1、3.1.2 用二分法求方程的近似解 1 1、函数的零点：、函数的零点： 对于函数对于函数 y=f (x) ，使，使 f (x)=0 的的 实数实数x 叫做叫做 函数函数y=f (x)的的零点零点 2 2、零点存在性定理、零点存在性定理 0 0 0 ( ) ,( ) ,( , ),( ), ( ). , ( )( ) ( , ) yf x yf x ca bf c c a b f af b a b f x 连连续续不不如如果果函函数数在在区区间间上上的的图图象象是是的的 一一条条曲曲线线 并并且且有有那那么么 函函数数 即即存存在在使使得得这这个个 也也就就是是 断断 在在 区区间间内内有有零零
2、点点 方方程程的的根根 二、基础练习二、基础练习 1、已知函数、已知函数f(x)=x2+mx+n,若若f(a)0,f(b)0,则则 函数函数f(x)在区间在区间(a,b)内（内（ ） A.一定有零点一定有零点 B.一定没有零点一定没有零点 C.可能有两个零点可能有两个零点 D.至多有一个零点至多有一个零点 C 2 2 11 11 11 01 88 44 22 ( )log () ( , )( ,)(,)(, ) f xxx ABCD 、的的零零点点所所在在区区间间是是 、 C 322 1 00 11 22 3 () (, ) ( , ) ( , ) ( , ) x x ABCD 、方方程程 的
3、的根根所所在在区区间间是是 、 B 二、函数零点个数二、函数零点个数 2 (1)( )f xaxbxcac二二次次函函数数中中 、 异异号号，则则该该 函函数数的的零零点点个个数数为为_ 22 2 0 040 ( ) aca c axbxcbac f xaxbxc 分分析析： 、 异异号号， ， 在在方方程程中中，判判别别式式 方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根， 即即函函数数有有两两个个零零点点 Q (1)解解方方程程 判判断断函函数数零零点点个个数数： 求求方方程程不不相相等等的的实实，数数根根的的个个数数 22 1:5235_xxx练练方方程程的的根根的的个个数数 二、函数
4、零点个数二、函数零点个数 |lg| 010 (2)( ) 1110 xx f x xx ， 判判断断函函数数的的零零点点个个数数. . ， (2)x数数形形结结合合 判判断断函函数数零零点点个个数数： ：看看函函数数图图象象与与 轴轴交交点点的的个个数数 x y O 1 1 5 10 11 2 ( ) |43|.f xxx练练2 2：函函数数 有有_个个零零点点 2 ( )4| 3.g xxx练练3 3：函函数数 有有_个个零零点点 2 4 二、函数零点个数二、函数零点个数 (2)x数数形形结结合合 判判断断函函数数零零点点个个数数： ：看看函函数数图图象象与与 轴轴交交点点的的个个数数 2
5、( )4| 3.g xxx练练3 3：函函数数 有有_个个零零点点4 2 ( )4| 3 4_ 1 _. yag xxx a ：若若直直线线与与函函数数 图图象象 有有 个个交交点点，则则实实数数 的的取取值值范范围围是是 改改编编 | 13aa 2 4| 3204 _. xxa a ：若若方方程程有有 个个不不等等实实根根， 则则实实数数 的的取取值值范范围围是是 改改编编 | 13aa 二、函数零点个数二、函数零点个数 2 (3)( )22 x f xx 求求函函数数的的零零点点个个数数. . 2 2 ( )0220 22 x x f xx x ： 即即 解解令令得得 2 ( )2( )2
6、 x g xxh x 设设， x y O ( )( )g xh x函函数数与与图图象象有有两两个个交交点点， (3)：将将函函数数零零点点个个数数问问题题数数形形结结合合两两函函数数 图图象象交交点点 转转化化成成 个个数数问问题题； ( )2 x h x 2 ( )2g xx 2 1 2 22 x x方方程程有有两两个个不不相相等等实实数数根根， 2 ( )22 x f xx函函数数有有两两个个零零点点. . 二、函数零点个数二、函数零点个数 (4)( ) , ( )( )0, ( )0( , ) yf xa b f af b f xa b 已已知知函函数数在在区区间间上上是是单单调调函函
7、数数，且且图图象象连连续续，若若则则方方程程 在在区区间间内内 （ ） A.A.至至少少有有一一个个实实数数根根 B. B.至至多多有有一一个个实实数数根根 C.C.没没有有实实数数根根 D. D.有有唯唯一一的的实实数数根根 ( )()(4 . f af b 的的符符号号利利用用零零点点存存在在性性定定理理，即即， 结结合合函函数数单单调调性性再再 D 二、函数零点个数二、函数零点个数 4( ), , ( )( )0( )( )0 ( )( , ) 2 C 2 yf xa b c abcf af bf bf c yf xa c ABD 练练 、函函数数图图象象连连续续不不断断，实实数数是是其
