1、2 0 2 0版第一部分第一部分 系统复习系统复习专题11 最短路径问题 考点解读 最短路径问题在近三年成都中考中都占了重要地位，都是在大题中结合题目的背景进行综合考查，重在考查学生对知识应用能力考查的基本类型有：线段和最小、差最大、多条线段和最小、点到点的距离与点到直线距离之和最小、多条线路上速度不同时的最短时间问题，这些问题大多是利用数形结合、转化思想将问题转化为两点间线段最短或者垂线段最短来加以解决.方法提炼1.1.两点之间，线段最短(通过轴对称变换，作等量转化)2 2垂线段最短(通过图形的全等，作等量转化)3 3不等式的最小值问题.课堂精讲例 1 如图，已知抛物线 yk8(x2)(x4
2、)(k 为常数，且k0)与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y33xb 与抛物线的另一交点为 D.(1)若点 D 的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限的抛物线上有点 P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形与ABC 相似，求 k 的值；课堂精讲 (3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D后停止当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？课堂精讲 【分析】(1)首先求出点A，B坐标，然后求出直线B
3、D的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；(2)因为点P在第一象限内的抛物线上，所以ABP为钝角因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCPAB.按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；(3)由题意，动点M运动的路径为折线AFDF，运动时间：tAFDF.如图3，作辅助线，将AFDF转化为AFFG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点课堂精讲【解】(1)抛物线yk8(x2)(x4)中，令 y0，解得 x2 或 x4.A(2，0)，B(4，0)直线 y33xb 经过点 B(4，0)，334b0，解得 b4 33.直线 BD 的解析式为 y33x4 3
4、3.课堂精讲当 x5 时，y3 3.D(5，3 3)点 D 在抛物线 yk8(x2)(x4)上，k8(52)(54)3 3.k8 39.抛物线的函数表达式为 y39(x2)(x4)，即 y39x22 39x8 39.课堂精讲(2)由抛物线解析式，令 x0，得 yk，C(0，k)，OCk.点 P 在第一象限内的抛物线上，ABP 为钝角 因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCPAB.若ABCAPB，则有BACPAB.设 P(x，y)，过点 P 作 PNx 轴于点 N，如图 1，则 ONx，PNy.图 1课堂精讲tanBACtanPAB，即k2yx2，yk2xk.Px，k2xk，代入抛物
5、线解析式得 k8(x2)(x4)k2xk.整理，得 x26x160.解得 x8 或 x2(与点 A 重合，舍去)课堂精讲P(8，5k)ABCAPB，ACABABAP，即k246625k2100，解得 k4 55.k0，k4 55.若ABCPAB，如图 2，同理可得 k 2.综上，k4 55或 k 2.图 2课堂精讲(3)如图 3，由(1)知 D(5，33)，过点 D 作 DNx 轴于点 N，则 DN33，ON5，BN459.tanDBADNBN33933.DBA30.过点 D 作 DKx 轴，则KDFDBA30.过点 F 作 FGDK 于点 G，则 FG12DF.由题意，动点 M 运动的路径为
6、折线 AFDF，运动时间：tAF12DF.图 2课堂精讲tAFFG，即运动的时间值等于折线 AFFG的长度值 由垂线段最短可知，折线 AFFG 的长度的最小值为 DK 与 x 轴之间的垂线段 过点 A 作 AHDK 于点 H，则 t最小AH，AH 与直线BD 的交点，即为所求之 F 点 A 点横坐标为2，直线 BD：y33x4 33，y33(2)4 332 3.F(2，2 3)故当点 F 坐标为(2，2 3)时，点 M 在整个运动过程中用时最少 课堂精讲 【方法归纳】本题是二次函数压轴题，难度很大第(2)问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k，增加了计算的难度，注意解题
7、过程中的技巧；第(3)问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会课堂精讲例 2 如图，ABC 中，BAC60，ABC45，AB2 2，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则EF的最小值是_ 课堂精讲【分析】由垂线段的性质可知，当 AD 为ABC 的边BC 上的高时，直径 AD 最短如图，连接 OE，OF，过点 O作 OHEF，垂足为 H，在 RtADB 中，ABC45，AB2 2，ADBD2，即此时圆的直径为 2.由圆周角定理可知EOH12EOFBAC60，在 RtEOH 中，EHOEsinEOH13232.由垂径定理可知 EF
