1、2.3.3 直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质 23.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 学案学案 新知自解新知自解 1认识和理解空间中线面、面面垂直的性质认识和理解空间中线面、面面垂直的性质 2能够灵活应用线面、面面垂直的性质定理证明相关问题能够灵活应用线面、面面垂直的性质定理证明相关问题 3理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系 直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质 文字语言文字语言 垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的两条直线_ 符号语言符号语言 a b _ 图形语言图形语言 作用作用 线面垂直线面垂直线线平行线线
2、平行 作平行线作平行线 平行平行 ab 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 文字语言文字语言 两个平面垂直，则两个平面垂直，则_垂直于垂直于_的直线与另一个平面的直线与另一个平面 _ 符号语言符号语言 l _ _ a 图形语言图形语言 作用作用 面面垂直面面垂直_垂直；垂直； 作面的垂线作面的垂线 a al 一个平面内一个平面内 交线交线 垂直垂直 线面线面 化解疑难化解疑难 1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的联系线线垂直、线面垂直、面面垂直的联系 2.剖析平面与平面垂直的性质定理剖析平面与平面垂直的性质定理 (1)定定理成立的条件有两个理成立的条件有两个 两平面垂直；两平面垂直； 直线
3、在其中一个面内且与两平面的交线垂直直线在其中一个面内且与两平面的交线垂直 (2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直， 故可用来证明线面垂直或线线垂定理的实质是由面面垂直得线面垂直， 故可用来证明线面垂直或线线垂 直直 (3)定理还说明了若两个平面垂直， 过其中一个平面内一点垂直于另一个平定理还说明了若两个平面垂直， 过其中一个平面内一点垂直于另一个平 面的直线必在第一个平面内面的直线必在第一个平面内 (4)解题过程中遇到面面垂直的问题时，通常利用此定理转化为线面垂直解题过程中遇到面面垂直的问题时，通常利用此定理转化为线面垂直. 1已知直线已知直线 l 垂直于直线垂直于直线 AB 和和 AC，直线
4、，直线 m 垂直于直线垂直于直线 BC 和和 AC，则，则 直线直线 l，m 的位置关系是的位置关系是( ) A平行平行 B异面异面 C相交相交 D垂直垂直 解析：解析： 因为直线因为直线 l 垂直于直线垂直于直线 AB 和和 AC， 所以， 所以 l 垂直于平面垂直于平面 ABC， 同理， 同理， 直线直线 m 垂直于平面垂直于平面 ABC，根据线面垂直的性质定理得，根据线面垂直的性质定理得 lm. 答案：答案： A 2已知平面已知平面 平面平面 ，n，直线，直线 l，直线，直线 m，则下列说法正，则下列说法正 确的个数是确的个数是( ) 若若 ln，lm，则，则 l； 若若 ln，则，则
5、l； 若若 mn，lm，则，则 m. A0 B1 C2 D3 解析：解析： 由线面平行的判定定理知由线面平行的判定定理知正确；由面面垂直的性质定理知正确；由面面垂直的性质定理知 正确正确 答案：答案： D 3已知已知 m，n 是直线，是直线， 是平面，给出下列说法：是平面，给出下列说法： 若若 ，m，nm，则，则 n 或或 n； 若若 ，m，n，则，则 mn； 若若 m 不垂直于不垂直于 ，则，则 m 不可能垂直于不可能垂直于 内的无数条直线；内的无数条直线； 若若 m，nm 且且 n ，n ，则，则 n 且且 n. 其中正确的说法序号是其中正确的说法序号是_(注： 把你认为正确的说法的序号都
6、填上注： 把你认为正确的说法的序号都填上) 解析：解析： 错，垂直于交线，不一定垂直平面；错，垂直于交线，不一定垂直平面；对；对；错，凡是平面内错，凡是平面内 垂直于垂直于 m 的射影的直线，的射影的直线，m 都与它们垂直；都与它们垂直；对故对故正确正确 答案：答案： 教案教案 课堂探究课堂探究 直线与平面垂直的性质定理的应用直线与平面垂直的性质定理的应用多维探究型多维探究型 如图，正方体如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，中，EF 与异面直线与异面直线 AC、A1D 都垂都垂 直相交直相交 求证：求证：EFBD1. 证明：证明： 如图所示，连接如图所示，连接 AB1、B1D1、B1C、
