1、第19课时等腰三角形课标要求1.探索并证明角平分线的性质定理和判定定理.2.理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.3.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.4.探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60,及等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60 的等腰三角形)是等边三角形.一、线段垂直平分线和角平分线知 识 梳 理线段垂直平分线性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.如图,
2、若lAB,OA=OB,则AP=BP.判定:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（续表）角平分线定义一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线性质角的平分线上的点到角的两边的距离,即判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,即相等=二、等腰三角形与等边三角形等腰三角形定义有相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角性质(1)两个底角相等(简称 );(2)顶角平分线、底边上的、底边上的高相互重合(简称“三线合一”);(3)是轴对称图形,有条对称轴两边等边对等角中线1等腰三角形判
3、定(1)在ABC中,AB=ACABC是等腰三角形(定义);(2)在ABC中,B=CABC是等腰三角形面积（续表）等边三角形定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形性质(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于;(2)等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点重合;(3)等边三角形是轴对称图形,有条对称轴（续表）603等边三角形判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义);(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形面积（续表）对 点 演 练题组一必会题1.2020济宁一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时
4、后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西42方向上,在海岛B的北偏西84方向上.则海岛B到灯塔C的距离是()A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里C图19-12.八上P66习题第1(3)题改编已知一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为 .3.八上P62练习第2(4)题改编在ABC中,AB=AC,如果有一个角是50,那么另两个角的度数分别是 .4.如图19-2,将RtABC绕直角顶点C顺时针旋转90,得到DEC,连接AD.若BAC=25,则BAD=.1750,80或65,65图19-270题组二易错题【失分点】在等腰三角形中,当已知某条边长,求另外两条边长时需要分类讨论腰和底;
5、当已知某个角的度数,求另两个角时需要分类讨论顶角和底角.5.2019广安等腰三角形的两边长分别为6 cm,13 cm,其周长为cm.答案 32解析由题意知,应分两种情况:(1)当腰长为6 cm时,三角形三边长分别为6 cm,6 cm,13 cm,6+613,不能构成三角形;(2)当腰长为13 cm时,三角形三边长分别为6 cm,13 cm,13 cm,周长=213+6=32(cm).故答案为32.6.2019徐州函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C在x轴上,若ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有个.答案 4解析作AB的垂直平分线,交x轴于坐标原点,OAB为等腰三角形;以
6、B为圆心,BA长为半径画圆交x轴于C2,C2AB为等腰三角形;以A为圆心,AB长为半径画圆,交x轴于C3,C4,则C3AB,C4AB均为等腰三角形,所以满足条件的点C有4个.答案 15或45或75解析考向一角平分线与线段垂直平分线的性质图19-3A例22019南京如图19-4,在ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长为.答案解析图19-4 考向精练1.2020青海如图19-5,ABC中,AB=AC=14 cm,AB的垂直平分线MN交AC于点D,且DBC的周长是24 cm,则BC=cm.答案 10解析图19-52.2020南京如图19-6,线
7、段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O.若1=39,则AOC=.答案 78解析由题意可知点O是ABC的外接圆圆心,如图,AOC=2B.在四边形OEBD中,OEB+ODB=180,B+DOE=1+DOE=180,B=1=39,AOC=2B=78.图19-63.2020湘潭如图19-7,点P是AOC的角平分线上一点,PDOA,垂足为点D,且PD=3,点M是射线OC上一动点,则PM的最小值为.图19-734.2019宜宾如图19-8,EOF的顶点O是边长为2的等边ABC的重心,EOF的两边与三角形ABC的边交于E,F,EOF=120,则EOF与ABC的边所围成阴影部分的面积是.图19-8【方法
8、点析】角平分线的联想.图19-9考向二等腰三角形的性质例32020襄阳如图19-10,在ABC中,AB=AD=DC,BAD=20,则C=.答案 40解析图19-10例42020宿迁如图19-11,在ABC中,AB=AC,BAC的平分线AD交BC于点D,E为AB的中点.若BC=12,AD=8,则DE的长为.答案 5解析图19-11 考向精练5.2020自贡如图19-12,在RtABC中,ACB=90,A=50,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则ACD的度数是()A.50 B.40 C.30 D.20答案 D解析图19-126.2018湖州如图19-13,AD,CE分别是A
9、BC的中线和角平分线.若AB=AC,CAD=20,则ACE的度数是()A.20 B.35 C.40 D.70图19-13答案 B解析 AB=AC,AD是ABC的中线,ADBC.CAD=20,ACD=70.CE是ACB的平分线,ACE=35.故选B.7.如图19-14,ABC的面积为1 cm2,AP垂直ABC的平分线BP于P,则PBC的面积为()A.0.4 cm2B.0.5 cm2C.0.6 cm2D.0.7 cm2答案 B解析图19-148.2020绍兴【问题】如图19-15,在ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作AEC,使EA=EC,若BAE=90,B=45,求DAC的度数.
