1、21.2 空间中直线与直线之间的位置空间中直线与直线之间的位置关系关系 学案学案 新知自解新知自解 1了解空间中两条直线的三种位置关系理解两异面直线的定义，会用平了解空间中两条直线的三种位置关系理解两异面直线的定义，会用平 面衬托来画异面直线面衬托来画异面直线 2理解平行公理理解平行公理(公理公理 4)和等角定理和等角定理 3会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角 三角形中求简单异面直线所成的角三角形中求简单异面直线所成的角 空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系 2异面直线异面直线 (1)定义：把不同在定
2、义：把不同在_平面内的两条直线叫作异面直线平面内的两条直线叫作异面直线 (2)画法：画法：(通常用平面衬托通常用平面衬托) 任一任一 平行公理与等角定理平行公理与等角定理 1平行公理平行公理(公理公理 4)与等角定理与等角定理 (1)平行公理平行公理 文字表述：平行于同一条直线的两条直线文字表述：平行于同一条直线的两条直线_这一性质叫作空间这一性质叫作空间 _ 符号表述：符号表述： ab bc _. (2)等角定理等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应空间中如果两个角的两边分别对应_，那么这两个角，那么这两个角_或或_ 平行平行 平行公理平行公理 ac 平行平行 相等相等 互补互补 2异面直
3、线所成的角异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点，经过空间任一点 O 作直线作直线 aa，b b，我们把，我们把 a与与 b所成的所成的_(或或_)叫作异面直线叫作异面直线 a 与与 b 所成的角所成的角(或或 夹角夹角) (2)范围：范围：_. (3)当当 _时，时，a 与与 b 互相垂直，记作互相垂直，记作_. 锐角锐角 直角直角 090 90 ab 化解疑难化解疑难 求异面直线所成的角需注意的问题求异面直线所成的角需注意的问题 (1)a 与与 b 所成角的大小与点所成角的大小与点 O 无关，为了简便，点无关，为了简便，点 O 常取在两
4、条异面直线常取在两条异面直线 中的一条上，例如取在直线中的一条上，例如取在直线 b 上，然后过点上，然后过点 O 作直线作直线 aa，a与与 b 所成的角所成的角 即为异面直线即为异面直线 a 与与 b 所成的角所成的角. (2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角， 实现了空间问将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角， 实现了空间问 题向平面问题的转化题向平面问题的转化 (3)两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直. 1一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是一条直线与两条异面直线中的一条平行，则
5、它和另一条的位置关系是 ( ) A平行或异面平行或异面 B相交或异面相交或异面 C异面异面 D相交相交 解析：解析： 假设假设 a 与与 b 是异面直线，而是异面直线，而 ca，则，则 c 显然与显然与 b 不平行不平行(否则否则 cb， 则有则有 ab，矛盾，矛盾)因此因此 c 与与 b 可能相交或异面可能相交或异面 答案：答案： B 2l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列说法正确的是是空间三条不同的直线，则下列说法正确的是( ) Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l3l1l3 Cl1l2l3l1，l2，l3共面共面 Dl1，l2，l3共点共点l1，l2，l3共面共面 解
6、析：解析： 对于对于 A，空间中直线的垂直有异面垂直和相交垂直两种，当，空间中直线的垂直有异面垂直和相交垂直两种，当 l1，l2， l3共面时，结论成立；当共面时，结论成立；当 l1，l2，l3不共面时，不共面时，l1与与 l3不一定平行，故不正确不一定平行，故不正确 对于对于 B，两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三，两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三 条直线，故正确条直线，故正确 对于对于 C， 互相平行的三条直线不一定共面， 如三棱柱的三条侧棱，故不正确， 互相平行的三条直线不一定共面， 如三棱柱的三条侧棱，故不正确 对于对于 D，共点的三条
7、直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故不正确，共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故不正确 答案：答案： B 3正方体正方体 ABCDA1B1C1D1中，与对角线中，与对角线 AC1异面的棱有异面的棱有_条条 解析：解析： 与与 AC1异面的棱有异面的棱有 A1B1，A1D1，BB1，DD1，CD，BC.共共 6 条条 答案：答案： 6 教案教案 课堂探究课堂探究 空间位置关系的判断空间位置关系的判断自主练透型自主练透型 (2015 德阳市中江县龙台中学高二德阳市中江县龙台中学高二(上上)期中期中)如图，点如图，点 P、Q、R、S 分分 别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直
