1、2023年池州市普通高中高三教学质量统一监测 数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：一、单项选择题：二、多项选择题：二、多项选择题：三、填空题三、填空题 13.41 14.947.0 15.),e11（或),e1e）16.663（或)26(3）四、解答题四、解答题 17.解析：（1）由4nnaS )2(411naSnn，得，021nnaa，即)2(211naann，2 分分 当1n时，411aS，21a，3 分分 则 na是以首项为2，公比为21的等比数列，所以nnna212)21(2 5 分分（2）nnnnnnnaaaab22224)1(，7 分分 nnnnnnnT22221123434)
2、21(23)41(421)21(241)41(4.10 分分 18.解析：（1）由CCBCaBa2sincossin21coscos1，得CBCCCBCaBasinsincossin2cossin21coscos1，2 分分 所以BCBaBCaCsincossincossinsin，即AaCBaCBsin)sin(sinsin，4 分分 由正弦定理可得：cba2.6 分分 （2）2a，4cb，7 分分 设2BAC，则sin)(212sin21ADcbbcSABC，10cosbc 9 分分 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B D C B C B D A B D C B C B 9 10
3、11 12 BCD ACBCD AC ACD ABD ACD ABD 又由余弦定理可知)2cos1(2)(2cos22222bccbbccba，3cos2bc 10 分分 由可得，10103cos 11 分分 所以541cos22cos2，即54cosBAC.12 分分 19.解析：（1）PB底面ABCD，BEPB 又E为棱AD中点且BCAD/，则DEBC/，所以四边形BCDE为平行四边形，则1 DCBE，又221ADDE，oDEB60，所以BEDB 3 分分 由得BE面PBD，所以PDBE.5 分分（2）PB底面ABCD，由（1）知BDBE，则以EB为x轴，BD为y轴，BP为z轴，如图建立空
4、间直角坐标系，设aPB，则),0,0(),0,3,1(),0,3,2(),0,0,1(),0,0,0(aPCAEB，由FAPF2，可知)3,33,32(31aAPAF，所 以)3,332,34()3,33,32()0,3,2(aaAFBABF，)0,0,1(BE，设平面BEF的法向量为),(zyxm，由00mBEmBF，得00333234xzayx，令ay，则32z，所以)32,0(am.7 分分 又平面ABE的法向量为)1,0,0(n，则1232,cos2anmnmnm，由二面角FBEA大小为o60，可知2112322a，所以362a，得6a（负值舍去）.9 分分 所以)32,6,0(m，又
5、)0,32,3(AC，所以7212134312,cosmACmACmAC，11 分分 设直线AC与平面BEF所成角为，则721,cossinmAC，即直线AC与平面BEF所成角的正弦值为721.12 分分 20.解析：（1）由101101,390,380iiiiyx得39,38yx，1 分分 所以28.203856.139xbya，2 分分 由niiniiixxbyyxx121)()(21556.1，得21211)()()(yyxxyyxxrniiniiinii936.025151556.12 4 分分 则175.0 r，所以城市居民年收入与 A 商品销售额的相关性很强.5 分分（2）由分层抽
6、样可知抽取的5户居民中有中等收入居民4户，他们购买 A 商品的概率为21；有高收入居民1户，他 们购买 A 商品的概率为43，分层随机抽取5户居民，则z的可能取值有5,4,3,2,1,0.6 分分 6414121)0(404CzP，64743214121)1(404414CCzP，329641843214121)2(414424CCzP，3211642243214121)3(424434CCzP，641343214121)4(434444CCzP，6434321)5(444CzP 则z的分布列为 z 0 1 2 3 4 5 P 641 647 3293211641364311 分分 则4116
7、4356413432113329264716410)(zE.12 分分 21.解析：（1）aAFAF221，2212221FFAFAF.221212212)(FFAFAFAFAF，即4S221bFAF，3 分分 又51222abe，12a，则双曲线C的方程为：1422yx.4 分分（2）法一：设),(00yxA，设双曲线在点A处的切线为00)(yxxky，则联立双曲线方程：44)(2200yxyxxky，得：0)4(2)22()4(202020000222yxkykxxkyxkxk 042k且0，020204xkxkkyx，则004yxk 即双曲线在点A处的切线为1400yyxx.6 分分 令
8、21x，则00)2(2yxy，即)2(2,21(00yxP，当20 x时，直线AM的斜率为200 xykAM，所以直线PN的斜率为00)2(yxkPN.则直线PN的方程为)21()2()2(20000 xyxyxy.8 分分 令0y，则25x，所以直线PN过x轴上定点)0,25(G，9 分分 当20 x时，直线PN为0y，也过该点.10 分分 由GM,为两定点，且oMNG90，所以N点在以MG为直径的圆上，则存在MG的中点)0,49(Q，使得41QN为定值，所以存在点)0,49(Q，使得QN为定值.12 分分 法二：设过),21(tP斜率为k的直线l方程为txky)21(，与双曲线14:22y
9、xC相切于点),(00yxA，联立，消y，整理得04)2()2(2)4(222ktxktkxk 042k且0，即04)2(22kkt 5 分分 此时，204)2(kktkx，由可知，ktkktkx2220 6 分分（）当20 x时，直线AM的斜率为200 xykAM，所以直线PN的斜率为00)2(yxkPN.则直线PN的方程为)21()2(00 xyxty，即)21()21()2(00 xtxkxty，由代入化简得)21()2(212422xktktty，由可知，)21(822422xkktty，即)21(21xtty，令0y，得25x，所以直线PN过x轴上定点)0,25(G.9 分分（）当2
10、0 x时，直线PN为0y，也过点)0,25(G.10 分分 由GM,为两定点，且oMNG90，所以N点在以MG为直径的圆上，则存在MG的中点)0,49(Q，使得41QN为定值，所以存在点)0,49(Q，使得QN为定值.12 分分 22.解析：（1）xaxaxxxfln21)(2)0(x，则xaxxaaxxfxgln)1(ln)()(.1 分分 )0(1)(xxaxxaxg 2 分分 0a时，0)(xg，)(xg在),0(单调递增；0a时，令0)(xg，则ax，当ax 0时，0)(xg，)(xg在),0(a单调递减；当ax 时，0)(xg，)(xg在),(a单调递增.5 分分 （2）证明：由（1）可知，当0a时，)()(xfxg在),0(单调递增，不妨设210 xx，)()()()(22xfxfxxfxF)0(2xx，)()()()()(22xgxxgxfxxfxF，由xxxxx2且)(xg在),0(单调递增，可知)()(2xgxxg，0)(xF，)(xF在,0(2x单调递增，9 分分 则0)()()()()()()(22222221xfxfxfxfxxfxFxF，即)()()(2121xfxfxxf 所以当0a时，)()()(2121xfxfxxf恒成立.12 分分
