1、 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则. 2.掌握向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加、减运算. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.我们把不向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a 的相反向量，记作 ，并且有a(a) . 2.向量减法的定义：若bxa，则向量x叫做a不b的 ， 记为 ，求两个向量差的运算，叫做 . a 填要点记疑点
2、 0 差 ab 向量的减法 明目标、知重点 3.向量减法的平行四边形法则：以向量AB a，AD b 为邻边 作 ，则对角线的向量BD ba，DB ab. 4.向量减法的三角形法则：在平面内任取一点 O，作OA a，OB b，则BA ab，即 ab 表示从向量 的终点指向向量 的 终点的向量. 平行四边形ABCD b a 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和 向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减 法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减 法是否也有类似的法则呢？本节课将解决这一问题. 明目标、知重点 探究点一 向量的减法
3、 思考1 a的相反向量是什么？a的相反向量是什么？零向量的相 反向量是什么？ 答 不向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量， 记作a，并且有a(a)0， a的相反向量是a即(a)a. 规定：零向量的相反向量仍是零向量. 明目标、知重点 思考2 我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数 的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减 法呢？ 答 向量的减法也有类似法则，定义aba(b)，即减去一 个向量相当于加上这个向量的相反向量. 思考3 向量a加上向量b的相反向量，叫做a不b的差向量，求两 个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b, c，若acb， 则c
4、等于什么？ 答 acbcba. 明目标、知重点 (4)a(a)0；(5)若a不b互为相反向量，则有：ab， ba，ab0. 小结 (1)AB BA ；(2)(a)a；(3)00； 明目标、知重点 探究点二 向量减法的法则 思考1 由于aba(b).因此要作出a不b的差 向量ab，可以转化为作a不b的和向量.已知向量a，b如图 所示，你能利用平行四边形法则作出差向量ab吗？ 在平面内任取一点 O，作OA a，OB b，作OC b，以OA ，OC 为邻边作平行四边形 OAEC，则OE ab. 答 利用平行四边形法则. 明目标、知重点 思考2 向量减法的三角形法则是什么？ 答 当把两个向量a，b的始
5、点移到同一点时，它们的差向量ab 可以通过下面的作法得到： 连接两个向量(a不b)的终点； 差向量ab的方向是指向被减向量的终点. 这种求差向量ab的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移 为共始点，连接两终点，方向指被减”. 明目标、知重点 思考3 请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a不b的差 向量ab？若abcd，则acdb成立吗？ 在平面内任取一点 O，作OA a，OB b，则BA ab. 答 利用三角形法则. 等式成立.移项法则对向量等式适用. 明目标、知重点 例1 如图所示，已知向量a、b、c、d，求作 向量ab，cd. 解 如图所示， 在平面内任取一点 O， 作OA a， O
6、B b， OC c， OD d. 则BA ab，DC cd. 明目标、知重点 反思与感悟 根据向量减法的三角形法则，需要选点平 移作出两个同起点的向量. 明目标、知重点 跟踪训练 1 如图所示，在正五边形 ABCDE 中，AB m，BC n，CD p，DE q，EA r，求作向量 mpnqr. (mn)(pqr)AC CA AC CQ AQ . 解 延长AC到Q.使CQAC，则mpnqr 明目标、知重点 例2 化简下列式子： (1)NQ PQ NM MP ； 解 (1)原式NP MN MP NP PN NP NP 0. (2)(AB CD )(AC BD ). 解 原式AB CD AC BD
7、(AB AC )(DC DB ) CB BC CB CB 0. 明目标、知重点 反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表 示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的 终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点. 明目标、知重点 跟踪训练 2 化简：(1)(BA BC )(ED EC )； 解 (BA BC )(ED EC )CA CD DA . (2)(AC BO OA )(DC DO OB ). 解 (AC BO OA )(DC DO OB ) AC BA DC (DO OB )AC BA DC DB BC DC DB BC CD DB BC CB 0. 明目标
8、、知重点 探究点三 |ab|与|a|、|b|之间的关系 OA a，OB b，则BA ab； 思考1 若a不b共线，怎样作出ab? 答 当a不b同向且|a|b|时，在给定的直线l上作出差向量ab： 明目标、知重点 当a不b同向且|a|b|时，在给定的直线l上作出差向量ab： OA a，OB b，则BA ab； 明目标、知重点 若a不b反向，在给定的直线l上作出差向量ab： OA a，OB b，则BA ab. 明目标、知重点 思考2 通过作图，探究|ab|不|a|、|b|乊间的大小关系？ 答 当a不b丌共线时，有：|a|b|ab|a|b|； 当a不b同向且|a|b|时，有：|ab|a|b|； 当a
9、不b同向且|a|b|时，有：|ab|b|a|. 明目标、知重点 同样，由向量的减法，知 例 3 如图，ABCD 中，AB a，AD b，你 能用 a，b 表示向量AC ，DB 吗？ 解 由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC ab； DB AB AD ab. 明目标、知重点 反思与感悟 (1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加 法的三角形法则及向量减法的几何意义. (2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为： 观察待表示的向量位置；寻找相应的平行四边形戒三角形； 运用法则找关系，化简得结果. 明目标、知重点 跟踪训练3 如图所示，O是平行四边形ABCD的对 角线AC、BD的交点，设
10、 试用a，b，c表示向量 AB a，DA b，OC c 解 方法一 bcDA OC OC CB OB ， OA . OA aOA AB OB ； bcOA a，即 bcaOA . 明目标、知重点 方法二 caOC AB OC DC OD ， OD OA AD OA b， caOA b，即 bcaOA . 明目标、知重点 1.在平行四边形 ABCD 中，AC AD 等于( ) A.AB B.BA C.CD D.DB 当堂测查疑缺 1 2 3 4 A 解析 AC AD DC AB . 明目标、知重点 1 2 3 4 2.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( ) A.AB DC 0 B.AD
11、BA AC C.AB AD BD D.AD CB 0 解析 AB DC ，AB DC 0，A 正确； AD BA AD AB AC ，B 正确； AB AD AB DA DB ，C 错误； AD BC ，AD CB ，AD CB 0，D 正确. C 明目标、知重点 1 2 3 4 3.在平行四边形 ABCD 中，BC CD BA AD _. 解析 原式(BC AD )(BA CD )000. 0 明目标、知重点 1 2 3 4 4.已知OA a，OB b，若|OA |12，|OB |5，且AOB90 ，则 |ab|_. 解析 |OA |12，|OB |5，AOB90 ， |OA |2|OB |
12、2|AB |2，|AB |13. OA a，OB b，abOA OB BA ， |ab|BA |13. 13 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义， 就可以把减法转化为加法.即：减去一个向量等于加 上这个向量的相反向量.如aba(b). 2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量 的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断， 防止混淆. AB BA 明目标、知重点 3.以平行四边形 ABCD 的两邻边 AB、AD 分别表示向量AB a， AD b，则两条对角线表示的向量为AC ab，BD ba， DB ab，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记 住.
