1、1.2.1 函数的概念 （第1课时） 一、知识回顾一、知识回顾 初中学习的函数概念是什么？初中学习的函数概念是什么？ 设在一个变化过程中有设在一个变化过程中有两个变量两个变量x与与y， 2 0 0 0 0 () () () () ykx k ykxb k k yk x yaxbxc a 正正比比例例函函数数： 一一次次函函数数： 反反比比例例函函数数： 二二次次函函数数： 如果对于如果对于x 的每一个值的每一个值， y都有都有唯一的值与它对应唯一的值与它对应，则称，则称y是是x的的 函数函数，x叫叫自变量自变量，y叫叫因变量因变量。（变量间的依赖关系）（变量间的依赖关系） 实例实例1：一枚炮弹
2、发射后，经过一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，落到地面击中目标， 炮弹的射高为炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度，且炮弹距地面的高度h(单位：单位：m) 随时间随时间t(单位单位:s)变化的规律是变化的规律是 h=130t-5t2 (*)解析式 解析式 炮弹飞行时间炮弹飞行时间t的变化范围是的变化范围是数集数集： 问题的数学意义：问题的数学意义：对于对于数集数集A中的中的任意任意一个时间一个时间 t， 按照按照对应关系对应关系(*)式，在式，在数集数集B中都有中都有唯一唯一的的高度高度h 和它和它对应对应。 A=t|0 t 26 B=h|0 h 845 二、实例探究二、实例探究
3、 炮弹距地面的高度炮弹距地面的高度h的变化范围是的变化范围是数集数集： 实例实例2 2：近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而 出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极 上空臭氧空洞的面积从上空臭氧空洞的面积从1979200119792001年的变化情况：年的变化情况： 二、实例探究二、实例探究 根据上图中的曲线可知根据上图中的曲线可知 时间时间t的变化范围是的变化范围是数集数集： 臭氧层空洞面积臭氧层空洞面积S的变化范围是的变化范围是数集数集: 问题数学意义：问题数学意义：对于对于数集数集A中的中的任意一个
4、任意一个时刻时刻t，按照，按照 图中的曲线图中的曲线，在，在数集数集B中都有中都有唯一确定唯一确定的臭氧层空的臭氧层空 洞面积洞面积S和它和它对应对应. A =t |1979t2001 B =S|0S26 图象法图象法 实例实例3 3：国际上常用国际上常用恩格尔系数恩格尔系数反映一个国家人民生活反映一个国家人民生活 质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表中质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表中 恩格尔系数随时间恩格尔系数随时间( (年年) )变化的情况表明，“八五”计划变化的情况表明，“八五”计划 以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。以来我国城镇居民的生活质量发生了显著
5、变化。 请仿照实例请仿照实例1 1、2 2描述恩格尔系数和时间（年）的关系。描述恩格尔系数和时间（年）的关系。 A =1991,1992,2993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001 B=53.8,52.9,50.1,49.9, 48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9 问题数学意义：问题数学意义：对于对于数集数集A中的中的任意一个任意一个时刻时刻t，按照，按照 表格表格，在，在数集数集B中都有中都有唯一唯一的恩格尔系数与之对应的恩格尔系数与之对应. 图象法图象法 不同点不同点 共同点共同点 实例（实例（1）是用）是用解析式解析式刻
6、画变量之间的对应关系刻画变量之间的对应关系 （1）都有两个）都有两个非空数集非空数集A、B 问题：问题：三个实例有什么共同点和不同点？三个实例有什么共同点和不同点？ （2）两个数集之间都有一种）两个数集之间都有一种确定的对应关系确定的对应关系 （3）对于集合）对于集合A中的中的任意一个任意一个元素元素 x，在集合，在集合B 中都有中都有唯一确定唯一确定的元素的元素 y 与之对应。与之对应。 实例（实例（2）是用）是用图象图象刻画变量之间的对应关系刻画变量之间的对应关系 实例（实例（3）是用）是用表格表格刻画变量之间的对应关系刻画变量之间的对应关系 （3）对于）对于数集数集A中的中的任意一个任意
7、一个时刻时刻t，按照，按照表格表格，在，在数集数集B中都有中都有唯一唯一 的恩格尔系数与之对应的恩格尔系数与之对应. （1）对于）对于数集数集A中的中的任意任意一个一个时间时间 t，按照，按照(*)解析式解析式，在，在数集数集B中都中都 有有唯一唯一的高度的高度h和它和它对应对应。 （2）对于）对于数集数集A中的中的任意一个任意一个时刻时刻t，按照，按照图中的曲线图中的曲线，在，在数集数集B中都中都 有有唯一确定唯一确定的臭氧层空洞面积的臭氧层空洞面积S和它和它对应对应. 设设A、B是是非空数集非空数集，如果按照某种，如果按照某种确定的对确定的对 应关系应关系 f，使对于集合，使对于集合A中的
