.针对训练针对训练 A3因式分解：因式分解：因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是一种重要的基本技能因式分解的方法较多，除了初中课本涉及的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等分组分解法：分组分解法：对于四项以上的多项式，如mambnanb
6、既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组十字相乘法：十字相乘法：二次项系数是1；常数项是两个数之积；一次项系数是常数项的两个因数之和如x2(pq)xpqx2pxqxpqx(xp)q(xp)(xp)(xq)，因此，x2(pq)xpq(xp)(xq)，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式例例3分解因式：(1)ab(c2d2)(a2b2)cd；【解答】【解答】ab(c2d2)(a2b2)cdabc2abd2a2cdb2cd(abc2a2cd)(b2cdabd2)ac(bcad)bd(b
7、cad)(bcad)(acbd)(2)x27x6.【解答】【解答】6(1)(6)，(1)(6)7，x27x6x(1)x(6)(x1)(x6)(3)求二次函数在某一范围内的最值如求二次函数yax2bxc在mxn(其中其中m0时求最小值或当a0时求最大值，需分三种情况讨论：对称轴小于m(x0n)，即对称轴在mxn的右侧例例4已知二次函数yx22bxc.(1)若bc，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由(2)若bc2，y在2x2上的最小值是3，求b 的值【解答】【解答】(1)存在由存在由y1，得，得 x x2 22bxc1，x22bxc10.4b24b4(2b1)230，存在两个实数，使
8、得相应的存在两个实数，使得相应的y的值为的值为1.C(2)若实数x，y满足xy1，则x24y2的最小值为_.4(3)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜地，当这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，篱笆的最短长为_.40 m针对训练针对训练 67某单位修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为1 875立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为x米(1)用含x的表达式表示池壁面积S.(2)当x为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？几何部分初高中知识衔接几何部分初高中知识衔接6三点共线三点共线证明三点共线的方法(证明证明A，B，C三点共
9、线三点共线)：(1)通过邻补角互补证明共线：如图，若12180，则A，B，C三点共线此种方法常和相似结合：若C，E，D三点共线，且CADCBE，则A，B，C三点共线若D，B，E三点共线，且ADBCEB，则A，B，C三点共线(2)证明已有一个公共点的两条直线平行：要证A，B，C三点共线，我们可以证明直线AB和直线BC平行(或或AC与与BC，AB与与AC)因为这两条直线本来已经有一个公共点，如果它们再平行的话，那么它们只能重合，从而推出三点共线(3)在平面直角坐标系中，证明第三个点满足另外两个点所在直线的解析式：在平面直角坐标系中，要证明A，B，C三点共线，可以先算出直线AB的解析式，再把点C的坐
10、标代入，如果点C的坐标满足直线AB的解析式，那么点C就在直线AB上，从而证明三点共线例例6如图，在ABC中，BD为AC边上的中线，CE为AB边上的中线，分别延长BD，CE到点F，G，使DFBD，EGCE.求证：G，A，F三点共线【解答】【解答】连接连接CF.BD是是ABC的中线，的中线，ADCD.DFBD，四边形四边形ABCF是平行四边形，是平行四边形，AFBC，FACACB.同理可证同理可证GABABC，FACBACGABACBBACABC180，G，A，F三点共线三点共线答图答图 8求证：A(1，1)，B(2，7)，C(0，3)三点共线针对训练针对训练 7平面直角坐标系中任意两点间的距离及
11、点到直平面直角坐标系中任意两点间的距离及点到直线的距离线的距离例例7阅读材料：通过学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢？根据以上材料，解决下列问题：(1)已知A(2,1)，B(4,3)，求线段AB的长度；(2)求点P(1,1)到直线y3x2的距离，并说明点P与直线的位置关系；(3)求点P(2，1)到直线y2x1的距离例例8请耐心阅读，然后解答后面的问题：周末，小明在书城随手翻阅一本高中数学参考书时，无意中看到了几个等式：sin51cos12cos51sin12sin63，sin25cos76cos25sin76sin1
12、01.一个猜想出现在他脑海里，回家后他马上用科学计算器进行验证，发现自己的猜想成立，并能推广到一般其实这是大家将在高中学的一个三角函数知识你是否和小明一样也有想法了？下面考考你，看你悟到了什么：(1)根据你的猜想填空：sin37cos48cos37sin48_，sincoscossin_.(2)尽管75不是特殊角，请你用发现的规律巧算出sin75的值sin85sin()10射影定理：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项如图，RtABC中，ABC90，BDAC，则BD2ADCD，AB2ADAC，BC2CDC
13、A，ABBCACBD.例例9如图，在ABC中，ABC90，BD是斜边AC上的高求证：BD2ADCD.【解答】【解答】证法一：在证法一：在ABC中，中，ABC90，AB2BC2AC2.BD是斜边是斜边AC上的高，上的高，BD2AD2AB2，BD2CD2BC2，2BD2AD2CD2AB2BC2AC2，2BD2AC2AD2CD2(ADCD)2AD2CD2AD2CD22ADCDAD2CD2，2BD22ADCD，即，即BD2ADCD.11弦切角定理：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角如图，AB与O相切于点A，则BACADC.12相交弦定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等如图，O内任意弦AB，CD交于点E，则AEBECEDE(可由相似三角形证得可由相似三角形证得)13切割线定理：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项(可由相似三角形证得可由相似三角形证得)如图，设AP是O的一条割线，PT是O的一条切线，切点为T，则PT2PAPB.
