1、 第第 四四 章章 圆与方程圆与方程 41 圆的方程圆的方程 41.1 圆的标准方程圆的标准方程 学案学案 新知自解新知自解 1回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准 方程方程 2会根据已知条件求圆的标准方程会根据已知条件求圆的标准方程 3能准确判断点与圆的位置关系能准确判断点与圆的位置关系 圆的标准方程圆的标准方程 1.圆的定义圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 定点定点圆的圆的_；定长；定长圆的圆的_ 圆心圆心 半径半径 点与圆的位置关系点与圆的位置关系
2、 设点设点 P 到圆心的距离为到圆心的距离为 d，圆的半径为，圆的半径为 r，则点与圆的位置关系对应如，则点与圆的位置关系对应如 下：下： 位置关系位置关系 点在圆外点在圆外 点在圆上点在圆上 点在圆内点在圆内 d 与与 r 的大小关系的大小关系 dr dr dr 化解疑难化解疑难 对圆的标准方程的理解对圆的标准方程的理解 1由圆的标准方程可直接得到圆的圆心和半径；反过来，已知圆的圆心由圆的标准方程可直接得到圆的圆心和半径；反过来，已知圆的圆心 和半径即可直接写出圆的标准方程这一点体现了圆的标准方程的直观性和半径即可直接写出圆的标准方程这一点体现了圆的标准方程的直观性. 2由圆的标准方程来看，
3、要确定圆的标准方程需要三个独立的条件：圆由圆的标准方程来看，要确定圆的标准方程需要三个独立的条件：圆 心的横坐标、纵坐标以及圆的半径心的横坐标、纵坐标以及圆的半径 若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？ 提示提示 不是，因为从几何意义上讲圆指的是不是，因为从几何意义上讲圆指的是“圆圈圆圈”，圆上的点并不含，圆上的点并不含 圆心从点与圆的位置关系看，圆心应该在圆内圆心从点与圆的位置关系看，圆心应该在圆内. 1 已知 已知 A(4， ， 5)，B(6，1)， 则以线段， 则以线段 AB 为直径的圆的方程是为直径的圆的方程是( ) A(x1)2(y3)2
4、29 B(x1)2(y3)229 C(x1)2(y3)2116 D(x1)2(y3)2116 解析：解析： 圆心为圆心为 AB 的中点的中点(1，3)， 半径为半径为|AB| 2 1 2 64 2 15 2 29，故选，故选 B. 答案：答案： B 2已知圆已知圆(x1)2(y2)25，则原点与圆的位置关系是，则原点与圆的位置关系是( ) A原点在圆内原点在圆内 B原点在圆上原点在圆上 C原点在圆外原点在圆外 D以上都不对以上都不对 解析：解析： (01)2(02)25， (0,0)点在圆上点在圆上 答案：答案： B 3圆心是点圆心是点(3,4)且过点且过点(0,0)的圆的方程是的圆的方程是_
5、 解析：解析： 圆的半径圆的半径 r 32425. 所以圆的方程为所以圆的方程为(x3)2(y4)225. 答案：答案： (x3)2(y4)225 教案教案 课堂探究课堂探究 求圆的标准方程求圆的标准方程自主练透型自主练透型 过点过点 A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线且圆心在直线 xy20 上的圆的方程上的圆的方程 是是( ) A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24 解析：解析： 法一：法一：设所求圆的标准方程为设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 由已知条件知由已知条件知 1a 2 1b 2r2， 1a 2 1b
6、 2r2， ab20， 解此方程组，得解此方程组，得 a1， b1， r24. 故所求圆的标准方程为故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24. 法二：法二：设点设点 C 为圆心，为圆心，点点 C 在直线在直线 xy20 上，上， 可设点可设点 C 的坐标为的坐标为(a,2a) 又又该圆经过该圆经过 A，B 两点，两点， |CA|CB|. a1 2 2a1 2 a1 2 2a1 2， 解得解得 a1. 圆心坐标为圆心坐标为 C(1,1)，半径长，半径长 r|CA|2. 故所求圆的标准方程为故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24. 法三：法三：由已知可得线段由已知可得线段 AB 的中点坐标为
7、的中点坐标为(0,0)，kAB1 1 11 1，所以，所以 弦弦 AB的垂直平分线的斜率为的垂直平分线的斜率为 k1， 所以， 所以 AB的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为 y01 (x 0)，即，即 yx.则圆心是直线则圆心是直线 yx 与与 xy20 的交点，的交点， 由由 yx， xy20， 得得 x1， y1， 即圆心为即圆心为(1,1)，圆的半径为，圆的半径为 11 21 1 22， 故所求圆的标准方程为故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24. 答案：答案： C 归纳升华归纳升华 确定圆的标准方程就是设法确定圆心确定圆的标准方程就是设法确定圆心 C(a，b)及半径及半径 r
8、，其求解的方法：一，其求解的方法：一 是待定系数法，建立关于是待定系数法，建立关于 a，b，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆 的几何性质直接求得圆心坐标和半径一般地，在解决有关圆的问题时，有时的几何性质直接求得圆心坐标和半径一般地，在解决有关圆的问题时，有时 利用圆的几何性质作转化较为简捷利用圆的几何性质作转化较为简捷. 1求圆心在求圆心在 x 轴上，且过点轴上，且过点 A(5,2)和和 B(3，2)的圆的标准方程的圆的标准方程 解析：解析： 法一：法一：设圆的方程为设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0) 则则 b0， 5a 2 2b 2r