8、中的任意一个数任意一个数 x，在集，在集 合合B中都有中都有唯一确定的数唯一确定的数 f(x) 和它对应，就称和它对应，就称 f: AB 为从集合为从集合A到集合到集合B的一个函数，记作的一个函数，记作: y=f(x) , xA x 叫做叫做自变量自变量，x的取值范围构成的集合的取值范围构成的集合A叫叫 做函数的做函数的定义域定义域； 与与x的值相对应的的值相对应的 y值值 叫做叫做函数值函数值，所有函数值组成，所有函数值组成 的集合的集合 叫做函数的叫做函数的值域值域。 1、函数的概念：、函数的概念： 三、新课讲解三、新课讲解 C=y|y=f(x), xA 判断下列集合判断下列集合A到集合到
9、集合B的对应能否构成函数：的对应能否构成函数： 1 -1 2 -2 2 -2 4 -4 集合集合A A 集合集合B B 1 -1 2 -2 2 8 集合集合A A 集合集合B B 1 -1 2 -2 2 4 6 8 集合集合A A 集合集合B B 1 -1 2 -2 1 2 3 4 集合集合A A 集合集合B B CB 值值域域 定义域定义域和和对应法则对应法则是否确定是否确定 根据所给对应法则，根据所给对应法则，自变量自变量 x在其定义域中的每一在其定义域中的每一 个值，是否都有个值，是否都有唯一确定唯一确定的一个的一个函数值函数值 y和它对应。和它对应。 1 -1 2 -2 2 -2 4
10、-4 集合集合A A 集合集合B B 1 -1 2 -2 1 2 3 4 集合集合A A 集合集合B B 定义域、对应法则、值域定义域、对应法则、值域 定义域、对应法则、值域是决定函数的三要素，定义域、对应法则、值域是决定函数的三要素， 是一个是一个整体整体； 值域是由定义域、对应法则值域是由定义域、对应法则唯一确定唯一确定； 函数符号函数符号 y=f (x) 表示“表示“y 是是 x 的函数的函数”，而不是”，而不是 表示“表示“y 等于等于 f 与与 x 的乘积”。的乘积”。 三、新课讲解三、新课讲解 函数三要素：函数三要素： ( )2f xx 2 ( )f xx 函数符号函数符号 y=f
11、 (x)的内涵是：的内涵是： “对于定义域内的任意“对于定义域内的任意x，在对应关系，在对应关系f的作用下得到的作用下得到y” 注意：一般情况下，对应关系注意：一般情况下，对应关系f可用一个解析式表示，可用一个解析式表示， 但在一些情况下，对应关系但在一些情况下，对应关系f不便或不能用解析式不便或不能用解析式 表示，这时，可用图象或表格等表示表示，这时，可用图象或表格等表示 如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系：如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系： 定义域定义域和和对应法则对应法则是否确定是否确定 根据所给对应法则，根据所给对应法则，自变量自变量 x在其定义域中的在其定义域中的
12、每一个值，是否都有每一个值，是否都有唯一确定唯一确定的一个的一个函数值函数值 y 和它对应。和它对应。 22 2 12 34 5161 ( )| ( )| ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) yx yxyx yxyx f xxRyx 随随练练、判判断断下下列列对对应应能能否否表表示示 是是 的的函函数数 1 1、函数定义域中的每一个数都有值域中的一个数与之对、函数定义域中的每一个数都有值域中的一个数与之对 应应 2 2、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对 应应 3 3、集合、集合B B中的每一个数都有集合中的每一个数都有集合A
13、A中的一个数与之对应中的一个数与之对应 4 4、函数的定义域和值域一定是无限集、函数的定义域和值域一定是无限集 5 5、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定 6 6、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元 素素 7 7、对于不同的、对于不同的x , , y的值也不同的值也不同 随练随练 请判断正误请判断正误 :fAB (0) k yk x 思考：反比例函数的定义域、对应关系和值域 各是什么？请用上面的函数定义描述这个函数. 2常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例 函数
14、 ykx(k0) R R 反比例 函数 yk x(k0) x|_ y|y0 一次 函数 ykxb (k0) R _ a0 y|y4acb 2 4a 二次 函数 yax2bx c (a0) R a0 yy4acb 2 4a x0 R 1 3 2 1 2 23 3 301 1( )+ +, + ( )()( ) ( )( ),(). f xx x ff af af a 例例 、已已知知函函数数 （）求求函函数数的的定定义义域域 求求，的的值值； 当当时时，求求的的值值 四、例题分析四、例题分析 分析：函数定义域通常由问题的实际背景决定。如果只分析：函数定义域通常由问题的实际背景决定。如果只 给出解