7、BD， 因为因为 DD1平面平面 ABCD， AC平面平面 ABCD， 所以所以 DD1AC. 又又 ACBD，DD1BDD， 所以所以 AC平面平面 BDD1B1， 又又 BD1平面平面 BDD1B1， 所以所以 ACBD1. 同理可证同理可证 BD1B1C， 又又 ACB1CC， 所以所以 BD1平面平面 AB1C. 因为因为 EFAC，EFA1D， 又又 A1DB1C，所以，所以 EFB1C.B1CACC. 所以所以 EF平面平面 AB1C，所以，所以 EFBD1. 归纳升华归纳升华 线面垂直的性质定理提供了证明两直线平行的重要依据，也是由垂直关系线面垂直的性质定理提供了证明两直线平行的
8、重要依据，也是由垂直关系 转化为平行关系的重要方法转化为平行关系的重要方法. 1.如图所示，在正方体如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，中，M 是是 AB 上一点，上一点，N 是是 A1C 的中点，的中点，MN平面平面 A1DC. 求证：求证：(1)MNAD1； (2)M 是是 AB 的中点的中点 证明：证明： (1)因为四边形因为四边形 ADD1A1为正方形，为正方形， 所以所以 AD1A1D. 又又 CD平面平面 ADD1A1， 所以所以 CDAD1. 因为因为 A1DCDD， 所以所以 AD1平面平面 A1DC. 又又 MN平面平面 A1DC，所以，所以 MNAD1. (2)
9、连接连接 ON，在，在A1DC 中中， A1OOD，A1NNC， 所以所以 ON 綊綊1 2CD 綊 綊1 2AB， ， 所以所以 ONAM， 又又 MNOA， 所以四边形所以四边形 AMNO 为平行四边形，为平行四边形， 所以所以 ONAM. 因为因为 ON1 2AB，所以 ，所以 AM1 2AB， ， 所以所以 M 是是 AB 的中点的中点 平面与平面垂直的性质定理的应用平面与平面垂直的性质定理的应用多维探究型多维探究型 如图，已知如图，已知 PA平面平面 ABC，平面，平面 PAB平面平面 PBC，求证：，求证：BC平平 面面 PAB. 证明：证明： 过点过点 A 作作 AEPB，垂足为
10、，垂足为 E， 因为平面因为平面 PAB平面平面 PBC，平面，平面 PAB平面平面 PBCPB， 所以所以 AE平面平面 PBC， 因为因为 BC平面平面 PBC，所以，所以 AEBC， 因为因为 PA平面平面 ABC，BC平面平面 ABC， 所以所以 PABC，因为，因为 PAAEA， 所以所以 BC平面平面 PAB. 归纳升华归纳升华 利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1) 两个平面垂直；两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交直线必须垂
11、直于它们的交 线线. 2.(2015 河源市高二期中河源市高二期中)在三棱锥在三棱锥 PABC 中，平面中，平面 PBC平面平面 ABC， ABAC，E，F 分别为分别为 BC，BP 的中点求证：的中点求证： (1)直直线线 EF平面平面 PAC； (2)平面平面 AEF平面平面 PBC. 证明：证明： (1)因为因为 E，F 分别是分别是 BC，BP 的中点，的中点， 所以所以 EFPC. 又又 EF 平面平面 PAC，PC平面平面 PAC， 所以所以 EF平面平面 PAC. (2)在在ABC 中，因为中，因为 ABAC，E 为为 BC 中点，中点， 所以所以 AEBC. 因为平面因为平面
12、PBC平面平面 ABC， 平面平面 PBC平面平面 ABCBC，所以，所以 AE平面平面 PBC. 又又 AE平面平面 AEF，所以平面，所以平面 AEF平面平面 PBC. 线面、面面垂直的综合问题线面、面面垂直的综合问题分层深化型分层深化型 如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，中，ABCD，ABAD，CD2AB， 平面平面 PAD底面底面 ABCD，PAAD，E 和和 F 分别为分别为 CD 和和 PC 的中点，求证：的中点，求证： (1)PA底面底面 ABCD； (2)BE平面平面 PAD； (3)平面平面 BEF平面平面 PCD. 证明：证明： (1)因为平面因为平面 PAD底
13、面底面 ABCD，且，且 PA 垂直于这两个平面的交线垂直于这两个平面的交线 AD， 所以所以 PA底面底面 ABCD. (2)因为因为 ABCD，CD2AB，E 为为 CD 的中点，的中点， 所以所以 ABDE，且，且 ABDE. 所以四边形所以四边形 ABED 为平行四边形所以为平行四边形所以 BEAD. 又因为又因为 BE 平面平面 PAD，AD平面平面 PAD， 所以所以 BE平面平面 PAD. (3)因为因为 ABAD，而且四边，而且四边形形 ABED 为平行四边形为平行四边形 所以所以 BECD，ADCD， 由由(1)知知 PA底面底面 ABCD. 所以所以 PACD.又又 ADP