8、其定定义义域域内内 三三个个数数，且且满满足足， 则则函函数数在在区区间间上上的的零零点点个个数数为为（ ） 、奇奇数数个个、偶偶数数个个、至至少少 个个 D 5( )ln26 f xxx例例 、已已知知图图象象连连续续不不断断，且且其其部部分分 函函数数值值对对应应如如下下，求求函函数数零零点点的的个个数数. . x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4 1.306 1.098 3.386 5.609 7.791 9.945 12.079 14.197 ( )(2,3)f x函函数数在在区区间间内内有有零零点点. .该该如如何何得得到到这这个个零零点点？ 如何求函数近似零点如何
9、求函数近似零点 问题：现有问题：现有1212个小球，体积均匀外表一致，但是其中个小球，体积均匀外表一致，但是其中 有一个小球却比别的球重。如果给你一天平，最少要有一个小球却比别的球重。如果给你一天平，最少要 称几次才可以找出这个比较重的球？称几次才可以找出这个比较重的球？ 解：解： 第一次，两端各放第一次，两端各放6 6个小球，低的那一端一定有重球；个小球，低的那一端一定有重球； 第二次，两端各放第二次，两端各放3 3个小球，低的那一端一定有重球；个小球，低的那一端一定有重球； 第三次，两端各放第三次，两端各放1 1个小球，如果平衡，剩下的就是重个小球，如果平衡，剩下的就是重 球；如果不平衡，
10、则低的那一端就是重球。球；如果不平衡，则低的那一端就是重球。 3 一、基础知识讲解一、基础知识讲解 1( )ln26(2,3)f xxx上上一一节节例例 可可得得函函数数在在区区间间 内内有有唯唯一一的的零零点点. .该该如如何何得得到到这这个个零零点点？ 那么零点是在那么零点是在(2，2.5)内，还是在内，还是在(2.5，3)内？内？ f(2.5) f(3)0， f(x)在在(2.5，3)内有零点内有零点 那么零点是在那么零点是在(2.5，2.75)内，还是在内，还是在(2.75，3)内？内？ f(2.5) f(2.75)0， f(x)在在(2.5，2.75)内有零点内有零点 区间区间(2，
11、3)的中点是的中点是 x=2.5 区间区间(2.5，3)的中点是的中点是 x=2.75 一般的，我们把一般的，我们把 称为区间称为区间 的中点。的中点。 2 ab , a b 通过通过缩小零点所在的范围缩小零点所在的范围，那么在，那么在一定一定 的的精确度精确度的要求下，能得到零点的的要求下，能得到零点的近似值近似值。 一般的，我们通过“一般的，我们通过“取中点取中点”的方法逐步缩”的方法逐步缩 小零点所在的范围。小零点所在的范围。 1 1、二分法的概念、二分法的概念 对于在区间对于在区间a,b上上连续不断连续不断、且、且f(a)f(b)0的的 函数函数y=f(x)，通过不断把函数，通过不断把
12、函数y=f(x)的零点所在的零点所在 区间区间一分为二一分为二，使区间的两个端点，使区间的两个端点逐步逼近零逐步逼近零 点点，进而得到，进而得到零点近似值零点近似值的方法叫的方法叫二分法二分法。 1:( ) , (1)( ) , (2) ( )0,( )0 (3) ( )0,( )0 (4) ( )( )0 yf xa b yf xa b f af b f af b f af b 练练习习用用二二分分法法求求函函数数在在区区间间内内的的零零点点时时， 需需要要条条件件有有 在在区区间间上上的的图图象象是是连连续续不不断断， (1)(4) 一、基础知识讲解一、基础知识讲解 1 1、二分法的概念、
13、二分法的概念 对于在区间对于在区间a,b上上连续不断连续不断、且、且f(a)f(b)0的的 函数函数y=f(x)，通过不断把函数，通过不断把函数y=f(x)的零点所在的零点所在 区间区间一分为二一分为二，使区间的两个端点，使区间的两个端点逐步逼近零逐步逼近零 点点，进而得到，进而得到零点近似值零点近似值的方法叫的方法叫二分法二分法。 思考：思考：是不是所有的函数都可用二分法求零点？是不是所有的函数都可用二分法求零点？ 2()练练习习 ：下下列列函函数数不不能能用用二二分分法法求求零零点点的的近近似似值值的的有有 ABCD D xxx yyyy 用用二二分分法法求求函函数数零零点点的的近近似似值
14、值只只适适用用于于变变号号零零点点 a b a b a b a b x 一、基础知识讲解一、基础知识讲解 1 1、二分法的概念、二分法的概念 对于在区间对于在区间a,b上上连续不断连续不断、且、且f(a)f(b)0的的 函数函数y=f(x)，通过不断把函数，通过不断把函数y=f(x)的零点所在的零点所在 区间区间一分为二一分为二，使区间的两个端点，使区间的两个端点逐步逼近零逐步逼近零 点点，进而得到，进而得到零点近似值零点近似值的方法叫的方法叫二分法二分法。 0 3 ( )25(2,3) 2.5_ f xxx x 练练习习3:3:用用二二分分法法求求在在区区间间内内的的零零点点， 取取区区间间