8、线别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线 PQ 与与 RS 是异面直线的是异面直线的 一个图是一个图是( ) 解析：解析： A 中的中的 PQ 与与 RS 是两条平行且相等的线段；是两条平行且相等的线段；B 中的中的 PQ 与与 RS 是两是两 条平行且相等的线段；条平行且相等的线段；D 中，由于中，由于 PR 平行且等于平行且等于1 2SQ，故四边形 ，故四边形 SRPQ 为梯形，为梯形， 故故 PQ 与与 RS 是两条相交直线，它们和棱交于同一个点；是两条相交直线，它们和棱交于同一个点；C 中的中的 PQ 与与 RS 是两条是两条 既不平行，又不相交的直线，故选既不平行，又不相交
9、的直线，故选 C. 答案：答案： C 归纳升华归纳升华 判定两直线异面的常用方法判定两直线异面的常用方法 1定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； 2排除法排除法(反证法反证法)：排除两直线共面：排除两直线共面(平行或相交平行或相交)的情况的情况 1(2015 蚌埠市五河高中高二蚌埠市五河高中高二(上上)期中期中)若两条直线和一个平面相交成等角，若两条直线和一个平面相交成等角， 则这两条直线的位置关系是则这两条直线的位置关系是( ) A平行平行 B异面异面 C相交相交 D平行、异面或相交平行、异面或相交 解析：解析： 两直线可能相交、平行，也可
10、能异面，故选两直线可能相交、平行，也可能异面，故选D. 答案：答案： D 公理公理 4 及等角定理的应用及等角定理的应用多维探究型多维探究型 在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中，中，P、Q、M、N 分别为分别为 AD、AB、C1D1、 B1C1的中的中点，求证：点，求证：A1PCN，A1QCM，且，且PA1QMCN. 证明：证明： 取取 A1B1的中点的中点 K， 连接， 连接 BK、 KM.易知四边形易知四边形 MKBC 为平行四边形为平行四边形 所以所以 CMBK. 又因为又因为 A1KBQ 且且 A1KBQ， 所以四边形所以四边形 A1KBQ 为平行四边形，为平行四边形， 所以
11、所以 A1QBK， 由公理由公理 4 有有 A1QCM， 同理可证同理可证 A1PCN， 由于由于PA1Q 与与MCN 对应边分别平行，对应边分别平行， 且方向相反，且方向相反， 所以所以PA1QMCN. 归纳升华归纳升华 证明两直线平行的常用方法证明两直线平行的常用方法 ：(1)利用平面几何的结论，如平行四边形的对利用平面几何的结论，如平行四边形的对 边，三角形的中位线与底边；边，三角形的中位线与底边；(2)定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直 线没有公共点；线没有公共点；(3)利用公理利用公理 4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行：
12、找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行. 2如图所示，空间四边形如图所示，空间四边形 ABCD 中，中，E、F、G、H 分别是分别是 AB、BC、CD、 DA 的中点求证：四边形的中点求证：四边形 EFGH 是平行四边形是平行四边形 证明：证明： 因为因为 EH 是是ABD 的中位线，的中位线， 所以所以 EH 綊綊1 2BD. 同理同理 FG 綊綊1 2BD， ， 所以所以 EH 綊綊 FG， 所以四边形所以四边形 EFGH 为平行四边形为平行四边形 求异面直线所成的角求异面直线所成的角多维探究型多维探究型 (2015 大同一中高二大同一中高二(上上)月考月考)如图，在三棱锥如图，在三棱
13、锥 ABCD 中，中，O，E 分别分别 是是 BD，BC 的中点，的中点，AOOC，CACBCDBD2，ABAD 2，求异面，求异面 直线直线 AB 与与 CD 所成角的余弦值所成角的余弦值 解析：解析： 取取 AC 的中点的中点 M， 连接连接 OM，ME，OE， 由由 E 为为 BC 的中点知的中点知 MEAB，OEDC， 所以直线所以直线 OE 与与 EM 所成的锐角就是异面直线所成的锐角就是异面直线 AB 与与 CD 所成的角所成的角 在在OME 中，中，EM1 2AB 2 2 ，OE1 2DC 1， 因为因为 OM 是是 RtAOC 斜边斜边 AC 上的中线，上的中线， 所以所以 O
14、M1 2AC 1， 取取 EM 的中点的中点 H，连，连 OH，则，则 OHEM， 在在 RtOEH 中，中， 所以所以 cosOEMEH OE 1 2 2 2 1 2 4 . 归纳升华归纳升华 求异面直线所成角的一般步骤：求异面直线所成角的一般步骤： (1)找找(或作出或作出)异面直线所成的角异面直线所成的角用平移用平移 法，若题设中有中点，常考虑中位线法，若题设中有中点，常考虑中位线(2)求求转化为求一个三角形的内角，通转化为求一个三角形的内角，通 过解三角形，求出所找的角过解三角形，求出所找的角(3)结论结论设设(2)所求角大小为所求角大小为 .若若 0 90 ， 则则 即为所求；若即为
15、所求；若 90 180 ，则，则 180 即为所求即为所求. 3 (2015 杭州市重点中学高二联考杭州市重点中学高二联考)如图， 在正方体如图， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，中， E、 F、G、H 分别为分别为 AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线的中点，则异面直线 EF 与与 GH 所成的角所成的角 等于等于_ 解析：解析： 取取 A1B1中点中点 M 连接连接 MG，MH，则，则 MGEF，MG 与与 GH 所成的角所成的角 等于等于 EF 与与 GH 所成所成的角容易知道的角容易知道MGH 为正三角形，为正三角形，MGH60 ，所以，所以 EF 与与 GH 所成的角等于所成的角等于 60 . 答案：答案： 60 谢谢观看！谢谢观看！
