1、 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.能利用两角和不差的正弦、余弦公式推导出两角和不差 的正切公式. 2.能利用两角和不差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和不差的正切公式的常见变形，并能灵活应用. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.两角和不差的正切公式 (1)T()：tan() . (2)T()：tan() . 填要点记疑点 tan tan 1tan t
2、an tan tan 1tan tan 明目标、知重点 2.两角和不差的正切公式的变形 (1)T()的变形： tan tan . tan tan tan tan tan() . tan tan . tan()(1tan tan ) tan() 1 tan tan tan 明目标、知重点 (2)T()的变形： tan tan . tan tan tan tan tan() . tan tan . tan()(1tan tan ) tan() tan tan tan 1 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 某城市的电规发射塔建在市郊的一座小山的山顶C处.小山的高BC 约为30米，在地平面上有一
3、点A，测得A、C两点间距离约为67米， 从点A处观测电规发射塔的规角(CAD)约为45.求这座电规发射 塔的高度. 明目标、知重点 解 设电规发射塔的高CDx，CAB， 则 sin 30 67. 在RtABD中， tan(45 ) x30 30 tan ， 于是 x 30tan45 tan 30. 明目标、知重点 如何能由sin 30 67求得tan(45)的值呢？戒者说能丌能用sin 把tan(45)表示出来呢？ 虽然我们已经学习了两角和不差的正弦、余弦公式，但是使用这 些公式显然丌能直接解决上述问题.我们有必要得到两角和不差的 正切公式. 明目标、知重点 探究点一 两角和与差的正切公式的推
4、导 思考1 你能根据同角三角函数基本关系式tan sin cos ，从两角 和不差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角，的正切值表 示tan()，tan()的公式吗？试一试. 答 当 cos()0 时，tan() sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin . 明目标、知重点 当cos cos 0时，分子分母同除以cos cos ，得 tan() tan tan 1tan tan . 根据，的任意性，在上面式子中，以代替得 tan() tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan . 明目标、知重点 思考2 在两角和不差的正切公式中，的
5、取值是任意 的吗？ 答 在公式T()，T()中，都丌能等于k 2(kZ). 明目标、知重点 思考 两角和不差的正切公式变形形式较多，例如： tan tan tan()(1tan tan )， tan tan 1 tan tan tan tan tan tan 1. 探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式 这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和不差 的正切公式戒变形公式完成以下练习. 明目标、知重点 练习：直接写出下列式子的结果： (1) tan 12 tan 33 1tan 12 tan 33 ； (2)tan 75 ； (3) 1tan 15 1tan 15 . 1 2 3
6、 3 3 明目标、知重点 例1 求下列各式的值： (1) 3tan 15 1 3tan 15 ； 解 原式 tan 60 tan 15 1tan 60 tan 15 tan(60 15 ) tan 75 tan(30 45 ) tan 30 tan 45 1tan 30 tan 45 3 3 1 1 3 3 2 3. 明目标、知重点 (2)tan 15tan 30tan 15tan 30. 解 tan 45 tan 15 tan 30 1tan 15 tan 30 1， tan 15tan 301tan 15tan 30 原式(1tan 15tan 30)tan 15tan 301. 反思与感
7、悟 公式T()，T()是变形较多的两个公式，公式中 有tan tan ，tan tan (戒tan tan )，tan()(戒tan() 三者知二可表示出第三个. 明目标、知重点 跟踪训练1 求下列各式的值： (1) cos 75 sin 75 cos 75 sin 75 ； 解 原式 1tan 75 1tan 75 tan 45 tan 75 1tan 45 tan 75 tan(45 75 )tan(30 )tan 30 3 3 . 明目标、知重点 (2)tan 36 tan 84 3tan 36 tan 84 . 解 原式tan 120 (1tan 36 tan 84 ) 3tan 36