10、【答案】DAC=45.【思考】(1)如果把以上【问题】中的条件“B=45”去掉,其余条件不变,那么DAC的度数会改变吗?说明理由.(2)如果把以上【问题】中的条件“B=45”去掉,再将“BAE=90”改为“BAE=n”,其余条件不变,求DAC的度数.图19-15【思考】(1)如果把以上【问题】中的条件“B=45”去掉,其余条件不变,那么DAC的度数会改变吗?说明理由.图19-15(2)如果把以上【问题】中的条件“B=45”去掉,再将“BAE=90”改为“BAE=n”,其余条件不变,求DAC的度数.图19-15考向三等腰三角形的判定例5如图19-16,在ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,B
11、D与CE交于点O,给出下列三个条件:EBO=DCO;BE=CD;OB=OC.(1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形?(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.图19-16解:(1);.(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.图19-16(2)选证明如下:在BOE和COD中,EBO=DCO,EOB=DOC,BE=CD,BOE COD,BO=CO,OBC=OCB,EBO+OBC=DCO+OCB,即ABC=ACB,AB=AC,即ABC是等腰三角形.考向精练9.2018桂林如图19-17,在ABC中,A=36,AB=AC,BD平分ABC,则图
12、中等腰三角形的个数是.图19-17答案 3解析10.2020广东如图19-18,在ABC中,点D,E分别是AB,AC边上的点,BD=CE,ABE=ACD,BE与CD相交于点F.求证:ABC是等腰三角形.图19-18证明:在BFD和CFE中,ABE=ACD,DFB=EFC,BD=CE,BFD CFE(AAS),BF=CF,FBC=FCB.ABE=ACD,CBF+ABE=BCF+ACD,ABC=ACB,AB=AC,ABC是等腰三角形.考向四等腰三角形的多解问题例62020张家界已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根,则该等腰三角形的底边长为()A.2B.4C.8D.2或4
13、答案 A解析解方程x2-6x+8=0,得:x=4或x=2.当等腰三角形的三边为2,2,4时,此时不能组成三角形;当等腰三角形的三边为2,4,4时,此时能组成三角形,所以三角形的底边长为2,故选:A.考向精练11.2020青海等腰三角形的一个内角为70,则另外两个内角的度数分别是()A.55,55B.70,40或70,55C.70,40D.55,55或70,40答案 D解析12.2020毕节已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周长为()A.13B.17C.13或17D.13或10答案 B解析分两种情况讨论:若3为底边,腰长为7,则此等腰三角形的周长为3+7+7=17;若7为底边,
14、腰长为3,此等腰三角形不存在,因为3+37,不符合三角形的三边关系,故选B.13.2020齐齐哈尔等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是.答案 10或11解析 3是腰长时,三角形的三边分别为3,3,4,此时能组成三角形,周长=3+3+4=10;3是底边长时,三角形的三边分别为3,4,4,此时能组成三角形,周长=3+4+4=11.综上所述,这个等腰三角形的周长是10或11.14.2018绥化已知等腰三角形的一个外角为130,则它的顶角的度数为.答案 50或80解析当等腰三角形顶角的邻补角为130时,顶角为180-130=50;当等腰三角形底角的邻补角为130时,顶角为180-
15、2(180-130)=80.故答案为50或80.15.如图19-19,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P以2个单位/秒的速度从点A出发,沿AC向点C移动,同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发,沿CB向点B移动,当P,Q两点中的其中一点到达终点时则停止运动.设P,Q两点的运动时间为t秒,在P,Q两点移动过程中,当PQC为等腰三角形时,求t的值.图19-19考向五等边三角形的性质与判定例72020常州如图19-20,在ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若AFC是等边三角形,则B=.图19-2030例8已知:如图19-21,ABC,ADE都是等边三角形.求证:ABD=ACE.图19-21 考向精练16.2020营口如图19-22,ABC为等边三角形,边长为6,ADBC,垂足为点D,点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为.图19-22答案解析图19-23答案 D解析
