1、3.3.3 点到直线的距离点到直线的距离 33.4 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 学案学案 新知自解新知自解 1会用点到直线的距离公式求点会用点到直线的距离公式求点到直线的距离到直线的距离 2探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离 点到直线、两条平行线间的距离点到直线、两条平行线间的距离 1点到直线的距离公式点到直线的距离公式 点点 P0(x0，y0)到直线到直线 l：AxByC0 的距离的距离 d_. 2两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 定定 义义 两条平行直线间的距离是指夹在两条两条平行直线间的距离是指夹
2、在两条 平行直线间平行直线间_的长的长 求求 法法 转化为一条直线上的转化为一条直线上的_到另一条直到另一条直 线的线的_ 垂线段垂线段 一点一点 距离距离 |Ax0By0C| A2B2 化解疑难化解疑难 1.点到直线的距离公式需注意的问题点到直线的距离公式需注意的问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式例直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式例 如，求如，求 P0(x0，y0)到直线到直线 ykxb 的距离，应先把直线方程化为的距离，应先把直线方程化为 kxyb0， 得得 d|kx 0 y0b| k21 . 2.对平行线间的距离公式的理解对平
3、行线间的距离公式的理解 (1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且 x，y 的的 系数对应相等系数对应相等 (2)当两直线都与当两直线都与 x 轴轴(或或 y 轴轴)垂直时垂直时，可利用数形结合来解决，可利用数形结合来解决 两直线都与两直线都与 x 轴垂直时，轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2，则，则 d|x2x1|； 两直线都与两直线都与 y 轴垂直时，轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2，则，则 d|y2y1|. 1原点到直线原点到直线 x2y50 的距离为的距离为( ) A1 B. 3 C2 D. 5 解析：解析：
4、 利用点到直线的距离公式可得：原点到直线利用点到直线的距离公式可得：原点到直线 x2y50 的距离的距离 d|0 05| 1222 5.故选故选 D. 答案：答案： D 2两平行直线两平行直线 3x2y30 和和 6x4y10 之间的距离是之间的距离是( ) A4 B.2 13 13 C.5 13 23 D.7 13 26 解析：解析： 6x4y10 可化为可化为 3x2y1 2 0，则由两条平行直线间的距，则由两条平行直线间的距 离公式得离公式得 d 1 2 3 3222 7 13 26 . 答案：答案： D 3设点设点 P 在直线在直线 x3y0 上，且上，且 P 到原点的距离与到原点的距
5、离与 P 到直线到直线 x3y2 0 的距离相等，则点的距离相等，则点 P 坐标是坐标是_ 解析：解析： 设设 P(3y，y)， 则则 y29y2| 3y3y2| 10 ，y 1 5. 当当 y1 5时， 时，x3 5， ， P 3 5， ，1 5 ， 当当 y1 5时， 时，x3 5， ， P 3 5， ，1 5 . 答案：答案： 3 5， ，1 5 或或 3 5， ，1 5 教案教案 课堂探究课堂探究 点到直线的距离点到直线的距离自主练透型自主练透型 (1)求点求点 P(3，2)到下列直线的距离：到下列直线的距离： y3 4x 1 4； ；y6；x4. (2)求过点求过点 A(1,2)，且
6、，且与原点的距离等于与原点的距离等于 2 2 的直线方程的直线方程 解析：解析： (1)直线直线 y3 4x 1 4化为一般式为 化为一般式为 3x4y10，由点到直线的，由点到直线的 距离公式可得距离公式可得 d|3 34 2 1| 32 4 2 18 5 . 因为直线因为直线 y6 与与 y 轴垂直，所以点轴垂直，所以点 P 到它的距离到它的距离 d|26|8. 因为直线因为直线 x4 与与 x 轴垂直，所以点轴垂直，所以点 P 到它的距离到它的距离 d|34|1. (2)因为所求直线方程过点因为所求直线方程过点 A(1,2)，且斜率存在，所以设直线方程为，且斜率存在，所以设直线方程为 y
7、2 k(x1)， 即， 即 kxyk20， 又原点到直线的距离等于， 又原点到直线的距离等于 2 2 ， 所以， 所以 |k2| k21 2 2 ， 解得解得 k7 或或 k1. 故直线方程为故直线方程为 xy10 或或 7xy50. 归纳升华归纳升华 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 1直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式 2点点 P 在直线在直线 l 上时，点到直线的距离为上时，点到直线的距离为 0，公式仍然适用，公式仍然适用 3直线方程直线方程 AxByC0 中，中，A0 或或 B0 公式