15、析式给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，而没有指明它的定义域， 那么函数的定义域就是指使得式子有意义的实数那么函数的定义域就是指使得式子有意义的实数 的的集合集合 1 3 2 1 2 23 3 301 1( )+ +, + ( )()( ) ( )( ),(). f xx x ff af af a 例例 、已已知知函函数数 （）求求函函数数的的定定义义域域 求求，的的值值； 当当时时，求求的的值值 1 30 20 ( ) x x 解解： 要要使使函函数数有有意意义义， 当当且且仅仅当当32xx 解解得得且且 32 |x xx 所所以以，定定义义域域为为且且 1 3 2 2 23 3
16、301 1( )+ +, + ( )()( ) ( )( ),(). f xx x ff af af a 例例 、已已知知函函数数 求求，的的值值； 当当时时，求求的的值值 四、例题分析四、例题分析 1 23331 32 ( ) ()() () f 解解： 221113333 3 2 333838 2 3 ( )f 1 3 2 301 1( )+ +, + ( )( ),(). f xx x af af a 例例 、已已知知函函数数 当当时时，求求的的值值 四、例题分析四、例题分析 332 1101 1 3 2 ( )( ) | ,( ),() ( ) f xx xx aaf af a f a
17、a a 解解： 由由题题可可得得，函函数数的的定定义义域域为为且且 即即均均有有意意义义， 11 1132 121 ()() () f aaa aa ( ) ( )( ) f axa f af x 表表示示当当自自变变量量的的值值时时的的函函数数值值，注注： 是是一一个个常常量量. .是是的的一一个个特特殊殊值值 0 1 3 2 1 23 2 (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( )+ f xf xx x f xxf xx x 求求下下列列函函数数的的定定义义域域 练习练习 120 22 ( ) |. x xx x 解解： 由由题题意意可可得得 ， 函函数数的的定定义义域
18、域是是 230 33 ( ) |. x xx x 由由题题意意可可得得 ， 函函数数的的定定义义域域是是 320 22 ( ) |. x xx x 由由题题意意可可得得 ， 函函数数的的定定义义域域是是 0 1 2 3 2 1 3 2 (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( )+ f x x f xx f xx f xx x 求求下下列列函函数数的的定定义义域域 分式中分母不为分式中分母不为0 0 偶次根式下被开方数偶次根式下被开方数大于等于大于等于0 0 零次幂的底数不为零次幂的底数不为0 0 同时使得各部分有意义同时使得各部分有意义 30 4 20 32 32 ( )
19、|,. x x xx x xx 由由题题意意可可得得 且且， 函函数数的的定定义义域域是是且且 练习练习 0 1 2 3 2 1 3 2 (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( )+ f x x f xx f xx f xx x 分式中分母不为分式中分母不为0 0 偶次根式下被开方数大于等于偶次根式下被开方数大于等于0 0 零次幂的底数不为零次幂的底数不为0 0 同时使得各部分有意义同时使得各部分有意义 注意：注意： 研究一个函数要在其定义域内研究，所以求研究一个函数要在其定义域内研究，所以求定义域定义域 是研究任何函数的前提是研究任何函数的前提。 函数的定义域常常函数的定
20、义域常常由其实际背景决定由其实际背景决定，若只给出，若只给出 解析式时，定义域就是解析式时，定义域就是使这个式子有意义使这个式子有意义的实数的实数 x 的集合。的集合。 练习练习 323 2 2 12 34 2 ( )(); ( ); yx yxyx x yxy x 例例 、下下列列函函数数中中哪哪个个与与函函数数相相等等？ ；（ ） ；（ ） 结论：若两个函数的结论：若两个函数的定义域定义域相同，且相同，且对应关系对应关系完全一致，完全一致， 则两个函数相等。则两个函数相等。 设设A、B是是非空数集非空数集，如果按照某种确定的对应关，如果按照某种确定的对应关 系系f，使对于集合，使对于集合A
21、 A中的中的任意一个数任意一个数x，在集合，在集合B中中 都有都有唯一确定唯一确定的数的数f(x)和它对应，就称和它对应，就称 f: AB为从为从集合集合A到集合到集合B的一个函数，记作的一个函数，记作: : y=f(x) , xA 1 1、函数的概念：、函数的概念： 2 2、函数三要素：、函数三要素： 定义域、对应关系、值域定义域、对应关系、值域 五、课堂小结五、课堂小结 (3)(3)若有若有x0，则，则x0 (5)(5)实际问题要受到现实条件的约束，一般取使实际问题要受到现实条件的约束，一般取使实际问实际问 题有意义题有意义的实数的集合的实数的集合 (1)(1)分式的分母不等于分式的分母不
