1、00精讲本2021江西数学什么是什么是“将军饮马将军饮马”？【问题引入问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀，这是唐代诗人李颀古从军行古从军行里的一句诗而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为里的一句诗而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将将军饮马军饮马”微专题八微专题八“将军饮马将军饮马”模型模型 【问题描述问题描述】如图，将军在图中点如图，将军在图中点A A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问将军怎么走能使得路程最短将军怎么走能使得路程最短【问题简化问题简化】如图
2、，在直线上找一点如图，在直线上找一点P P使得使得PAPAPBPB最小？最小？【问题分析问题分析】这个问题的难点在于这个问题的难点在于PAPAPBPB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”“”“点到直线的连线中，垂点到直线的连线中，垂线段最短线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段【问题解决问题解决】作点作点A A关于直线的对称点关于直线的对称点AA，连接，连接PAPA，则，则PAPAPAPA，所以，所以PAPAPB
3、PBPAPAPB.PB.当当AA，P P，B B三点共线的时候，三点共线的时候，PAPAPBPBABAB，此时为最小值，此时为最小值(两点之间两点之间线段最短线段最短)【思路概述思路概述】作端点作端点(点点A A或点或点B)B)关于折点关于折点(上图上图P P点点)所在直线的对称点，化折线段为直所在直线的对称点，化折线段为直线段线段例例1 1 如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长是的边长是4 4，M M在在DCDC上，且上，且DMDM1 1，N N是是ACAC边上的一动边上的一动点，则点，则DMNDMN周长的最小值是周长的最小值是 【思路分析思路分析】考虑考虑DMDM为定值，故求为定
4、值，故求DMNDMN周长最小值即求周长最小值即求DNDNMNMN的最小的最小值点值点N N为折点，作点为折点，作点D D关于关于ACAC的对称点，即点的对称点，即点B B，连接，连接BNBN交交ACAC于点于点N N，此时，此时DMNDMN周长最小周长最小正方形中的正方形中的“将军饮马将军饮马”类型1【规范解答规范解答】解：解：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，点点B B与与D D关于直线关于直线ACAC对称，对称，如图，连接如图，连接BDBD，BMBM交交ACAC于于NN，连接，连接DNDN，NN即为所求的点，即为所求的点，则则BMBM的长即为的长即为DNDNMNMN的最小值，
5、的最小值，ACAC是线段是线段BDBD的垂直平分线的垂直平分线又又CMCMCDCDDMDM4 41 13 3，在在RtRtBCMBCM中，中，BMBM 5 5，故故DMNDMN周长的最小值周长的最小值5 51 16.6.故答案为故答案为6.6.例例2 2 如图，在等边如图，在等边ABCABC中，中，ABAB9 9，N N为为ABAB上一点且上一点且BNBN2AN2AN，BCBC的高线的高线ADAD交交BCBC于点于点D D，M M是是ADAD上的动点，连接上的动点，连接BMBM，MNMN，则，则BMBMMNMN的最小值是的最小值是 【思路分析思路分析】M M点为折点，作点为折点，作B B点关于
6、点关于ADAD的对称点，即的对称点，即C C点，连接点，连接CNCN，即为，即为所求的最小值所求的最小值三角形中的三角形中的“将军饮马将军饮马”类型2【规范解答规范解答】解：如图，连接解：如图，连接CNCN，与，与ADAD交于点交于点M M，则，则CNCN就是就是BMBMMNMN的最小值的最小值如图，取如图，取BNBN中点中点E E，连接，连接DE.DE.等边等边ABCABC的边长为的边长为9 9，ANAN3 3，BNBNABABANAN9 93 36 6，BEBEENENANAN3.3.又又ADBCADBC，DEDE是是BCNBCN的中位线，的中位线，CNCN2DE2DE，CNDE.CNDE
7、.又又N N为为AEAE的中点，的中点，M M为为ADAD的中点，的中点，MNMN是是ADEADE的中位线，的中位线，DEDE2MN2MN，CNCN2DE2DE4MN4MN，CMCM CN.CN.在在RtRtCDMCDM中，中，CDCD BCBC4.54.5，DMDM ADAD ，CMCMCNCN3 .3 .BMBMMNMNCNCN，BMBMMNMN的最小值为的最小值为3 .3 .故答案为故答案为3 .3 .432121439777例例3 3 如图，在菱形如图，在菱形ABCDABCD中，中，ACAC6 6 ，BDBD6 6，点，点E E是是BCBC的中点，的中点，P P，M M分别分别是是AC
8、AC，ABAB上的动点，连接上的动点，连接PEPE，PMPM，则，则PEPEPMPM的最小值是的最小值是()矩形、菱形中的矩形、菱形中的“将军饮马将军饮马”类型32【思路分析思路分析】此处点此处点P P为折点，作点为折点，作点E E关于关于ACAC的对称点的对称点EE，恰好在，恰好在CDCD上，上，化折线化折线PEPEPMPM为为PEPEPM.PM.当当EE，P P，M M共线时，共线时，PEPEPMPM最小，最小值即为最小，最小值即为菱形的高，可用面积法菱形的高，可用面积法 ABABEM.EM.【规范解答规范解答】解：如图，作点解：如图，作点E E关于关于ACAC的对称点的对称点EE，过点，
9、过点EE作作EMABEMAB于点于点M M，交，交ACAC于点于点P P，则点，则点P P，M M即为使即为使PEPEPMPM取得最小值，取得最小值，其其PEPEPMPMPEPEPMPMEM.EM.四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，点点EE在在CDCD上，上，ACAC6 6 ，BDBD6 6，ABAB由由S S菱形菱形ABCDABCD ACACBDBDABABEMEM得得 6 6 6 63 EM3 EM，解得解得EMEM2 2 ，即，即PEPEPMPM的最小值是的最小值是2 2 ，故选，故选C.C.221212366例例4 4 如图，矩形如图，矩形ABOCABOC的顶点的顶点A A的
10、坐标为的坐标为(4 4，5)5)，点，点D D是是OBOB的中点，点的中点，点E E是是OCOC上的一点，当上的一点，当ADEADE的周长最小时，点的周长最小时，点E E的坐标是的坐标是()【思路分析思路分析】点点E E为折点，为折点，E E是是y y轴上一点，作点轴上一点，作点A A关于关于y y轴的对称点轴的对称点AA，连，连接接ADAD，与，与y y轴交点即为所求点轴交点即为所求点E.E.【规范解答规范解答】如图，作如图，作A A关于关于y y轴的对称点轴的对称点AA，连接，连接ADAD交交y y轴于点轴于点E E，则，则此时此时ADEADE的周长最小的周长最小四边形四边形ABOCABOC是矩形，是矩形，ACOBACOB，ACACOB.OB.AA的坐标为的坐标为(4 4，5)5)，A(4A(4，5)5)，B(B(4 4，0)0)D D是是OBOB的中点，的中点，D(D(2 2，0)0)设直线设直线DADA的解析式为的解析式为y ykxkxb b，直线直线DADA的解析式为的解析式为当当x x0 0时，时，y y ，E(0E(0，)，故选，故选B.B.353535