8、也成立，但由于直线公式也成立，但由于直线 是特殊直线是特殊直线(与与坐标轴垂直坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解，故也可用数形结合求解. 1(1)点点 P 在直线在直线 xy40 上，上，O 为原点，则为原点，则|OP|的最小值是的最小值是 _ _ (2)已知直线已知直线 l 过点过点 P(0,2)，且点，且点 A(1,1)，B(3,1)到直线到直线 l 的距离相等，求的距离相等，求 直线直线 l 的方程的方程 解析：解析： (1)|OP|的最小值就是的最小值就是 O 点到直线点到直线 xy40 的距离的距离 |OP|min|0 04| 1212 2 2. (2)由于点由于点 A(1,1)与与
9、 B(3,1)到到 y 轴的距离不相等，所以直线轴的距离不相等，所以直线 l 的斜率存在，的斜率存在， 设为设为 k.又直线又直线 l 过点过点 P(0,2)，则直线，则直线 l 的方程为的方程为 ykx2，即，即 kxy20.由由 点点 A(1,1)，B(3,1)到直线到直线 l 的距离相等得：的距离相等得：|k 12| k21 |k 3 12| k21 ， 解得解得 k0 或或 k1， 故直线故直线 l 的方程是的方程是 y2 或或 xy20. 答案：答案： (1)2 2 两平行线间的距离两平行线间的距离多维探究型多维探究型 求与直线求与直线 l：5x12y60 平行且到平行且到 l 的距
10、离为的距离为 2 的直线方程的直线方程 解析：解析： 法一：法一：设所求直线的方程为设所求直线的方程为 5x12yC0. 在直线在直线 5x12y60 上取一点上取一点 P0 0，1 2 ， 则点则点 P0到直线到直线 5x12yC0 的距离为的距离为 121 2 C 52 12 2 |C 6| 13 ， 由题意，得由题意，得|C 6| 13 2， 所以所以 C32，或，或 C20. 故所求直线的方程为故所求直线的方程为 5x12y320，或，或 5x12y200. 法二：法二：设所求直线的方程为设所求直线的方程为 5x12yC0， 由两平行直线间的距离公式得由两平行直线间的距离公式得 2 |
11、C6| 52 12 2， ， 解得解得 C32，或，或 C20. 故所求直线的方程为故所求直线的方程为 5x12y320，或，或 5x12y200. 归纳升华归纳升华 求两平行线间的距离求两平行线间的距离 一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线 l1：ykxb1，l2：ykx b2，且，且 b1b2时，时，d|b 1 b2| k21；当直线 ；当直线 l1：AxByC10，l2：AxByC2 0 且且 C1C2时，时，d |C1C2| A2B2.但必须注意两直线方程中 但必须注意两直线方程中 x，y 的系数对应相等的系数对应相等. 2(1)两条平行
12、线两条平行线 l1：3x4y10 和和 l2：6x8y15 间的距离是间的距离是_ (2)与直线与直线 2xy10 的距离等于的距离等于 5 5 的直线方程为的直线方程为( ) A2xy0 B2xy20 C2xy0 或或 2xy20 D2xy0 或或 2xy20 解析：解析： (1)l1，l2方程分别化为方程分别化为 l1：3x4y100，l2：3x4y15 2 0， 故故 l1与与 l2之间的距离之间的距离 d 10 15 2 3242 1 2. (2)根据题意可设所求直线方程为根据题意可设所求直线方程为 2xyc0，因为两直线间的距离等于，因为两直线间的距离等于 5 5 ，所以，所以 d
13、|c1| 2212 5 5 ，解得，解得 c0 或或 c2.故所求直线方程为故所求直线方程为 2xy0 或或 2xy20. 答案：答案： (1)1 2 (2)D 距离公式的综合应用距离公式的综合应用分层深化型分层深化型 两条互相平行的直线分别过点两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和和 B(3， ， 1)， 并且各自绕着， 并且各自绕着 A，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为旋转，如果两条平行直线间的距离为 d. (1)求求 d 的变化范围的变化范围 (2)当当 d 取最大值时，求两条直线的方程取最大值时，求两条直线的方程 规范解答规范解答 (1)方法一：方法一：当两条直线的斜率不存在时
14、，即两直线分别为当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为 x6 和和 x3， 则它们之间的距离为则它们之间的距离为 9.2 分分 当两条直当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为线的斜率存在时，设这两条直线方程为 l1：y2k(x6)，l2：y1k(x3)， 即即 l1：kxy6k20，l2：kxy3k10， d|3k 16k2| k21 3|3k 1| k21 ，4 分分 即即(81d2)k254k9d20. kR，且，且 d9，d0， (54)24(81d2)(9d2)0， 即即 0d3 10且且 d9. 综合综合可知，所求可知，所求 d 的变化范围为的变化范围为(0,3 10.8 分分
