1、线段垂直平分线的识别与应用2020年海淀区空中课堂初三年级数学学科第10课识别垂直平分线线段垂直平分线的定义：如图：C是线段AB的中点，MNAB，则MN是线段AB的垂直平分线反之：MN是线段AB的垂直平分线，则C是线段AB的中点，MNAB经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线识别垂直平分线线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等MN是线段AB的垂直平分线 D、E在MN上DA=DB EA=EB识别垂直平分线线段垂直平分线的判断：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上DA=DB EA=EBD、E在AB的垂直平分线上即：DE是线段AB的
2、垂直平分线识别垂直平分线例1.如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的 AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD若ADC的周长为10，AB=7，则ABC的周长为_分析：首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得ABC的周长是1717识别垂直平分线例2.如图，在ABC中，点D为线段AC中点，DMBC，延长BC到E，使得ME=BM，若E=CDM，试判断ABC的形状，并说明理由.ABC是等腰三角形证明：连接BDDMBC，ME=BMBD=DE DMC=90E=DBM 又E=CDMDBM=CDM
3、CDM+DCM=90DBM+DCM=90DMBC点D为线段AC 中点AB=BC 即ABC是等腰三角形识别垂直平分线例3.如图，AB为O的直径，E为OB中点，过E作AB垂线与O 交于C、D两点.过点C作O的切线CF与DB延长线交于点F.求证：CFDF 方法一：证明：连结OC.AB为O直径,CD为弦，ABCD于ECE=ED又OE=EB，CEO=BEDOCEBDEOCE=CDBCF切O于点COCF=90OCE+DCF=90CDB+DCF=90CFD=90即CFFD识别垂直平分线例3.如图，AB为O的直径，E为OB中点，过E作AB垂线与O 交于C、D两点.过点C作O的切线CF与DB延长线交于点F.求证
4、：CFDF 方法二：证明：连结OC、CB E为OB中点，ABCD于ECB=OC=0BOCB是等边三角OCB=COB=601=OCB=30又2=COB=301=2=30OCCFDFC+OCF=180CF切O于点COCF=90CFD=90即CFFD方法提升 1.关注条件：垂直、中点、等线段、垂直平分线；(1)已知线段的垂直平分线，连接垂直平分线上的点与端点构成基本图形(2)已知垂直，倍长垂线段，构成基本图形 2.确定了线段的垂直平分线后，利用线段垂直平分线的性质得线段相等.思考：（1）线段的垂直平分线与对称轴之间有什么关系？除了轴对称的几何图形有对称轴，在代数中还有哪些与对称轴有关？（例如函数的对
5、称性）（2）提到线段的垂直平分线，能想到哪些几何图形？在哪些几何图形中又会出现垂直平分线？运用垂直平分线遇见垂直平分线垂直平分线轴对称图形三角形等腰三角形四边形筝形菱形正方形圆垂径定理切线长定理运用垂直平分线例4如图，在菱形ABCD中，ADC=72，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则CPB=_度72分析：连接PA、AC,由菱形ABCD和ADC=72可得ADB=ADC=36，BD垂直平分AC，则PA=PC，APB=CPB,由AD的垂直平分线交对角线BD于点P，可得PD=PA,则PAD=ADB=36,则CPB=APB=PAD+ADB=72运用垂直平分线例5.在正方形ABCD
6、外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F（1）依题意补全图1；（2）若PAB=20，求ADF和AFD的度数；(2)解:连接AEB、E 关于AP对称，即AP是BE的垂直平分线AE=AB1=PAB=20正方形ABCDAD=AB=AE BAD=90EAD=130ADE=2=25AFD=1+2=45运用垂直平分线例5.在正方形ABCD外侧作直线AP，点 B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F（3）如图2，若PAB=，若0 45，请直接写出AFD的度数(2)解:连接AEB、E 关于AP对称，即AP是BE的垂直平分线AE=AB1=
7、PAB=正方形ABCDAD=AB=AE BAD=90EAD=90+2ADE=2=45-AFD=1+2=45学法指导关注图形：等腰三角形、轴对称、菱形、正方形、圆关注条件：垂直、中点、等线段关注辅助线：作垂直、连线段作业 1.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，过对角线交点O作OEAC交AD于E，则AE的长是_作业2.阅读下列材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知ABC，ABBC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC.作业甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P则点P就是 所求的点.乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点.丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就 是所求的点.丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点.作业请你判读哪位同学的做法正确_；这位同学作图的依据是_