8、2EH 3.答案图课堂精讲 【方法归纳】本题考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形的综合运用，关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形课后精练 1 1如图，已知C的半径为3，圆外一点O满足OC5，点P为C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，B，且OAOB，APB90，l不经过点C，则AB的最小值()A2 B4 C5 D6第1题图B课后精练2 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 过点 A(3 2，0)，B(0，3 2)，O 的半径为 1(O 为坐标原点)，点 P 在直线 AB 上，过点P 作O 的一条切线 PQ，Q 为切点，则切线长 PQ 的最小值为()第 2
9、题图 A.7 B2 2 C3 D.10 B课后精练3 3已知抛物线 y14x21 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 F(0，2)的距离与到 x 轴的距离始终相等，如图，点 M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线 y14x21 上一个动点，则PMF 周长的最小值是()第 3 题图 A3 B4 C5 D6 C课后精练4 4如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 为边AD 上一个动点，连接 BE，取 BE 的中点 G，点 G 绕点E 逆时针旋转 90得到点 F，连接 CF，则CEF 面积的最小值是()第 4 题图 A.4 B.154 C.3 D.114 B 答案图【提示】如图，过点F作AD
10、的垂线交AD的延长线于点H；证明FEHEBA，由相似三角形线段的比例关系表示出HF，DH，再由SCEFS梯形HFCDSCDESEHF列关系式即可课后精练 5 5如图，E是边长为4 cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE1 cm，P为对角线BD上的任意一点，则APEP的最小值是_cm5 第5题图课后精练 6 6如图，在锐角ABC中，AB4，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是_.第6题图2课后精练 7 7如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A(1，0)，B(0，2)，C(3，2)，D(2，0)，点P是AD边上的一个动
11、点，若点A关于BP的对称点为A，则AC的最小值为_第7题图课后精练 8 8如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线ykx3k4与O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为_ _第8题图24课后精练9 9如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC135，AB4 2，BC7，点 E 为 BC 上一点，且 CE5，点 F 为线段 AD上的一动点，将四边形 ABEF 沿 EF 翻折得到对应的四边形 ABEF，当 DB最小时，AF 的长为_ 第9题图 【提示】当D，B，E在一条直线上时，DB最小，过点D作DGEC，垂足为G，由已知条件可以求出DG，GC，EG的长，进而求出D
12、E的长，由折叠和平行线的性质可以得出DFDE，进而求出AF的长答案图课后精练 10 10如图，已知AOD是等腰三角形，点A(12，0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点O，A)，过P，O两点的二次函数y1和过P，A两点的二次函数y2的开口均向下，它们的顶点分别为B，C，点B，C分别在OD，AD上当ODAD10时，则两个二次函数的最大值之和等于_第10题图课后精练【提示】过B作BFOA于F，过D作DEOA于E，过C作CMOA于M；证明OBFODE，ACMADE，再根据相似三角形线段的比例关系，求解即可答案图【答案】8课后精练 11 11在RtABC中，ACB90，AC8，BC6，点
13、D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为_第11题图课后精练【解析】作AB的中点E，连接EM，CE.在RtABC中，AB 10，E是RtABC斜边AB上的中点，CEAB5.M是BD的中点，E是AB的中点，MEAD2.在CEM中，52CM52，即3CM7.最大值为7，答案图【答案】7课后精练1212将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点 D 在 AB 边上，DEF 绕点 D 旋转，腰 DF 和底边 DE 分别交CAB 的两腰 CA，CB 于 M，N 两点，若 CA5，AB6，ADAB13，则 MD12MADN的最小值为_.第12题图课后精
14、练【提示】先求出 AD2，BD4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得AMDAEDFBDN，然后求出AMDBDN，从而得到AMD 和BDN 相似，根据相似三角形对应边成比例可得MABDMDDN，求出 MADN4MD，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可 【答案】2课后精练1313 如图，在等腰 RtABC 中，BAC90，ABAC，BC4 2，点 D 是 AC 边上一动点，连接 BD，以 AD 为直径的圆交 BD 于点 E，求线段 CE 长度的最小值 第13题图课后精练解：以 AB 中点 O 为圆心，AB 为直径画圆，连接 OC，AE，OC 交圆 O 于点 F，如图 由题可得AEDAEB90，点 E 在以 AB 中点 O 为圆心的圆上(在ABC 内部)由题意，得 ACAB4，半径 OEOA2，由勾股定理，得 OC2 5.根据三角形三边的关系，得 CEOCOE2 52(取等号时非三角形)，当点 C，E，O 三点共线时，CE 最小，最小值为 2 52.答案图单击此处编辑母版标题样式谢谢