15、 方法二：方法二：如图所示，显然有如图所示，显然有 0d|AB|. 而而|AB| 63 2 21 23 10. 故所求的故所求的 d 的变化范围为的变化范围为(0,3 10.8 分分 (2)由图可知，当由图可知，当 d 取最大值时，两直线垂直于取最大值时，两直线垂直于 AB. 而而 kAB2 1 6 3 1 3， ， 所求直线的斜率为所求直线的斜率为3. 故所求的直线方程分别为故所求的直线方程分别为 y23(x6)，y13(x3)， 即即 3xy200 和和 3xy100.12 分分 归纳升归纳升华华 常见的距离公式应用问题的解题策略常见的距离公式应用问题的解题策略 1最值问题：最值问题： 利
16、用对称转化为两点之间的距离问题利用对称转化为两点之间的距离问题 利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离 利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最 值值 2求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方 程或方程组求值程或方程组求值 3求方程的问题：立足确定直线的几何要素求方程的问题：立足确定直线的几何要素点和方向，利用直线方点和方向，利用直线方 程的各种形式，结合直线的位置关系程的各种形式，结合直
17、线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直平行直线系、垂直直线系及过交点的直 线系线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解. 同类练同类练 1求经过点求经过点 P(1,2)，且使，且使 A(2,3)，B(0，5)到它的距离相等的直线到它的距离相等的直线 l 的方的方 程程 解析：解析： 方法一：方法一：当直线斜率不存在时，即当直线斜率不存在时，即 x1，显然符合题意当直线，显然符合题意当直线 斜率存在时，设所求直线的斜率为斜率存在时，设所求直线的斜率为 k，则直线方程为，则直线方程为 y2k(x1)由条件得由条件得 |2k3k2|
18、 k21 |5 k2| k21 ，解得，解得 k4， 故所求直线方程为故所求直线方程为 x1 或或 4xy20. 方法二：方法二：由平面几何知识知由平面几何知识知 lAB 或或 l 过线段过线段 AB 的中点的中点 直线直线 AB 的斜率的斜率 kAB4， 若若 lAB，则，则 l 的方程为的方程为 4xy20. 若若 l 过过 AB 的中点的中点(1，1)，则直线方程为，则直线方程为 x1， 故所求直线方程为故所求直线方程为 x1 或或 4xy20. 变式练变式练 2求经过两直线求经过两直线 l1：x3y40 与与 l2：4x3y60 的交点，且和点的交点，且和点 A(3,1)的距离为的距离
19、为 5 的直线的直线 l 的方程的方程 解析：解析： 由由 x3y40， 4x3y60， 解得解得 x2， y2 3 ，即直线，即直线 l 过点过点 B 2，2 3 . 当当 l 与与 x 轴垂直时，方程为轴垂直时，方程为 x2， 点点 A(3,1)到到 l 的距离的距离 d|32|5，满足题意，满足题意 当当 l 与与 x 轴不垂直时，设斜率为轴不垂直时，设斜率为 k， 则则 l 的方程为的方程为 y2 3 k(x2)， 即即 kxy2k2 3 0， 由点由点 A 到到 l 的距离为的距离为 5，得，得 3k12k2 3 k2 1 2 5， 解得解得 k4 3， ， 所以所以 l 的方程为的
20、方程为4 3x y8 3 2 3 0，即，即 4x3y100. 综上，所求直线方程为综上，所求直线方程为 x2 或或 4x3y100. 拓展练拓展练 3直线直线 l1过点过点 A(0,1)，l2过点过点 B(5,0)，如果，如果 l1l2，且，且 l1与与 l2间的距离为间的距离为 5， 求求 l1，l2的方程的方程 解析：解析： 若直线若直线 l1，l2的斜率存在，设直线的斜率存在，设直线 l1与与 l2的斜率为的斜率为 k， 由斜截式得由斜截式得 l1的方程为的方程为 ykx1，即，即 kxy10； 由点斜式可得由点斜式可得 l2的方程为的方程为 yk(x5)，即，即 kxy5k0. l1与与 l2间的距离为间的距离为 5， |1 5k | k21 5. 25k210k125k225， k12 5 . l1的方程为的方程为 12x5y50，l2的方程为的方程为 12x5y600. 若直线若直线 l1，l2的斜率不存在，则的斜率不存在，则 l1的方程为的方程为 x0，l2的方程为的方程为 x5， 它们之间的距离为它们之间的距离为 5，满足条件，满足条件 则满足条件的直线方程有以下两组：则满足条件的直线方程有以下两组： l1：12x5y50，l2：12x5y600 或或 l1：x0，l2：x5. 谢谢观看！谢谢观看！