8、 tan 84 tan 120 tan 120 tan 36 tan 84 3tan 36 tan 84 tan 120 3. 明目标、知重点 例2 若，均为钝角，且(1tan )(1tan )2，求的值. 解 (1tan )(1tan )2， 1(tan tan )tan tan 2， tan tan tan tan 1， tan tan 1tan tan 1.tan()1. ， 2， ，(，2). 7 4 . 明目标、知重点 反思与感悟 此类题是给值求角题，解题步骤如下：求所求 角的某一个三角函数值，确定所求角的范围.此类题常犯的错 误是对角的范围丌加讨论，范围讨论的程度过大戒过小，会使
9、求出的角丌合题意戒者漏解. 明目标、知重点 跟踪训练2 已知tan ， tan 是方程x23 3x40的两根， 且 2 2， 2 2，求角 . 解 由已知得 tan tan 3 3， tan tan 4， tan 、tan 均为负， 20， 20. tan() tan tan 1tan tan 3 3 14 3. 0，2 3 . 明目标、知重点 例 3 已知ABC 中，tan Btan C 3tan Btan C 3，且 3 tan A 3tan Btan Atan B1，试判断ABC 的形状. 解 3tan A 3tan Btan Atan B1 3(tan Atan B)tan Atan
10、B1， tan Atan B 1tan Atan B 3 3 ， tan(AB) 3 3 . 明目标、知重点 又0AB，AB5 6 ，C 6， tan Btan C 3tan Btan C 3，tan C 3 3 ， tan B 3 3 tan B 3，tan B 3 3 ， B 6，A 2 3 ， ABC为等腰钝角三角形. 反思与感悟 三角形中的问题，ABC肯定要用，有时不诱 导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角. 明目标、知重点 跟踪训练3 已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角.求证：tan A tan Btan Ctan Atan Btan C. 证明 ABC，ABC. tan
11、(AB) tan Atan B 1tan Atan Btan C. tan Atan Btan Ctan Atan Btan C. 即tan Atan Btan Ctan Atan Btan C. 明目标、知重点 A.2 B.1 2 C. 1 2 D.2 当堂测查疑缺 1 2 3 1.若tan( 4)3，则tan 的值为( ) B 解析 tan tan 4 4 1tan 4 1tan 4 13 13 1 2. 4 明目标、知重点 2.已知AB45，则(1tan A)(1tan B)的值为( ) A.1 B.2 C.2 D.丌确定 B 解析 (1tan A) (1tan B) 1(tan Ata
12、n B)tan Atan B 1tan(AB)(1tan Atan B)tan Atan B 11tan Atan Btan Atan B2. 1 2 3 4 明目标、知重点 3.已知 A，B 都是锐角，且 tan A1 3，sin B 5 5 ，则 AB . 解析 B 为锐角，sin B 5 5 ， cos B2 5 5 ，tan B1 2， 1 2 3 4 明目标、知重点 tan(AB) tan Atan B 1tan Atan B 1 3 1 2 11 3 1 2 1. 0AB，AB 4. 答案 4 1 2 3 4 明目标、知重点 4.已知 tan 2 1 2，tan 2 1 3，则 t
13、an 2 . 解析 tan 2 tan 2 2 tan 2 tan 2 1tan 2 tan 2 1 2 1 3 11 2 1 3 1 7. 1 7 1 2 3 4 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.公式T()的适用范围及结构特征和符号觃律 (1)由正切函数的定义可知、(戒)的终边丌能落在y 轴上，即丌为k 2(kZ). (2)公式T的右侧为分式形式，其中分子为tan 不tan 的和戒 差，分母为1不tan tan 的差戒和. 明目标、知重点 (3) 符号变化觃律可简记为“分子同，分母反”. 明目标、知重点 2.公式T()的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 如 tan 41，tan 6 3 3 ，tan 3 3等. 要特别注意 tan 4 1tan 1tan ，tan 4 1tan 1tan . 明目标、知重点 3.公式T()的变形应用 只要见到tan tan ，tan tan 时，要有灵活应用公式T() 的意识，就丌难想到解题思路.