9、2， 3a 2 2b 2r2. 解得解得 a4， b0， r 5. 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x4)2y25. 法二：法二：因为圆过因为圆过 A(5,2)，B(3，2)两点，两点， 所以圆心一定在线段所以圆心一定在线段 AB 的中垂线上的中垂线上 AB 中垂线的方程为中垂线的方程为 y1 2(x 4)， 令令 y0，得，得 x4.即圆心坐标即圆心坐标 C(4,0)， 所以所以 r|CA| 54 2 20 2 5. 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x4)2y25. 点与圆的位置关系点与圆的位置关系多维探究型多维探究型 如图，已知两点如图，已知两点 P1(4,9)和和 P2(6,
10、3) (1)求以求以 P1P2为直径的圆的方程；为直径的圆的方程； (2)试判断点试判断点 M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外是在圆上，在圆内，还是在圆外 解析：解析： (1)设圆心设圆心 C(a， b)， 半径长为， 半径长为 r， 则由， 则由 C 为为 P1P2的中点， 得的中点， 得 a4 6 2 5，b9 3 2 6， 又由两点间的距离公式得又由两点间的距离公式得 r|CP1| 45 2 96 2 10， 故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x5)2(y6)210. (2)由由(1)知，圆心知，圆心 C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：，则分别计算
11、点到圆心的距离： |CM| 65 2 96 2 10； |CN| 35 2 36 2 13 10； |CQ| 55 2 36 23 10. 因此，点因此，点 M 在圆上，点在圆上，点 N 在圆外，点在圆外，点 Q 在圆内在圆内 归纳升华归纳升华 判断点与圆位置关系的两种方法判断点与圆位置关系的两种方法 1几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小 2代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断： 点点 P(x0，y0)在圆在圆 C 上上(x0a)2(y0b)2r2； 点点 P(x0，y0)在圆在圆
12、C 内内(x0a)2(y0b)2r2. 2(1)点点(0,0)在圆在圆(x1)2y2t2的外部，则的外部，则 t 的范围是的范围是_ (2)点点(1,1)在圆在圆(xa)2(ya)24 的内部，则的内部，则 a 的取值范围是的取值范围是( ) Aa1 B1a1 C0a1 Da 1 解析：解析： (1)由条件知由条件知 t2(01)2021， 1t1. (2)由题意可知，由题意可知，(1a)2(1a)24，解得，解得 a21，解得，解得1a1. 答案：答案： (1)1t1 (2)B 圆的方程的应用圆的方程的应用多维探究型多维探究型 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面一座圆拱桥，当水面
13、在如图所示位置时，拱顶离水面 2 米，水面宽米，水面宽 12 米，当水面下降米，当水面下降 1 米后，水米后，水面宽多少米？面宽多少米？ 规范解答规范解答 以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为 y 轴，建立轴，建立 如图所示的平面直角坐标系如图所示的平面直角坐标系.3 分分 设圆心为设圆心为 C，水面所在弦的端点为，水面所在弦的端点为 A，B，则由已知可得，则由已知可得 A(6，2).5 分分 设圆的半径长为设圆的半径长为 r，则，则 C(0，r)，即圆的方程为，即圆的方程为 x2(yr)2r2.将点将点 A 的的 坐标代入上述方程可得坐标代入上
14、述方程可得 r10， 所以圆的方程为所以圆的方程为 x2(y10)2100.8 分分 当水面下降当水面下降 1 米后，可设米后，可设 A(x0，3)(x00)，代入，代入 x2(y10)2100， 解得解得 2x02 51， 即当水面下降即当水面下降 1 米后，水面宽米后，水面宽 2 51 米米.12 分分 归纳升华归纳升华 对于圆的方程的应用时注意：一是恰当建系，二是注意利用完整圆还是圆对于圆的方程的应用时注意：一是恰当建系，二是注意利用完整圆还是圆 的一部分的一部分. 3如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图该圆拱跨度如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图该圆拱跨度 AB20 m，拱，拱 高高
15、 OP4 m，在建造时每隔，在建造时每隔 4 m 需用一个支柱，求支柱需用一个支柱，求支柱 CD 的长度的长度(精确到精确到 0.01 m) 解析：解析： 建立如图所示的直角坐标系，则圆心在建立如图所示的直角坐标系，则圆心在 y 轴上轴上 设圆心的坐标是设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是，圆的半径是 r， 那么圆的方程是那么圆的方程是 x2(yb)2r2. 下面用待定系数法求下面用待定系数法求 b 和和 r 的值因为的值因为 P，B 都在圆上，所以它们的坐标都在圆上，所以它们的坐标 P(0,4)，B(10,0)都适合圆的方程，都适合圆的方程， 于是得到方程组于是得到方程组 02 4b 2r2， 102 0b 2r2， 解得解得 b10.5，r214.52， 所以圆的方程是所以圆的方程是 x2(y10.5)214.52， 把点把点 C 的横坐标的横坐标 x2 代入上述方程，代入上述方程， 得得(2)2(y10.5)214.52. 于是于是 y 14.52 2 210.5 14.3610.53.86， 即即 CD 的长约为的长约为 3.86 m. 谢谢观看！谢谢观看！