15、中中点点，则则下下一一个个讨讨论论的的区区间间是是(2,2.5) 1( )ln26(0.1)f xxx例例 、求求的的零零点点精精确确度度的的近近似似解解 (2)1.30690, (3)1.098630,ff 解解： 区间区间(a,b) 中点的值中点的值 中点函数值符号中点函数值符号 区间长度区间长度 (2,3) 2.5 2.75 2.625 2.5625 (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625) 2.53125 由于由于 |2.5-2.5625|=0.06250.1 所以原函数精确度为所以原函数精确度为0.1的零点近似解为的零点近似解为2.5(或
16、或2.5625)。 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 确定原始区间确定原始区间a,b，验证，验证 f(a)f(b)0，给定精确度，给定精确度 求区间求区间(a,b)的中点的中点c 计算计算f(c); 若若f(c)=0，则，则c就是就是 函数的零点函数的零点 若若f(a) f(c)0，则令，则令b= c (此时零点此时零点x0(a,c) 若若f(b) f(c) 0，则令，则令a= c (此时零点此时零点x0(c,b) 判断是否达到精确度判断是否达到精确度 ，即若，即若|a-b| ，则得到零，则得到零 点的近似值点的近似值 a(或或b)；否则得重复；否则得重复 2 2、二分法的基本步
17、骤、二分法的基本步骤 例例2、已知方程、已知方程 2x+3x=7 的解在区间（的解在区间（1,2）内）内 利用二分法求该方程的近似解（利用二分法求该方程的近似解（精确度精确度0.1） ( )237 (1)20, (2)30, x f xxff 解解：令令，则则 区间区间 中点的值中点的值 中点函数近似值中点函数近似值 区间长度区间长度 (1,2) 1.5 0.33 1.25 1.375 -0.28 -0.87 1.4375 0.02 (1,1.5) (1.25,1.5) (1.375,1.5) (1.375,1.4375) 由于由于 |1.375-1.4375|=0.06250.1 所以原方程
18、近似解可取所以原方程近似解可取1.375(或或1.4375)。 1 0.25 0.5 0.125 0.0625 1( )338338=0 (1,2)(1)0,(1.5)0,(1.25)0 ( ) (1,1.25)(1.25,1.5) (1.5,2) xx f xxx fff ABCD 、已已知知，用用二二分分法法求求方方程程 在在内内近近似似解解时时有有， 则则方方程程的的根根落落在在 、 、 、不不能能确确定定 0 0 1 2( )ln(1,2) (0.1) () 34 56 f xxx x x ABCD 、已已知知函函数数在在区区间间内内有有一一零零点点 ， 则则用用二二分分法法求求近近似
19、似值值 精精确确度度为为，需需将将区区间间 等等分分次次数数为为 、 、 、 B 练习：练习： B 3( ) ( ) 12 34 f x ABCD 、已已知知函函数数图图象象如如示示，用用其其中中可可用用二二分分法法来来 求求的的零零点点个个数数为为 、 、 、 3 22 4() ( )23( ) ( )24( )21 Af xxBf xx Cf xxxDf xxx 、下下列列函函数数不不能能用用二二分分法法求求零零点点近近似似值值的的有有 、 、 、 、 C 练习：练习： Ox y D ( , ). 2 ab xa b 1 1、一一般般地地，我我们们把把叫叫做做区区间间的的中中点点 2、对于
20、在区间、对于在区间a,b上上连续不断连续不断、且、且f(a)f(b)0 的函数的函数y=f(x)，通过不断把函数，通过不断把函数y=f(x)的零点所的零点所 在区间在区间一分为二一分为二，使区间的两个端点，使区间的两个端点逐步逼近逐步逼近 零点零点，进而得到，进而得到零点近似值零点近似值的方法叫的方法叫二分法二分法。 确定区间确定区间a,b，验证，验证 f(a)f(b)0，给定精确度，给定精确度 求区间求区间(a,b)的中点的中点c 计算计算f(c); 若若f(c)=0，则，则c就是就是 函数的零点函数的零点 若若f(a) f(c)0，则令，则令a= c (此时零点此时零点x0(c,b) 判断是否达到精确度判断是否达到精确度 ，即若，即若|a-b| ，则得到零，则得到零 点的近似值点的近似值 a(或或b)；否则得重复；否则得重复 3 3、二分法的基本步骤、二分法的基本步骤 练习册练习册：P88P88选择题选择题 P59 1P59 1- -4 4 P57 P57 例例1 1 作业作业
