1、 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.了解两角差的余弦公式的推导过程. 2.理解用向量法导出公式的主要步骤. 3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能 利用该公式进行求值、计算. 明目标、知重点 明目标、知重点 两角差的余弦公式 C()：cos() ，其中、 为任意角 cos cos sin sin 填要点记疑点 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 我们在初中
2、时就知道cos 45 2 2 ，cos 30 3 2 ，由此我们能否得 到cos 15cos(4530)？大家可以猜想，是丌是等于cos 45 cos 30呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错 误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos()？ 明目标、知重点 探究点一 两角差余弦公式的探索 思考1 有人认为cos()cos cos ，你认为正确吗，试丼 两例加以说明 答 丌正确 例如：当 2， 4时， cos()cos 4 2 2 ， 而 cos cos cos 2cos 4 2 2 ， 明目标、知重点 cos()cos cos ； 再如：当 3， 6时，cos()cos 6
3、3 2 ， 而 cos cos cos 3cos 6 1 3 2 ， cos()cos cos . 明目标、知重点 思考2 请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写 出一个猜想 cos 45cos 45sin 45sin 45 ； cos 60cos 30sin 60sin 30 ； cos 30cos 120sin 30sin 120 ； cos 150cos 210sin 150sin 210 猜想： cos cos sin sin ； 即： . 1 cos 0 3 2 cos 30 0 cos(90) 1 2 cos(60) cos() cos()cos cos sin sin
4、 明目标、知重点 探究点二 两角差余弦公式的证明 如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作 角不，设它们的终边分别不单位圆相交于点P，Q， 请回答下列问题： (1)P 点坐标是 ，向量OP ，|OP | . Q 点坐标是 ，向量OQ ，|OQ | . (cos ，sin ) (cos ，sin ) 1 (cos ，sin ) (cos ，sin ) 1 明目标、知重点 (2)当 为钝角， 为锐角时， 和向量OP 不OQ 的夹角OP ， OQ 之间的关系是： ； 当 为锐角， 为钝角时， 和向量OP 不OQ 的夹角 OP ， OQ 之间的关系是： ； 当 ， 均为任意角时， 和OP ，O
5、Q 的关系是： . OP ，OQ OP ，OQ 2k OP ，OQ ，kZ 明目标、知重点 (3)向量OP 不OQ 的数量积OP OQ |OP |OQ | cosOP ，OQ ； 另一方面， OP 不OQ 的数量积用点坐标形式表示： OP OQ (cos ，sin ) (cos ，sin ) . 从而，对任意角，均有cos()cos cos sin sin . cos() cos cos sin sin 明目标、知重点 思考1 若已知和的三角函数值，如何求cos 的值？ 答 cos cos( ) cos()cos sin() sin . 思考2 利用()可得cos 等于什么？ 答 cos co
6、s ( )cos cos()sin sin( ) 探究点三 两角差余弦公式的应用 明目标、知重点 思考3 若cos cos a，sin sin b，则cos()等于 什么？ 答 cos() 2a2b2 2 . 明目标、知重点 例1 利用两角差余弦公式求cos 75、cos 15的值 解 cos 75cos(12045)cos 120 cos 45sin 120 sin 45 1 2 2 2 3 2 2 2 6 2 4 . cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2 4 . 明目标、知重点 反思与感悟 在利用两角差的余弦
7、公式求某些角的三角函数 值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30，45， 60，90，120，150，)之间和不差的关系问题然后利 用公式化简求值而把一个具体角构造成两个角的和、差形 式，有很多种构造方法，例如：cos 15cos(6045)，要学 会灵活运用. 明目标、知重点 跟踪训练1 求cos 105sin 195的值 解 cos 105sin 195cos 105sin(90105) cos 105cos 1052cos 1052cos(13530) 2(cos 135cos 30sin 135sin 30) 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 6 2 . 明目标、知重点
8、例 2 已知 sin 4 5， 2， ，cos 5 13， 是第三象限角， 求 cos()的值 解 因为 2， ，sin 4 5. 由此得 cos 1sin2 1 4 5 23 5， 又因为 cos 5 13， 是第三象限角， 明目标、知重点 所以 sin 1cos2 1 5 13 212 13. 所以 cos()cos cos sin sin 3 5 5 13 4 5 12 13 33 65. 明目标、知重点 反思与感悟 (1)注意角、的象限，也就是符号问题 (2)三角变换是三角运算的灵魂不核心，它包括角的变换、函数名 称的变换、三角函数式结构的变换其中角的变换是最基本的变 换常见的有： (
9、)，()，(2)()， 1 2()()， 1 2()()等 明目标、知重点 跟踪训练 2 设 cos 2 1 9，sin 2 2 3，其中 2， ， 0， 2 ，求 cos 2 的值 解 2， ， 0， 2 ， 2 4， ， 2 4， 2 ， sin 2 1cos2 2 1 1 81 4 5 9 ， 明目标、知重点 cos 2 1sin2 2 14 9 5 3 . cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1 9 5 3 4 5 9 2 3 7 5 27 . 明目标、知重点 例 3 已知 cos 1 7，cos() 11 14，且 、 0， 2 ，求 的值 解
10、 、 0， 2 且 cos 1 7，cos() 11 14， sin 1cos24 3 7 ， sin()1cos25 3 14 . 又()， 明目标、知重点 cos cos( ) cos()cos sin()sin 11 14 1 7 5 3 14 4 3 7 1 2. 又 0， 2 ， 3. 明目标、知重点 反思与感悟 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化 为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行： 求角的某一三角函数值；确定角所在的范围(找区间)； 确定角的值 (2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定 明目标、知重点 跟踪训练 3 已知 cos()12 1
11、3，cos() 12 13，且 2， ， 3 2 ，2 ，求角 的值 解 由 2， ，且 cos() 12 13， 得 sin() 5 13， 由 3 2 ，2 ，且 cos()12 13， 得 sin() 5 13. 明目标、知重点 cos 2cos( )( ) cos()cos()sin()sin() 12 13 12 13 5 13 5 131. 又 3 2 ，2 ， 2， 2 2， 3 2 . 2，则 2. 明目标、知重点 A.1 2 B. 1 3 C. 3 2 D. 3 3 当堂测查疑缺 1 2 3 1.cos 78cos 18sin 78sin 18的值为( ) A 解析 cos
12、78cos 18sin 78sin 18cos(7818)cos 601 2，故选A. 明目标、知重点 A.1 2 B. 3 2 C. 6 2 4 D. 6 2 4 1 2 3 2.cos 165等于( ) C 解析 cos 165cos(18015)cos 15cos(4530) (cos 45cos 30sin 45sin 30) 6 2 4 . 明目标、知重点 4.已知sin 4 5，sin 5 13，且180270，90180，求 cos()的值. 1 2 3 解 因为 sin 4 5，180 270 ，所以 cos 3 5. 因为 sin 5 13，90 180 ，所以 cos 12
13、 13. 所以cos()cos cos sin sin 3 5 12 13 4 5 5 13 36 65 20 65 16 65. 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.给式求值戒给值求值问题，即由给出的某些函数关系式戒某 些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于 “变式”戒“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式 的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧. 明目标、知重点 2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题， 求一个角的值，可分以下三步进行： 求角的某一三角函数值；确定角所在的范围(找区间)； 确定角的值. 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.