14、AA， 所以所以 CD平面平面 PAD.所以所以 CDPD. 因为因为 E 和和 F 分别是分别是 CD 和和 PC 的中点，所以的中点，所以 PDEF. 所以所以 CDEF.又又 EFBEE， 所以所以 CD平面平面 BEF.又又 CD平面平面 PCD， 所以平面所以平面 BEF平面平面 PCD. 归纳升华归纳升华 直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系，当已知线面、直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系，当已知线面、 面面垂直或平行时考虑用性质定理转化，要证线面、面面垂直或平行时要用判面面垂直或平行时考虑用性质定理转化，要证线面、面面垂直或平行时要用判 定定理进行论
15、证定定理进行论证. 同类练同类练 1.(2015 宿州市高二期中宿州市高二期中)如图，在矩形如图，在矩形 ABCD 中，中，AB2BC，P，Q 分别分别 为线段为线段 AB，CD 的中点，的中点，EP平面平面 ABCD. (1)求证：求证：AQ平面平面 CEP； (2)求证：平面求证：平面 AEQ平面平面 DEP. 解析：解析： (1)在矩形在矩形 ABCD 中，中， 因为因为 APPB，DQQC， 所以所以 AP 綊綊 CQ. 所以所以 AQCP 为平行四边形为平行四边形 所以所以 CPAQ. 因为因为 CP平面平面 CEP，AQ 平面平面 CEP， 所以所以 AQ平面平面 CEP. (2)
16、因为因为 EP平面平面 ABCD，AQ平面平面 ABCD， 所以所以 AQEP. 因为因为 AB2BC， P 为为 AB 的中点， 所以的中点， 所以 APAD.连接连接 PQ， 则四边形， 则四边形 ADQP 为正方形为正方形 所以所以 AQDP.又又 EPDPP，所以，所以 AQ平面平面 DEP. 因为因为 AQ平面平面 AEQ， 所以平面所以平面 AEQ平面平面 DEP. 变式练变式练 2.如图，如图，P 是四边形是四边形 ABCD 所在平面外的一点，所在平面外的一点，ABCD 是是DAB60 且边且边 长为长为 a 的菱形侧面的菱形侧面 PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面为正三
17、角形，其所在的平面垂直于底面 ABCD. (1)若若 G 为为 AD 边的中点，求证：边的中点，求证：BG平面平面 PAD； (2)求证：求证：ADPB. 证明：证明： (1)连接连接 PG，BG，由题知，由题知PAD 为正三角形，为正三角形，G 是是 AD 的中点，的中点， PGAD. 又平面又平面 PAD平面平面 ABCD， PG平面平面 ABCD，PGBG. 又又四边形四边形 ABCD 是菱形且是菱形且DAB60 ， ABD 是正三角形，是正三角形，BGAD. 又又 ADPGG，BG平面平面 PAD. (2)由由(1)可知可知 BGAD，PGAD. 又又 PGBGG， AD平面平面 PB
18、G， PB平面平面 PBG， ADPB. 拓展练拓展练 3如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥 SABCD 中，底面中，底面 ABCD 是正方形，是正方形，SA平面平面 ABCD，且，且 SAAB，点，点 E 为为 AB 的中点，点的中点，点 F 为为 SC 的中点的中点 求证：求证：(1)EFCD； (2)平面平面 SCD平面平面 SCE. 证明：证明： (1)连接连接 AC，AF，BF. SA平面平面 ABCD， SAAC，SAC 为直角三角形为直角三角形. 又又F 为为 SC 的中点，的中点， AF 为为 RtSAC 斜边斜边 SC 上的中线，上的中线， AF1 2SC. 又又四边形四边
19、形 ABCD 是正方形，是正方形， CBAB. 而由而由 SA平面平面 ABCD，得，得 CBSA， CB平面平面 SAB，CBSB， BF 为为 RtSBC 斜边斜边 SC 上的中线，上的中线， BF1 2SC， ，AFBF. AFB 为等腰三角形为等腰三角形 E 为为 AB 的中点，的中点，EFAB. 又又 CDAB，EFCD. (2)在在 RtSAE 和和 RtCBE 中，中， SACB，AEBE， RtSAERtCBE， SEEC，即，即SEC 为等腰三角形为等腰三角形 F 为为 SC 的中点，的中点， EFSC. 又又EFCD，且，且 SCCDC， EF平面平面 SCD. 又又EF平面平面 SCE， 平面平面 SCD平面平面 SCE. 谢谢观看！谢谢观看！