22、等于0 0 (2)(2)偶次根式的被开方数非负偶次根式的被开方数非负 (4)(4)如果如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是由几个部分的式子构成的，则定义域 是是使各部分式子都有意义的实数的集合使各部分式子都有意义的实数的集合( (即各集合的即各集合的交交 集集) ) 3 3、求函数定义域的一般方法、求函数定义域的一般方法 求定义域实质就是求解使函数有意义的不等式或不等求定义域实质就是求解使函数有意义的不等式或不等 式组式组 五、课堂小结五、课堂小结 (1)下列对应是否为A到B的函数： AR，Bx|x0，f：xy|x|； AZ，BZ，f：xyx2； AZ，BZ，f：xy x；
23、A1,1，B0，f：xy0. (2)(2015 甘肃兰州高一月考试题)如图所示，能够作为函 数yf(x)的图象的有_ 函数概念的理解函数概念的理解 答案 (1)不是 是 (2) 解析 (1)A中的元素0在B中没有对应元素， 故不是A到B的函数； 对于集合A中的任意一个整数x，按照对应 关系f：xyx2，在集合B中都有唯一一个 确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B 的函数； A中元素负整数没有平方根，故在B中没有 对应的元素，故此对应不是A到B的函数； 对于集合A中一个实数x，按照对应关系f： xy0，在集合B中都有唯一一个确定的数 0与之对应故是集合A到集合B的函数 (2)根据函数的定义
24、，一个函数图象与垂直于 x轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判 断其是否构成函数的基本方法 712( )yxx 判判断断该该表表达达式式是是否否能能表表示示函函数数 求函数的定义域求函数的定义域 1.求下列函数的定义域： (1)f(x) 1 x2； (2)f(x) 3x2； (3)f(x) x1 1 3x. 解析 (1)要使函数有意义，须使x20，x2， 定义域为x|x2； (2)要使函数有意义，须使3x20，x2 3，定义域 为x|x2 3 (3)要使函数有意义，须使 x10 3x0 ，x1且x3， 定义域为：x|x1且x3 2已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形 的一条边长x之间的函数关
25、系为_， 其定义域为_ 答案 S1 2xx 2 x|0x1 2 解析 由题意得，矩形的另外一条边长为 1 2 x，于是S (1 2x)x 1 2xx 2， 其中x需满足 1 2x0， x0， 所以0x 1 2 ，所以S与x之间的 函数关系中的定义域为x|0x1 2 相等函数的判断相等函数的判断 下列各组式子是否表示相等函数？为什么？ (1)f(x)|x|，(t) t2； (2)y x2，y( x)2； (3)y x1 x1，y x21； (4)y 1x 1x，y 1x2. 解析 (1)f(x)|x|，(t)|t|，定义域和对应法则都相 同，故是相等函数 (2)yx2定义域为R；y(x)2定义域
26、为0，)，故不 是相等函数 (3)y x1 x1定义域为1，)，y x21定义域 为(，11，)，故不是相等函数 (4)y1x 1x1x2，故两函数对应法则相同， 又定义域都是1,1，故是相等函数 求函数值求函数值 (2015 郑州一中高一月考) 已知f(x) x2 1x2，xR. (1)计算f(a)f(1 a)的值； (2)计算f(1)f(2)f(1 2)f(3)f( 1 3)f(4)f( 1 4)的值 解析 (1)由于f(a) a2 1a2 ，f( 1 a ) 1 1a2 ，所以f(a)f( 1 a ) 1. (2)方法一：因为f(1) 12 112 1 2 ，f(2) 22 122 4
27、5 ，f( 1 2 ) 1 2 2 11 2 2 1 5，f(3) 32 132 9 10，f( 1 3) 1 3 2 11 3 2 1 10，f(4) 42 142 16 17，f( 1 4) 1 4 2 11 4 2 1 17，所以f(1)f(2)f( 1 2)f(3)f( 1 3)f(4) f(1 4) 1 2 4 5 1 5 9 10 1 10 16 17 1 17 7 2. 方法二：因为f(a)f( 1 a )1，从而f(2)f( 1 2 )f(3)f( 1 3 ) f(4)f( 1 4)1，即f(2)f( 1 2)f(3)f( 1 3)f(4)f( 1 4)3，而 f(1)1 2，
28、所以f(1)f(2)f( 1 2)f(3)f( 1 3)f(4)f( 1 4) 7 2. 点评 方法二相比方法一的求解更为简捷，关键在于发 现x 1 x 1这一特征，并利用f(a)f( 1 a)1求解，要注意体会从 一般到特殊的思维方式 已知函数 f(x)x 21 x21，则 f(1) f2 f1 2 f10 f 1 10 _. 解析 fx f1 x x21 x21 1 x21 1 x21 x21 x21 1x2 1x2 1， f2 f1 2 f3 f1 3 f10 f 1 10 1， 又f(1)0，f(1)f2 f1 2 f10 f 1 10 9. 1 1、（作业本）、（作业本）P24 P24 习题习题1.2 1.2 第第1 1题题 六、作业六、作业
